第九章 代数系统

1、第九章第九章 代数系统代数系统 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为抽象抽象的对象的对象代数系统。主要研究代数系统的性质和特殊的元素；代数系统代数系统。主要研究代数系统的性质和特殊的元素；代数系统与代数系统之间的关系，如代数系统的同态、满同态和同构。这些与代数系统之间的关系，如代数系统的同态、满同态和同构。这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究结合在一起进行研究。研究意义研究意义 ，具体，

2、具体抽象抽象具体具体主要内容如下：主要内容如下： 9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质 9.2 9.2 代数系统代数系统 代数系统代数系统一、二元代数运算及性质一、二元代数运算及性质 设设S为集合为集合,函数函数f：SS（S2）S称为称为S上的上的二元运算，简称为二元运算，简称为二元运算二元运算。 设设S为集合为集合,函数函数f：SS称为称为S上的一元运算。上的一元运算。 一个运算是集合一个运算是集合S上的二元运算，应满足：上的二元运算，应满足：（1）S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。算的结果是唯一的。（2）S中任何两个

3、元素的运算结果都属于中任何两个元素的运算结果都属于S，即，即S对对该运算是封闭的。该运算是封闭的。例子：例子：R上的上的+、-、矩阵上的矩阵上的 +、集合上的集合上的 、数的相反数、倒数数的相反数、倒数4 4 可以用可以用 * 、 、 等符号表等符号表示二元或一元运算，称为示二元或一元运算，称为算符算符。对于对于二元运算二元运算 *,如果如果x与与y运算得到运算得到z,记做记做x * y=z；对于对于一元一元运算运算 ，x的运算结果记作的运算结果记作 x。2、二元代数运算与函数、关系的区别、二元代数运算与函数、关系的区别1）运算是）运算是特殊的特殊的函数函数 2）封闭性）封闭性 设设* 是集合

4、是集合 A 上的一个二元（或一元）运算，上的一个二元（或一元）运算，S A，若对于每一个序偶（若对于每一个序偶（ ai，aj） S2（或对于每一（或对于每一 ai ）都）都有有 ai *aj S则称运算则称运算*在在S上上 是是封闭的封闭的。 例如实数集合R上不可以定义除法运算,因为0R,而0不能做除数。但在R*=R0上就可以定义除法运算了 3、二元运算的表示：、二元运算的表示：运算表：运算表：当当A是有穷集时，是有穷集时，A上的一元运算和二上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义。元运算有时采用运算表的方式来定义。例如例如 设设A=1，3，5，7A上上的一元运算的一元运算和二元运和二

5、元运算算*用用运算表运算表定义如下：定义如下：75311357ia)(ia753173717535753375317531定义定义 设是非空集合，设是非空集合， * * 是是A A上的二元运算。上的二元运算。若对于任意若对于任意a, b A a, b A ，有，有 a a* *b=bb=b* *a a ，则称，则称 * * 在在A A上是上是可交换的。可交换的。定义定义 若对于任意若对于任意 a, b,c A a, b,c A ，有，有（a a* *b b）* *c=ac=a* *(b(b* *c) c) 则称则称 * * 在在A A上是上是可结合的。可结合的。4、二元运算的一些常见的性质、二

6、元运算的一些常见的性质例例 实数集实数集R R上的二元运算上的二元运算 定义为定义为: :212121rrrrrr因为因为所以所以 满足交换律。满足交换律。121212212121rrrrrrr rrrrr32121)(rrrrr32121)(rrrrr321323121321rrrrrrrrrrrr32121)(rr rrr321)(rrr)(32321rrrrr)(32321rrrrr321312132321rrrrrrrrrrrr所以所以 满足结合律。满足结合律。 ,)()(321321rrrrrr)(32321rrrrr)(321rrr 例例 设设 是集合是集合A A上的关系上的关系

7、，对于任意对于任意 ， 仍是仍是A A上的上的关系，所以关系的复合运算是关系，所以关系的复合运算是S S上的二元上的二元运算。运算。 该运算不满足交换律，但满足结合律该运算不满足交换律，但满足结合律. .|S21S21,定义定义若对于任意的若对于任意的a, b,c Aa, b,c A有有 则称运算则称运算 对运算对运算 是是可分配的。可分配的。定义定义 设设 是集合是集合A A中的二元运算，若对于任意中的二元运算，若对于任意 a A a A 且且 a a=a a a=a ，则称，则称 满足满足幂等律幂等律。)()()(cabacba)()()(acabacb 例例 全集合全集合 U U 的幂集

8、的幂集2 2U U上的上的“ “ ” ”运算和运算和“ “ ” ”运算都是可交换、可结合的运算、运算都是可交换、可结合的运算、“ “ ” ” 对对“ “ ”, “ ” ”, “ ” 对对“”均是可分配的。均是可分配的。定义定义 如果如果 和和*都可交换都可交换,并且对于任意的并且对于任意的x,yS有有x (x*y)=x和和x*(x y)=x,则称则称 和和*运算满运算满足足吸收律吸收律。定义定义 设设* * 是集合是集合A A中的二元运算，对中的二元运算，对A A上任意的三上任意的三个元素个元素a,b,c,a,b,c,满足满足: : （1 1）若）若a a* *b=ab=a* *c, c, 则

9、则 b=cb=c； （2 2）若）若b b* *a=ca=c* *a a，则，则 b=cb=c。则称则称* * 满足满足消去律。消去律。 单位元单位元 定义定义 设设 是集合是集合A A上的二元运算，若存在一元上的二元运算，若存在一元素素 ，使得对于任意的，使得对于任意的 ，有，有则称则称 是是A A中运算中运算 的的左单位元；左单位元； AelAaleaale二、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素二、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素 若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意，使得对于任意 ，有有 ，则称，则称 是是A A中运算中运算 的的右单位元；右单位元； Aarera eaAer

10、若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意，使得对于任意 ， 有有 ，则称，则称 是是A中运算中运算 的的单位元单位元（幺元）。（幺元）。AaAee a a e ae 例例 对任意关系对任意关系 ，有，有 ，所以恒等，所以恒等关系关系 是集合是集合 上关系复合运算的单位元。上关系复合运算的单位元。SAAIIAIS是运算是运算 的右单位元。的右单位元。 ab b和和d d都是运算都是运算 的左单位元，的左单位元， * 例例 设设 , 和和 是是A上的两个二元运算上的两个二元运算.,dcbaA *a1616a b cabca a ba b ca c ce定理定理9.1 设设 是集合是集合A上的二元运

11、算，上的二元运算， 和和 分别是分别是 的左单位元和右单位元，则的左单位元和右单位元，则 ，且，且 是是 的的唯一唯一的单位元。的单位元。(P185)lereeeerl证明证明 因为因为 和和 分别是分别是 的左、右单位元，的左、右单位元， lere因此，因此， ， lrrle eee 令令 ，则，则 是是 的单位元。的单位元。rleeee设设 也是也是 的单位元，的单位元，e因此因此 是是 的唯一的单位元。的唯一的单位元。 e则则 e eee2 2 零元零元定义定义 设设 是集合是集合A A上的二元运算，若存在一元上的二元运算，若存在一元素素 ，使得对于任意的，使得对于任意的 , ,有有 ，

12、则称，则称 是是A A中运算中运算 的的左零元左零元；若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意，使得对于任意的的 , , ,则称则称 是是A A中运算中运算 的的右零元右零元，若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意的，使得对于任意的 , ,则称则称Z Z是是A A中运中运算算 的的零元零元。 lAAallalrAAarrarAaaAa例例 对于全集合对于全集合S的幂集的幂集 上上“ ”运算和运算和“ ”运算，运算，对任意对任意 SA2,AAAAA,SSAASASAASS2定理定理 设设 是是S上的二元运算，上的二元运算， 和和 分别分别是是 的左零元和右零元，则的左零元和右零元，则 ,且且

13、是是 唯唯一的零元。一的零元。lrrl 定理定理 设设 是集合是集合S上的二元运算，且上的二元运算，且|S|1 。若运。若运算算 有单位元素有单位元素 和零元和零元 ，则，则ee 证明证明（反证法）设（反证法）设 ，因为，因为 |S|1 ，所以至少还有一元，所以至少还有一元素素 ，但，但 矛盾。故必有矛盾。故必有 。,xS xx e x ee幂等元幂等元定义定义 设设 是集合是集合S S中的二元运算，若中的二元运算，若 且且 ，则称，则称 是是S S中关于运算中关于运算 的的幂等元幂等元。xSx xxx例例 通常数的乘法运算是实数集通常数的乘法运算是实数集R R上的二元运算上的二元运算, ,其

14、其中和均是幂等元。中和均是幂等元。 例例 对于全集合对于全集合S S的幂集的幂集 上的并运算和交上的并运算和交运算运算, 中的每一个元素都是幂等元，称并运算中的每一个元素都是幂等元，称并运算和交运算满足幂等律。和交运算满足幂等律。 S2S2即对任意即对任意 , 均有均有XX=SXX=S，XX=XXX=X。 SX 2 4元素的逆元元素的逆元 定义定义 设设 是集合是集合S S 上具有单位元上具有单位元 的的二元运算，对于元素二元运算，对于元素 ，若存在，若存在 ，使得使得 ，则称，则称 关于关于 是左可逆的，称是左可逆的，称 是是 的的左逆元；左逆元； exSlyxexlySlyx 若存在一元素

15、若存在一元素 ，使得，使得 ，则，则称称 关于关于 是可逆的，称是可逆的，称 是是 的的逆元。逆元。ry 若存在若存在 ，使得，使得 ，则称，则称 关于关于 是右可逆的，称是右可逆的，称 是是 的的右逆元；右逆元； rySrx yexxySy xx ye yxx 例例 若 定 义 实 数 集若 定 义 实 数 集 上 的 二 元 运上 的 二 元 运算算 ： ，考虑它是否存在在单位元。，考虑它是否存在在单位元。 R212121r rrrrr0)1 (rrlRr lrrrrrrrrlll 若若 是左单位元，则对任意是左单位元，则对任意 ，应，应有有 ， , 0 r rrll于是于是由于由于 是任

16、意的，只有是任意的，只有 ， rlr因此，是运算因此，是运算 的单位元。的单位元。中的元素是否有逆元呢？中的元素是否有逆元呢？ 设设 是是 的左逆元，则应有的左逆元，则应有 ， sr0srrsrs于是于是 ，rssr 即即 ，rrs ) 1(1rrs 因此，只要因此，只要 ， 中任意元素中任意元素 均有逆元，均有逆元，其逆元是其逆元是 。例如，。例如，5 5的逆元是的逆元是1rRr1rr0545545545,45定理定理 设设 是集合是集合 上具有单位元上具有单位元 且且可结合可结合的二元运算，的二元运算，若元素若元素 有左逆元有左逆元 和右逆元和右逆元 ， 则则 且且 是是 唯一的逆元。唯一

17、的逆元。SexSlyry,lryyyyx证明：证明： 因为因为 和和 分别是分别是 的左逆元和右逆元，的左逆元和右逆元， 所以所以 lyxrylry x x ye 因此因此 (lrlrrryxyyxyeyy ()lrllyxyyey 于是于是 ，令，令 则则 是是 的逆元。的逆元。 xlryy,lryyyy设设 还有逆元还有逆元 ，则，则 x,y,yxxye于是于是 ,() ()yy e y x yy x y e y y 例例1616 设设 ，函数的复合运算是，函数的复合运算是 上的上的二元运算，对任意二元运算，对任意 ， 使得使得 ，所以所以 是是 上运算上运算 的单位元。的单位元。 :|N

18、NffFFNIfIffINN NIFFf 现有函数现有函数 ，定义为对任意，定义为对任意 ，试问试问 是否有左逆元？右逆元或逆元？是否有左逆元？右逆元或逆元？NNh:nnhNn2)(,h 解解问问h是否有是否有左左逆逆元即问是否存在元即问是否存在函数函数 ，使，使得得 ？NNg:NIhg 因此因此,)(nnhgNIhgNNg: 偶数为为奇数 2n 3nnng可以如下定义函数可以如下定义函数hg 无论如何定义函数无论如何定义函数 ，均无法使得，均无法使得 是满射。是满射。因此因此 没有右逆元。没有右逆元。ghNNg:hh但但 没有右逆元。没有右逆元。练习练习 在相应的括号中键入在相应的括号中键入

19、“Y”Y”或或“N”N”分别表示肯定和否定。分别表示肯定和否定。 1 1 通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？ ,211A ,112B NnnC123NY YY YYYYY且且e2YYN N( ) ( ) ( ) 2baba 2 设有整数集设有整数集Z，对，对Z中任意元素，定义运算为：中任意元素，定义运算为： （1）运算）运算 在在Z上是否封闭？上是否封闭？ （2）运算）运算 是否可交换？是否可交换？ （3）运算）运算 是否可结合？是否可结合？ （6）运算）运算 在在Z中是否有单位元？中是否有单位元？ （5） 对运算对运算 是否所有的

20、元素都有逆元？是否所有的元素都有逆元？ （6）运算）运算 在在Z中是否有幂等元？中是否有幂等元？ （7）运算）运算 在在Z中是否有零元？中是否有零元？ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 定义定义 一个非空集合一个非空集合S和定义在该集合上的一个或和定义在该集合上的一个或多个运算多个运算, 所组成的系统称为代数系统。用记所组成的系统称为代数系统。用记号号 表示，其中表示，其中S称为该代数系统的域。称为该代数系统的域。 12, , ,nf ff12; , ,nS f ff 例例1 1 通常数的加法运算、乘法运算和减法通常

21、数的加法运算、乘法运算和减法运算都可看作是实数集运算都可看作是实数集R R上的二元运算，它们上的二元运算，它们构成代数系统构成代数系统 R;+,-, 。9.2 9.2 代数系统代数系统是代数系统吗？是代数系统吗？ 例例 整数集整数集Z Z和定义在和定义在Z Z上的通常数的加法和乘法运算组上的通常数的加法和乘法运算组成一个代数系统，记作成一个代数系统，记作 ，这两个运算具有如，这两个运算具有如下一些性质：下一些性质：, Z ；i jjiijji ,kjikjikjikji)()( ,)()(kijikji)(iiiiii1100 ,0)()(iiii 对任意对任意i,j,ki,j,kZ,Z,有有

22、 （1 1）交换律）交换律 （2 2）结合律）结合律 （3 3）分配律）分配律 （6 6）单位元）单位元 （5 5）加法的可逆性）加法的可逆性 （6 6）乘法的相约性）乘法的相约性则则由由若若,0ikjkiji可得 例例2 2 设设 是集合是集合A A上的关系上的关系 ， 是求复是求复合关系的运算。它们构成代数系统合关系的运算。它们构成代数系统 。|AS ;AS 例例 3 全集合全集合 的幂集的幂集 和集合的并、交以及补和集合的并、交以及补运算构成代数系统运算构成代数系统 UU2,2U定义：定义：如果两个代数系统中如果两个代数系统中运算的个数运算的个数相同相同,对对应运算的元数应运算的元数也相

23、同（一元的、二元的也相同（一元的、二元的）,且代数常数的个数也相同且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统则称这两个代数系统具有相同构成成分具有相同构成成分,也称它们是也称它们是同类型的代数系同类型的代数系统统。 定义定义 设设 是一个代数系统，其中运是一个代数系统，其中运算算 均是一元或二元运算，均是一元或二元运算，B是是S的一个非空的一个非空子集，如果子集，如果S上的上的运算在运算在B B上也都是封闭的，则称上也都是封闭的，则称 是是 的子代数或子系统。的子代数或子系统。kfffSV,.,21kffB ,.,1 子代数子代数核心：运算相同核心：运算相同 运算封闭运算封闭平凡子代数？最大，

24、最小？平凡子代数？最大，最小？真子系统？真子系统？),.,1(kifi 如果如果 是一元运算，所谓是一元运算，所谓 在子集在子集B上上封闭封闭，意，意味着在味着在B中任取一元素中任取一元素 b b ，其运算结果，其运算结果 . . ififBbfi)( 若若 是二元运算，所谓是二元运算，所谓 在子集在子集B上封闭，意上封闭，意味着在味着在B中任取两元素中任取两元素 ，其运算结果，其运算结果 仍属于仍属于B. ba,ififbafi 对于任意对于任意 AzzzzAzz)(,21212166666Azzzz)6 (6662121 是代数系统是代数系统 的子代数。的子代数。 ,;A，;Z 例例5 5 设有代数系统设有代数系统 ，其中，其中Z表示非表示非负整数集，和负整数集，和 是通常数的运算。是通常数的运算。,;Z,18,12, 6, 0|6ZzzA,222321022 ZzzB 但但 不一定在不一定在 B 中，例如中，例如 ， 只能得出只能得出 是代数系统是代数系统 的子代数。的子代数。而而B与与+、 不能构成不能构成 的子代数。的子代数。2221zzB133222 ;B ;Z,; ZBzzzzBzz22122212221)(,对于任意对于任意,222321022 Zz