正交基与标准正交基PPT学习教案

1、会计学1正交基与标准正交基正交基与标准正交基定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1正交组的定义例1 向量 12110,1,0 ,0,22311,0,22 构成 3R一个标准正交组，因为 1231,122331,0. 一、正交组的定义、性质第1页/共35页函数组(1) 1，cosx, sinx, ,cosnx ,sinnx,2 , 02 , 0C例2 考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间上一切连续的一个正交组.构成2 , 0C第2页/共35页20,21dx20, 0sinsinnmnmnxdxm

2、x若若, 0,coscos20nmnmnxdxmx若若事实上，我们有第3页/共35页222000cossincossin01,12 ,cos,cossin,sin,1,cos1,sin0,cos,cossin,sinmxnxdxnxdxnxdxnxnxnxnxnxnxmxnxmxnx所以, 0sin,cosnmnxmx若把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C0，2的一个标准正交组 ,.sin1,cos1,.,sin1,cos1,21nxnxxx第4页/共35页2正交组的性质定理7.2.1 设 12,n 一个正交组，那么 12,n 线性无关. 是欧氏空间的 11221211120,00,0,0

3、,00,1,2,.nnnijnniijjjijiiijjiiiinkkkk kkRijkkkkin 设设当当时时 有有证证故故故故线线性性无无关关 第5页/共35页1标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n,21n 个向量构成一个正交组，那么由定理7.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个标准正交基，那么就称这个基是一个标准正交基.二、标准正交基的定义、性质及存在性第6页/共35页 例3 欧氏空间 nR的基是 ),0 , 0 ,1, 0 , 0()(iii =1,2,n,nR的一个标准正交基. 如果 ,21n正交基。令是

4、V的任意一个向量那么是可.2211nnxxx是是n 维欧氏空间V的一个标准以唯一写成 nxxx,21是关于 ,21n的坐标.由于,21n是规范正交基，我们有第7页/共35页（3） injijjixx1,这就是说，向量关于一个规范正交基的第i个坐标等于与第i个基向量的内积；nnyyy2211其次，令那么 （4） nnyxyxyx2211,由此得 （5） 22221,|nxxx（6） 2211)()(),(nnyxyx第8页/共35页111,nnnjjijxxx 于于是是证证 由由1,0,iiiiiiiijijjixx 当当当当当当时时第9页/共35页1111111,nniijjijnnnnnii

5、jjijijijijijiVxyxyx yx y 设设于于是是22212,nxxx 2211,nndxyxy （3） （4） 第10页/共35页3标准正交基的性质设 ,21是2V的一个基，但不一定是正交基 ,21问题就解决了,因为将 21和再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交.11借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 2V的一个基。先取,2我们考虑线性组合 ,12a从这里决定实数a， 使 112与a正交，由 1112112,0aa第11页/共35页及 得 011112,a取 1111222,那么 , 0,12又因为 21,线性无关，所以对于任意实数 a, 01212aa

6、因而, 02这就得到 2V的一个正交基 .,21第12页/共35页4标准正交基的存在性 定理7.2.2（施密特正交化方法) 设 ,21n是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求,21n使得 k可以由 k,21线性表示，k = 1,2,m. 出V 的一个正交组 证 取 ,11那么 2是 1的线性组合，且 . 01其次取 1111222,第13页/共35页又由 0,1111121212所以 12与正交. 假设1 k m，而满足定理要求的 121,k都已作出. 那么是 221,的线性组合，并且因为 线性无关，所以 . 0221,第14页/共35页11111111,kkkkkkkk取.11221

7、1kkkkaaa所以 k是 k,21的线性组合.由于假定了 ii,21是i = 1, 2, , k -1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合，k,21线性无关，由 , 0k得 第15页/共35页又因为假定了 121,k两两正交.这样， k,21也满足定理的要求.1, 2 , 1, 0,kiiiiiikikik所以定理得证. 第16页/共35页定理7.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例4 在欧氏空间 3R中对基 )3 , 0 , 2(),2 , 1 , 0(),1 , 1 , 1 (321施行正交化方法得出 3R的一个标准正交基. 31,31,31|11

8、1 解 第一步，取第17页/共35页第二步，先取) 1 , 0 , 1(31,31,313)2 , 1 , 0(,11221111222然后令21, 0 ,21|222第18页/共35页第三步，取 65,35,6521,21,212131,31,3135)3 , 0 , 2(,231133222231111333再令61,62,61|333于是 321,就是 3R的一个标准正交基. 第19页/共35页2122111, 第20页/共35页22233311(,0)22(0,0,1) 第21页/共35页练习1 设 ),0 , 2 , 0 , 1 (1),3 , 0 , 2 , 0(2),9 , 4

9、, 6 , 2(3试把 ),(321L4R的基的一个基,并将它标准正交化. 扩充成第22页/共35页练习2 设 321,标准正交基,证明: )22(313211)22(313212)22(313213也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的第23页/共35页三、n 维欧氏空间同构的概念及判别1n维欧氏空间同构的定义定义3 欧氏空间V与 V说是同构的，如果 (i) 作为实数域上向量空间，存在V 到 V的一个同构映射;:VVf(ii) 对于任意 ,V ，都有 ,( ),( )ff 第24页/共35页2n维欧氏空间同构的概念及判别定理7.2.4 两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相

10、等.1122nnxxx1122( )TTTnnfxxx第25页/共35页推论 任意n维欧氏空间都与nR同构. 111111122()()()( )( )(),( ), ( )TTnnnTTnnnnfxyxyfff kkxkxx yx yx yff 第26页/共35页证 122 2211 2,()()03 3333 3 第27页/共35页232 11222,.()()()03 33333 22211221,( )( )()1333 2222222233212,( )()( )1333122,( )()()333 第28页/共35页2122111,111(1,1,0,1,0)(1,0,0,0,1)( ,1,0,1,),222 11令第29页/共35页11223311(,0,0,0,)2210101010(,0,)105510111(0,0,)333 第30页/共35页151235345111010101011