第1章随机事件及其概率

1、应用概率统计应用概率统计应用概率统计短号：667471QQ:196683246备注：班级姓名，如动物科学141李四应用概率统计应用概率统计1随机事件与概率随机事件与概率2概率的计算概率的计算3条件概率条件概率4随机事件的独立性随机事件的独立性第第1章习题课章习题课第第1章随机事件及其概率章随机事件及其概率应用概率统计应用概率统计随机试验随机试验E：随机事件随机事件A：事件事件A的概率：的概率：( )?P A 样本空间样本空间 应用概率统计应用概率统计解解 设设B=取到的数能被取到的数能被6整除整除 C=取到的数能被取到的数能被8整除整除 5( )30P B 3( )30P C 1()30P B

2、C 因而所求的概率为因而所求的概率为 P(A)=P(BC)P(B)1P()CBC 1P( )P( )P(BC)BC 53123130303030 应用概率统计应用概率统计第第1章随机事件及其概率章随机事件及其概率应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计1随机事件与概率随机事件与概率1.1随机试验与随机事件随机试验与随机事件应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计1.2随机事件间的关系与运算随机事件间的关系与运算应用概率统计应用概率统计1.2.1包含关系包含关系例例 “长度不合格长度不合格” 必然必然导致导致 “产品不合格产品不合格”所以所以“产品不合格产

3、品不合格”包含包含“长度不合格长度不合格”.应用概率统计应用概率统计1.2.2相等关系相等关系应用概率统计应用概率统计1.2.3互不相容（互斥）事件互不相容（互斥）事件例例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币互不相容的两个事件互不相容的两个事件应用概率统计应用概率统计1.2.4事件的并（和）事件的并（和）例例 某种产品的合格某种产品的合格与否是由该产品的长与否是由该产品的长度与直径是否合格所度与直径是否合格所决定决定,因此因此 “产品不合产品不合格格”是是“长度不合格长度不合格”与与“直径不合格直径不合格”的的并并.应用概率统计应用概率统计1.2.5事件的交（积）事件的交（积）例例 某种产品的合格与否是

4、由某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格该产品的长度与直径是否合格所决定所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.应用概率统计应用概率统计1.2.6差事件差事件例例 “长度合格但直长度合格但直径不合格径不合格” 是是 “长长度合格度合格”与与 “直径直径合格合格” 的差的差.应用概率统计应用概率统计1.2.7对立事件对立事件AB AB 应用概率统计应用概率统计对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别ABABA A与与B 对立对立A与与B 互斥互斥 ABAB 且 AB互互 斥斥对对 立立应用概率统计应用概率统计

5、1.2.8事件的运算律事件的运算律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结结合合律律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律(4):,.ABAB德德 摩摩根根律律则则有有为为事事件件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA ABAB应用概率统计应用概率统计CCAB CBACBACBACBAABCBCACBACABCACABBABC（1）第三次未中奖）第三次未中奖（5）不止一次中奖）不止一次中奖（6）至多中奖二次）至多中奖二次（4）至少有一次中奖）至少有一次中奖（3）恰有一次中奖）恰有一次中奖（2）第三次才中

6、奖）第三次才中奖应用概率统计应用概率统计1.3.1概率的统计定义概率的统计定义( )AnnfAn1.3随机事件的概率随机事件的概率应用概率统计应用概率统计频率具有下述基本性质：频率具有下述基本性质： 11()()nnniniiifAfA应用概率统计应用概率统计试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.5

7、02例例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计1.3.2概率的公理化定义概率的公理化定义应用概率统计应用概率统计1()nnPA011()nnP A应用概率统计应用概率统计1.3.3概率的性质概率的性质1()nkkPA01()nkkP A应用概率统计应用概率统计()P AB()P AB 1( )P A( )()P

8、 AP AB( )( )()P AP BP AB()P AB ( )( )()P AP BP AB应用概率统计应用概率统计求概率的分析过程求概率的分析过程随机试验随机试验E随机事件随机事件A( )?P A 维恩图运算律概率的性质等样本空间样本空间 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解 （1） P(BA)（2） P(BA)（3） P(BA)1P(B)21P(B)P(A)43P(B)P(AB)8应用概率统计应用概率统计P(ABC)=1 1 111=1-+0+-4 4 416163801-P(AB)C1-P(A)-P(B)-P(C)+P(AB)+P(BC)+P(CA)-P(ABC)对

9、偶律=对立事件的概率P(AB)C加法公式应用概率统计应用概率统计()P AB ( )()P AP AB( )()P BP AB0.3加法公式应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计2概率的计算概率的计算2.1古典概率古典概率应用概率统计应用概率统计( )AnAP An包含的样本点数中的样本点总数应用概率统计应用概率统计解解 设设A=取到的数能被取到的数能被6整除整除 B=取到的数能被取到的数能被8整除整除 333( )2000P A 250( )2000P B 应用概率统计应用概率统计83()2000P AB 因而所求的概率为因而所求的概率为 P(AB)P(AB)1P(AB) 1P(A

10、)P(B)P(AB) 33325083312000200020004 应用概率统计应用概率统计2.2计数原理计数原理应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计(1)(1)!()!rnn nnrnCrr nr 应用概率统计应用概率统计求古典概率的分析过程求古典概率的分析过程随机试验随机试验E随机事件随机事件AnAn( )AnAP An包含的样本点数中的样本点总数示意图示意图示意图示意图应用概率统计应用概率统计解解 设设A=没有相同数字的三位数没有相同数字的三位数B=没有相同数字的三位偶数没有相同数字的三位偶数 则样本点总数则样本点总数5 6 6180n 百百十十个个5662.3利用计数原理

11、计算古典概率利用计数原理计算古典概率应用概率统计应用概率统计95665455P(A)451366552P(B)百百十十个个5百百十十0百百十十2百百十十455444444应用概率统计应用概率统计课练课练 把把 4 个不同的球放到个不同的球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个杯子中各有两个球的概率个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法43 3 3 33 解解 设设A=第第1、2个杯子中各有两个球个杯子中各有两个球应用概率统计应用概率统计个个224C个个222C因此第因此

12、第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为22424( )3CCP A227A=第第1、2个杯子中各有两个球个杯子中各有两个球应用概率统计应用概率统计解法解法1 应用概率统计应用概率统计(1)!()()!ka abaP Aabab应用概率统计应用概率统计解法解法2 11()aa bkaa bCaP ACab 应用概率统计应用概率统计2.4几何概型几何概型应用概率统计应用概率统计( )ASAP AS的度量的度量应用概率统计应用概率统计求几何概率的分析过程求几何概率的分析过程随机试验随机试验E随机事件随机事件A示意示意图图示意图示意图SAS的度量的度量ASSAPA)(A应用概率统

13、计应用概率统计 那么那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例 （会面问题会面问题）甲、乙两人相约在）甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间这段时间内内, 在预定地点会面在预定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时经过时间间 t( tT ) 后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻到这段时间内各时刻到达该地是等可能的达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连且两人到达的时刻互不牵连.求甲、求甲、乙两人能会面的概率乙两人能会面的概率.解解,时刻时刻的的分别为甲、乙两人到达分别为甲、乙两人到达设设yx应用概率统计应

14、用概率统计故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以若以 x, y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标 , 则有则有 t T T应用概率统计应用概率统计xoy6/5xy2111(1)25p 3450应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计3条件概率条件概率3.1条件概率条件概率应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解21( )3015P B 应用概率统计应用概率统计21()2814P B A 应用概率统计应用概率统计30/2830/2282)|(ABP)()(/APABPnn

15、nnAAB应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计5(|)99P B A 应用概率统计应用概率统计95 5()100 99P AB故有故有 ()5(|)( )99P ABP B AP A应用概率统计应用概率统计例例 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的岁的这种动物这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少?设设 A = 能活能活 20 岁以上岁以上 ，解解B =能活能活 25 岁以上岁以上则有则有, 8 . 0)( AP因因为

16、为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP(),P AB .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所所以以( )P B应用概率统计应用概率统计条件概率满足概率的三条基本性质，即条件概率满足概率的三条基本性质，即11()()nnnnPB AP B A应用概率统计应用概率统计条件概率具有下列性质：条件概率具有下列性质： 1()nkkPB A12()P BB A 1()P B A01()nkkP B A1212()()()P B AP B AP B B A应用概率统计应用概率统计(| ) P AB C()( )P ABCP C()()( )P ABP ABCP C3

17、/4应用概率统计应用概率统计()P AB ( )( )()P AP BP AB( )( )( ) (|)P AP BP A P B A0.7应用概率统计应用概率统计121211122121()() ()()()nnnnnP A AAP A P A AP AA AAP A A AA则则有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设, 0)(, ABPCBA()()()()P ABCP A P B A P C AB()( )(0,)P ABP A PP AB A设则有3.2乘法公式乘法公式应用概率统计应用概率统计1213121

18、21() () ()()nnP A P A A P A A AP A A AA应用概率统计应用概率统计证明证明 112121()()()0nP AP A AP A AA121()()nknkPAP A AA121121() ()nnnP A AAP A A AA1221122121() () ()nnnnnP A AAP AA AAP A A AA121312121() () ()()nnP A P A A P A A AP A A AA应用概率统计应用概率统计应用乘法公式解题的分析步骤应用乘法公式解题的分析步骤 试验过程EE1E2En可能结果11,A A22,A A,nnA A1()nkkP

19、AILL事件的概率121312121() () ()()nnP A P A A P A A AP A A AALL应用概率统计应用概率统计例例 一个盒子中有一个盒子中有6只白球，只白球，4只黑球，从中不放回地只黑球，从中不放回地每次任取每次任取1只，连取只，连取3次，求第三次才取得白球的概率次，求第三次才取得白球的概率.试验过程EE1：第1次取球E2：第2次取球E3：第3次取球可能结果分分析析白球或黑球白球或黑球白球或黑球P(第三次才取得白球第三次才取得白球)=P(第第1取得黑球取得黑球,且第且第2取得黑球取得黑球,且第且第3取得白球取得白球)应用概率统计应用概率统计例例 一个盒子中有一个盒子

20、中有6只白球，只白球，4只黑球，从中不放回地只黑球，从中不放回地每次任取每次任取1只，连取只，连取3次，求第三次才取得白球的概率次，求第三次才取得白球的概率.123P(A A A )=111223P(A )P(A |A )P(A |A A )4361109810则所求的第三次才取得白球的概率为则所求的第三次才取得白球的概率为 应用概率统计应用概率统计3.3全概率公式全概率公式应用概率统计应用概率统计012( )() ()P BP BP B AAA 012()()()P BAP BAP BA001122() ()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B A11111

21、12112524543534422222297979759C CC CC CCC CCCCCCCC应用概率统计应用概率统计B1A2A3A1nAnA应用概率统计应用概率统计B1A2A3A1nAnA1( )() ()niiiP BP A P B A应用概率统计应用概率统计应用全概率公式解题的分析步骤应用全概率公式解题的分析步骤 E1E2可能结果,B B事件的概率12,nA AAL( )P B 试验过程E1() ()niiiP A P B A应用概率统计应用概率统计E1：生产产品E2：产品质量可能结果试验过程E第1、2、3车间生产 合格或不合格 分析分析应用概率统计应用概率统计( )P B 0.3

22、0.850.3 0.90.4 0.950.90531() ()iiiP A P B A应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计4ii0P(B)P(A )P(B|A )i101010109998979610101010100100100100CCCC0.1 10.20.40.20.1CCCC 0.8142E1：抽批产品E2：检查批产品可能结果试验过程E有i个次品 通过或未通过 分分析析应用概率统计应用概率统计1ii0P(B)P(A )P(B|A )i3020201950495049E1：第1人取球E2：第2人取球可能结果试验过程E取i个黄球 取i个黄球2/5应用概率统计应用概率统计应用概

23、率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计0.5(1)kpn/0.51k np应用概率统计应用概率统计/0.5389/15830.5 0.40.076210.6k np应用概率统计应用概率统计3.4贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式应用概率统计应用概率统计（1） 由全概率公式可知，取得正品的概率为由全概率公式可知，取得正品的概率为( )P B 1213122333343436（2）若已知取得一个正品，则这个正品是从第一）若已知取得一个正品，则这个正品是从第一个箱中取出的概率为个箱中取出的概率为1(|)P AB 8231()( )P A BP B11() (|)( )P A P B AP B

24、112233() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B A应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用贝叶斯公式解题的分析步骤应用贝叶斯公式解题的分析步骤 E1E2可能结果,B B事件的概率12,inA AAALL()iP A B 试验过程E1() ()() ()iinjjjP A P B AP A P B A应用概率统计应用概率统计E1：学习E2：考试可能结果试验过程E努力或不努力 及格或不及格 分分析析应用概率统计应用概率统计考试及格的学生是不努力学习的人的可能性为考试及格的学生是不努力学习的人的可能性为()P A B 0.1 0.020

25、.00230.9 0.980.1 0.02( ) ()( ) ()( ) ()P A P B AP A P B AP A P B A应用概率统计应用概率统计E1：产品E2：检查可能结果试验过程EA工厂或B工厂 合格品或次品 (|)P A次0.60.010.60.010.40.023/7( ) ()( ) ()( ) ()P A PAP A PAP B PB次|次|次应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计4随机事件的独立性随机事件的独立性 应用概率统计应用概率统计4.1两个事件的独立性两个事件的独立性应用概率统计应用概率统计解解 设设A=第一次摸到黑球第一次摸到黑球，B=第二次摸黑球第

26、二次摸黑球，则，则（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率 6P(B|A)10（2）第二次摸到黑球的概率）第二次摸到黑球的概率 P(B) 664661010101010P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计()( )()P ABP AP AB( )( ) ( )P AP A P B( )1( )( ) ( )P AP BP A P B应用概率统计应用概率统计实际问题实际问题 () P AB( ) ( )P A P B应

27、用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计()P AB ( )( )P AP B0.20.1 0.2 0.10.28( )( )()P AP BP AB( ) ( )P A P B应用概率统计应用概率统计4.2三个事件的独立性三个事件的独立性应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解由于由于,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP应用概率统计应用概率统计故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立.1()( ) ( )41()( ) ( )41()( ) ( )4P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P

28、 C则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 应用概率统计应用概率统计4.3多个事件的相互独立多个事件的相互独立应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计12()nP A AA12()nP AAA1211() ()()11()nniiP A P AP AP A 12() ()()nP A P AP A对立事件的概率对立事件的概率121()nP AAA对偶律对偶律121()nP A AA应用概率统计应用概率统计1210012100()1() ()()P AAAP A P AP A 1001 (1 0.004)0.33 应用

29、概率统计应用概率统计4.4试验的独立性试验的独立性应用概率统计应用概率统计5()10iP A5()1()1 10iiP AP A 应用概率统计应用概率统计十年从未中大奖的概率十年从未中大奖的概率 5 52012520()(1 10 )0.9948P A AA这个概率很大，这说明十年中从未中过一次大奖这个概率很大，这说明十年中从未中过一次大奖是很正常的事情是很正常的事情应用概率统计应用概率统计4.5n重伯努利试验重伯努利试验303031233515(0)()666PP A A AC应用概率统计应用概率统计3123123123(1)()PP A A AA A AA A A2131566C31231

30、23123(2)()PP A A AA A AA A A2231566C330331233115(3)()666PP A A AC 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计,1,0,1,(2),kkn knnqP kC p qp kn应用概率统计应用概率统计121121kkknn kn knBA AA AAA AAAA 121()kknP A AA AA121() ()() ()()(1)kn kkknP A P AP A P AP App( ),1,0,1,2,kkn knnP kC p qqp kn 应用概率统计应用概率统计555( )(3)(4)(5)P BPPP33244555

31、550.80.20.80.20.80.94208CCC应用概率统计应用概率统计C中三次中一次应用概率统计应用概率统计( )P Ap3(1)p三次A都没发生的概率198127271/3应用概率统计应用概率统计1(1)np1(1)(1)nnpnpp应用概率统计应用概率统计第第1章习题课章习题课随机随机现象现象随机随机试验试验事件的事件的独立性独立性随随 机机 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件对对立立事事件件概概 率率古典古典概型概型几何几何概率概率乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不可能事件不可能事

32、件复复合合事事件件应用概率统计应用概率统计.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结结合合律律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律则则有有为为事事件件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 事件的运算律事件的运算律(4):,.ABAB德德 摩摩根根律律ABAB应用概率统计应用概率统计概率的公理化定义概率的公理化定义1()nnPA011()nnP A应用概率统计应用概率统计概率的性质概率的性质1()nkkPA01()nkkP A应用概率统计应用概率统计()()P ABP AB()P AB 1( )P A(

33、 )()P AP AB( )( )()P AP BP AB()P AB ( )( )()P AP BP AB应用概率统计应用概率统计古典概率古典概率( )AnAP An包含的样本点数中的样本点总数应用概率统计应用概率统计计数原理计数原理应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计(1)(1)!()!rnn nnrnCrr nr 应用概率统计应用概率统计几何概型几何概型( )ASAP AS的度量的度量条件概率条件概率()P B A ()( )P ABP A应用概率统计应用概率统计乘法公式乘法公式121211122121()() ()()()nnnnnP A AAP A P A AP AA A

34、AP A A AA全概率公式全概率公式B1A2A3A1nAnA1( )() ()niiiP BP A P B A1() ()()() ()iiinjjjP A P B AP A BP A P B A贝叶斯公式贝叶斯公式应用概率统计应用概率统计()P AB ()( )P B AP B事件的独立性事件的独立性( ) ( )P A P B应用概率统计应用概率统计,1,0,(, ,)1 2nqp knP k kkn knC p q应用概率统计应用概率统计求概率的分析过程求概率的分析过程随机试验随机试验E随机事件随机事件A( )?P A 维恩图运算律概率的性质等样本空间样本空间 应用概率统计应用概率统计

35、解解 max()P AB ( )0.6P A 题型题型1 加法公式加法公式典型例题典型例题应用概率统计应用概率统计(2)由加法公式可得由加法公式可得 ()P AB 1.3()P ABmin()1.3 10.3P AB ( )( )()P AP BP AB应用概率统计应用概率统计()()P ABP AB()P AB ()P AB对偶律对立事件的概率1()P AB加法公式1( )( )()P AP BP AB1p应用概率统计应用概率统计题型题型2 古典概型古典概型 解解 112323( )48C CP B 1221( )48CP A 应用概率统计应用概率统计题型题型3 条件概率条件概率应用概率统计

36、应用概率统计解解 A=雇员有本科文凭雇员有本科文凭,B=雇员是管理人员雇员是管理人员 （1）已知某雇员有本科文凭）已知某雇员有本科文凭,那么他是管理人员那么他是管理人员的概率为的概率为 (|)P B A（2）已知某雇员不具有本科文凭）已知某雇员不具有本科文凭,那么他是管理人员那么他是管理人员的概率是的概率是 (|)P B A()( )P ABP A0.080.10.8()( )P ABP A( )()1( )P BP ABP A0.040.20.2应用概率统计应用概率统计(|)1P A B ()( )P ABP B()P AB ( )( )()P AP BP AB加法公式条件概率C应用概率统计应用概率统计(|)P B A ()( )P ABP A条件概率(|)P B A ()( )P ABP A( )()1( )P BP ABP AC应用概率统计应用概率统计题型题型4 乘法公式乘法公式试验过程EE1E2En可能结果11,A A22,A A,nnA A1()nkkPAILL事件的概率121312121() () ()()nnP A P A A P A A AP A A AALL应用概率统计应用概率统计设设A,B,C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则分别表示甲、乙、丙抽到难签，则 解解 P甲乙都抽到难签甲乙