2.1微分中值定理ppt课件

1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一、一、 罗尔定理罗尔定理 二、二、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 三、三、 柯西中值定理柯西中值定理2.1 微分中值定理微分中值定理四、四、 小结小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b)内内ab1 2 xoy)(xfy ABCD在曲线弧在曲线弧AB上至少有上至少有一点一点C, 曲线在该点处的曲线在该点处的切线平行于弦切线平行于弦AB.可以看到可以看到可导，观察可导，观察 f(x) 的图像：的图像：当当 f (a) f (b) 时时: Rolle定理定理

2、;当当 f (a) f (b) 时时: Lagrange中值定理中值定理.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一、罗尔定理一、罗尔定理 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且在区间端点处的函数值相等，即内可导，且在区间端点处的函数值相等，即 ( )( ),f af b 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 ( )0.f 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页证证 ( ), f xa b因因在在上连续，故在上连续，故在 a , b 上取得最上取得最大值和最小值大值和最小值. 于是于是,

3、 有两种可能情形：有两种可能情形：(1) .Mm f(x) 在区间在区间a, b上恒为常数上恒为常数 因而因而( , ),( )0.a bf (2) .Mm 那么，在开那么，在开 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页0()( )( )limxfxffx 0()lim,xfxMx 因而因而( )0.f 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注意注意1) 当定理条件不全具备时当定理条件不全具备时, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,01,( )0,1.xxf xx x1yo( ) 1,1f xxx ( )0,1f xxx x1yo1 x1yo2) 满足定理中三个条件的函数满足定理中三

4、个条件的函数 f(x), 函数函数 ( )yfx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页必定有零点，零点的个数可能有多个必定有零点，零点的个数可能有多个3) 罗尔定理的几何意义：罗尔定理的几何意义： 函数函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上满上满足定理条件时足定理条件时, 在在(a, b)内的曲内的曲例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 3( )3f xxx线弧线弧 f(x)上必存在水平切线上必存在水平切线ab1 2 xyo)(xfy C上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 函数函数 3( )3f xxx显然在显然在 3, 3 上连续，上连续， ( 3)(3)0.ff

5、而而 2( )333(1)(1)fxxxx ( )0.f 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例2 2( ),( ) = 0 0( )( ) =.f xf xcf cfcc设设在在 0 0, ,+ +连连续续 可可导导 且且有有一一正正根根, , 证证明明存存在在, , 使使分析分析 利用中值定理证明存在点满足等式利用中值定理证明存在点满足等式, , 通常的通常的( )( )0,cf cf c 若证( )( )0.cf cf c 方法用还原法方法用还原法:即即: 改写结论为改写结论为( )( )0,xfxf x 还原成有根( )0.xf x 即有解. 由罗尔定理得证把等式还原成把等式还原

6、成x的方程的方程.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页因而，函数因而，函数 g(x) 在区间在区间 0, a上满足罗尔定理的上满足罗尔定理的三个条件，则至少有点三个条件，则至少有点 (0,),ca 使使 ( )0,g c 即即 ( )( )0,cf cf c 也即也即 ( )( ).f cfcc 证证 令令 ( )( ),g xxf x 设设 g(x) = 0 的正根为的正根为 x=a, 那么那么(0)( )0,gg a 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )1.f c 设函数设函数 f (x) 在在 0, 3 上连续上连续, 在在( 0, 3 )内可导内可导, 且且 (0)(1)

7、(2)3,(3)1,ffff+ + += = =(0,3),x x 使使( )0.fx x = =分析分析 所给条件可写为所给条件可写为(0)(1)(2)1,(3)13ffff 试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c , c , 使使证证 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在 0, 2 上连续上连续, 且在且在 0, 2 上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故由介值定理由介值定理, , 至少存在一点至少存在一点 0,2,c 使使(0)(1)(2)( )3ffff c+= =1= =( )(3)1,f cf= = =( ) ,3,( , 3),f x

8、cc且且在在上上连连续续 在在内内可可导导由罗尔定理知由罗尔定理知, , 必存在必存在 例例3(0),(1),(2)mfffM (0)(1)(2),3fffmM( ,3),c使使x x ( )0.fx x = =上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例4 4( )( )0,1, 0, 1,(0) = 0,(1) = 1,(0,1)( )( )( ) =( )+1.f xg xfffgfg 设设, ,在在 上上连连续续 ( () )内内可可导导 且且 证证明明存存在在, ,使使 分析分析 把等式还原成把等式还原成 x x 的方程的方程. . 改写成改写成: : ( )1( )( )= 0.f

9、gf 由罗尔定理得出证明由罗尔定理得出证明.( )1( )( )0,fxg xf xx 还还原原成成有有根根 ( )( )= 0g xexf x 即即有有解解. .()( )( ) ,g xF xexf x 令上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例5 5( )0 1, 01,f x设在 ， 上连续 ( , )内可导 且分析分析( )( ).F xf xx 令则( )1( ) = 0.ff xx 还原为有根1(0) =(1) = 0,( ) =1,(0,1)2( ) =1.ffff 证明存在,使11(1) = 1 0,22FF 则由零点存在1(0, )( ) = 02F,定理知使.(0)

10、=( ) = 0FF 因此,由罗尔定理得证.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，内可导， 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 ( )( )( )().f bf afba 证证 如图，直线如图，直线AB的方程为的方程为( )( )( )(),f bf ayf axaba (2.1.1)ab1 xoy)(xfy ABC上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页ab1 xoy)(xfy ABC构造辅助函数构造辅助函

11、数( )( )( )( ) ( )(),f bf axf xf axaba 由罗尔定理，则在开区间由罗尔定理，则在开区间 (a, b) ( )0, 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即即( )( )( )0,f bf afba 所以所以 ( )( )( )().f bf afba 注注 1) 在拉格朗日中值定理中，若加上条件在拉格朗日中值定理中，若加上条件 ( )( ),f af b 则结论变成则结论变成 ( )0,f 因而，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形因而，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2) 拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值

12、定理的几何意义： 有不垂直于有不垂直于 x 轴的切线，那么曲线弧轴的切线，那么曲线弧 AB上至少上至少 有一点有一点 C, 使曲线在点使曲线在点C 处的切线平行弦处的切线平行弦 AB . ab1 2 xoy)(xfy ABCD上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页为拉格朗日中值公式显然，公式对为拉格朗日中值公式显然，公式对 ba 也成立也成立.拉格朗日中值定理的有限增量形式拉格朗日中值定理的有限增量形式:0()(01).yfxxx 00,axbxx 若令若令则可记则可记（2.1.2） ( )( )( )()f bf afba 称称0(01)xx那么那么( )( )( )()f bf afba

13、 可写成可写成上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数 也称有限增量公式也称有限增量公式 在这区间内某点处的导数之间的关系在这区间内某点处的导数之间的关系. 因而因而, 拉格朗拉格朗 日中值定理也称有限增量定量日中值定理也称有限增量定量.0()(01).yfxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页推论推论 2.1.1 若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足( )0,fx 那那么么( )f x在在 I 上必为常数上必为常数.( )f x证证 在在 I 上任取两点上任取两点1212,(),xxxx 1

14、2,xx在在上上用用拉拉格朗日中值公式格朗日中值公式 , 得得0 21()()f xf x 21( )()fxx 12()xx 21()(),f xf x 由由 的任意性知的任意性知, 12,xx( )f x在在 I 上为常数上为常数 .因此有因此有( )( )0.f xCfx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页推论推论2.1.2 如果函数如果函数 f(x) 和和 g(x)在区间在区间 I上可导，上可导， 且且( )( ),fxg x 则在区间则在区间 I上上( )( ),f xg xC其中其中 C C 为任意常数为任意常数. .证证 由于由于 ( )( ),fxg x 那么那么 ( )

15、( )0.f xg x 由推论由推论2.1.1，可知，可知 ( )( )().f xg xC C 为为常常数数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 例6 验证拉格朗日中值定理对于函数 ( )lnf xx 在区间在区间 1, e上的正确性上的正确性 解解 ( )lnf xx 显然在区间显然在区间 1, e上连续，在区间上连续，在区间 (1, )e内可导而内可导而(1)0,f ( )1,f e 1( ).fxx 由由( )(1)1,1f efe 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解得解得 1(1, ),ee 故可取故可取 1,e 使使( )(1)( )1f effe 成立成立上一页上一页

16、下一页下一页返回首页返回首页例例7 证明：当证明：当 -1x1 时，时，2arcsinarctan.1xxx 证证 令令 2( )arcsinarctan,1xf xxx 那么那么222211( )1111xfxxxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页221111xx 0, 那么那么( )( 11),f xCx 2arcsinarctan.1xxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例8 证明不等式证明不等式证证 设设( )ln(1),f tt ( )0, f tx在在上上朗日中值定理条件朗日中值定理条件,即即ln(1)(0).1xxxxx ( )(0)f xf ln(1)x

17、 ,01xx ( )(0),0fxx 因而因而满足拉格满足拉格那么那么因为因为,x 1x 1xx 故故ln(1)(0).1xxxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例9 9( )(,+),( ) =( ),f xfxf x 设在内可导 且有分析分析( )( ),( )0.xf xF xFxe 令则( ) = 1F x.即得证明.( ) = ,(0) =1,F xcF因此而则(0) =1,f 证明( ) =.xf xe上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页证证 ( )( ),xf xF xe令则2( )( )( ).xxxfx ef x eF xe而而( )( ),f xfx那么那

18、么( )0.F x( ) =,(0) = 1,= 1,( ) = 1.F xCFCF x因此而则即从而从而( ).xf xe上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例1010 设设 f (x) 在区间在区间 a, b上连续上连续, (a, b) 内可导内可导, 且且 ( ) =( ) =1,f af b证明存在证明存在,( , ),a b 使使( )( ) =1.eff 分析分析 改写结论为改写结论为证明含两个点的等式证明含两个点的等式, ,通常分别对两个函数通常分别对两个函数在同一区间用中值定理在同一区间用中值定理. . ( )( ) =.effe对函数对函数 yex 在区间在区间a, b

19、上应用拉氏中值定理上应用拉氏中值定理,有有(),( , ).baeeebaa b .baeeeba 即即上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页对函数对函数 yex f (x) 在区间在区间a, b上应用拉氏中值上应用拉氏中值定理定理, 有有( )( )( )( )(),( , ).bae f be f ae fe fbaa b +由条件由条件, f(a)=f(b)=1, , f(a)=f(b)=1, 代入上式代入上式, , 得得( )( ),baeee fe fba + += =从而有从而有( )( ).e fe fe +=+=上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例1111设设 f (

20、x) 在区间在区间 0, 1上连续上连续, (0, 1) 内可导内可导, 且且 (0) = 0,(1) =1,ff证明证明1(0,1)( ) =;2,(0,1)( )( ) =1.fff . .存存在在, ,使使1 1- -. .存存在在, ,使使分析分析1. 要证要证( ) =1,f -有零点有零点.即即( ) =1f xx ( )( )1,g xf xx 令令则则g(x)在在0,1连续连续, 且且g(0) =1 0 , ,由零点存在定理得证由零点存在定理得证.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )01f x2.对函数分别在区间 , , 上应用拉氏中值定理,( )(0)1( ),(0

21、, );fff (1)( )( ),( ,1).11fff ( )( )1.ff 有有从而有从而有上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例1212证证因为因为f (x) 在在a, c,c, b上上分别满足拉氏中值定理条件分别满足拉氏中值定理条件, 那么那么( , )( ) =;ACa cfk 存在,使()( ) =.CBc bfk 存在, ,使设设 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, (a, b) 内二阶可导内二阶可导, 连接连接 ( ,( ),( ,( )A a f aB b f b点点的直线交曲线的直线交曲线 yf (x) 于点于点( ,( ) ( ),C c f cacb证明

22、存在证明存在( , ),( ) = 0.a bf 使cabxoy)(xfy ABCD上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页,ACCBABkkk 因为则( )()fx 而函数在区间 ,上连续, ,内可导,( , ), 由罗尔定理知 存在使( )( ).ff 且( )( ).ff ( )0.f 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页证证,ab与均为正数10 baa( )0,1,f x又在上连续由介值定理由介值定理, ,( ),afab 使得(0,1), 存在( )0, , ,1,f x 在上分别用拉氏中值定理 有( )0,1,(0,1),(0)0,(1)1,:1,(0,31),.( )( )f

23、 xffa bababff 设在上连续 在内可导 且试证 对任意给定的正数在内存在不同的使例上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, , 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + + , ,得得)()( ff .)()(bafbfa 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页三三 、柯西中值定理、柯西中值定理如果函数如果函数 f(x) 和和 F(x) 在闭区间在闭区间a, b上上连续，在开区间连续，在开区间 (a, b)内可

24、导，且内可导，且 ( )0( , ),F xxa b 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点, 使得使得 ( )( )( ).( )( )( )ff bf aFF bF a (2.1.3)上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )( )( )( )0,( )( )f bf aFfF bF a ( ) 分析分析 ( )( )F bF a ( )()Fba ab 0, 要证要证( )( )( )( )( ).( )( )f bf axF xf xF bF a 由拉格朗日中值定理可知，由拉格朗日中值定理可知，上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页证证 改写改写(2.1.3

25、)(2.1.3)式为式为 ( )( )( ) ( )( )( )0,F bF aff bf a F 则只需证明方程则只需证明方程 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0F bF af xf bf a F x 有根有根 令令 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ),g xF bF af xf bf a F x 则则g(x)g(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)(a,b)上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页内可导，且内可导，且( )( )( )( )( ) ( ),g ag bf a F bF a f b即即g(x)在区间在区间a,b上满足

26、罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件. 因而，因而， 在开区间在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 ( )0,g 即即 ( )( )( ) ( )( )( )0,F bF aff bf a F 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页又因为又因为 ( )0,F x 那么那么 ( )0,F 且且( )( )( )()0().F bF aFbaab 那那么么( )( )( ).( )( )( )ff bf aFF bF a 注注 若取若取 ( ),F xx 那么那么 ( )( ),F bF aba ( )1.F x 那么那么(2.1.3)式变成式变成 上一页上一页下一页下一页

27、返回首页返回首页( )( )( )()(),f bf afbaab 即为拉格朗日中值定理即为拉格朗日中值定理 是柯西中值定理的特殊情形是柯西中值定理的特殊情形 可见拉格朗日中值定理可见拉格朗日中值定理柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义: :当曲线由参数方程给出当曲线由参数方程给出( ),( ),xF tatbyf t 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )F ( )F a( )( )xF tyf t ( )f a( )F b( )f bd( )d( )yftxF t 注意注意:xyo( )( )( )( )( )( )f bf afF bF aF 弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率上一

28、页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例14 验证柯西中值定理对于函数验证柯西中值定理对于函数 ( )sinf xx 解解 易知易知 sinx 和和 cosx 在闭区间在闭区间 0,2 上连续，在上连续，在开区间开区间 (0,)2 内可导，且内可导，且 (cos )sin0(0,).2xxx 由由()(0)( )1021,( )01()(0)2fffggg 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即即 cos1.sin 取取 (0,),42 从而从而()(0)( )2.( )()(0)2fffggg 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )(1)( ),(1, )( )(1)( )f e

29、ffeF eFF 例例15 试证至少存在一点试证至少存在一点(1, )e 使使sin1cos(ln ). 证证 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .( )sinln,( )ln ,f xxF xx 那么那么 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条上满足柯西中值定理条件件, 令令因而因而 1cosln1 cosln . sin1 即即上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页法法2 令令( )sinlnf xx 那么那么 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条上满足罗尔中值定理条件件,(1, ) ,e 使使( )0f cosln x( )fx sin1 1xsin1cosln . 因此存在因此存在1x sin1 ln , x上一