第一章 逻辑代数基础(1)

1、第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 1.1 数制和码制数制和码制了解其他常用编码。了解其他常用编码。基本内容和要求基本内容和要求 掌握掌握84218421编码。编码。掌握二进制、十六进制数及其与掌握二进制、十六进制数及其与十进制数十进制数的相互的相互转换。转换。1.1.1 进位计数制的基本概念进位计数制的基本概念 进位计数制也叫进位计数制也叫位置位置计数制，其计数方法是把计数制，其计数方法是把数划分为不同的数位，当某一数位累计到一定数量数划分为不同的数位，当某一数位累计到一定数量之后，该位又从零开始，同时向高位进位。在这种之后，该位又从零开始，同时向高位进位。在这种计数制中，同一个数码

2、在不同的数位上所表示的数计数制中，同一个数码在不同的数位上所表示的数值是不同的。采用进位计数制可以用少量的数码表值是不同的。采用进位计数制可以用少量的数码表示较大的数，因而被广泛采用。示较大的数，因而被广泛采用。 在进位计数制中有两个基本概念，即在进位计数制中有两个基本概念，即进位基数进位基数和数位的和数位的权值权值。 进位基数进位基数：在一个数位上，规定使用的数码符：在一个数位上，规定使用的数码符号的个数叫做该进位计数制的进位基数或进位模数，号的个数叫做该进位计数制的进位基数或进位模数，记作记作R R。例如十进制，每个数位规定使用的数码符号。例如十进制，每个数位规定使用的数码符号为为0 0，

3、 1 1， 2 2， ， 9 9，共，共1010个，个， 故其进位基数故其进位基数R R=10=10。 数位的权值数位的权值：某个数位上数码为：某个数位上数码为1 1时所表征的数时所表征的数值，称为该数位的权值，简称值，称为该数位的权值，简称“权权”。各个数位的。各个数位的权值均可表示成权值均可表示成R Ri i的形式，其中的形式，其中R R是进位基数，是进位基数，i i是各是各数位的序号。按如下方法确定：整数部分，以小数数位的序号。按如下方法确定：整数部分，以小数点为起点，自右向左依次为点为起点，自右向左依次为0 0，1 1，2 2，n n-1-1；小；小数部分，以小数点为起点，自左向右依次

4、为数部分，以小数点为起点，自左向右依次为-1-1，- -2, 2, ，- -m m。n n是整数部分的位数，是整数部分的位数，m m是小数部分的位是小数部分的位数。数。 例如十进制数例如十进制数1111.11111.1，同样都是，同样都是1 1，由于它们，由于它们所处的数位不一样，它们所代表的数值就不一样。所处的数位不一样，它们所代表的数值就不一样。 权值的概念可以用军队或行政系统体制进行对权值的概念可以用军队或行政系统体制进行对比。同样一个人，当他所处的地位不一样时，他的比。同样一个人，当他所处的地位不一样时，他的权力不一样。权力不一样。 行政体制官员地位：行政体制官员地位：国家主席国家主席

5、、省长省长、市长市长、县长、县长、乡长乡长、村长村长、村民村民司令司令军长军长师长师长旅长旅长团长团长营长营长连长连长排长排长班长班长战士战士 某个数位上的数码某个数位上的数码a ai i所表示的数值等于数码所表示的数值等于数码a ai i与与该位的权值该位的权值R Ri i的乘积。所以，的乘积。所以，R R进制数既可表示为：进制数既可表示为：mnnRaaaaaaaaN.)(2101221又可以写成如下多项式的形式：又可以写成如下多项式的形式： 122110011222211)(nmiiimmnnnnRRaRaRaRaRaRaRaRaRaN1.1.2 常用进位计数制常用进位计数制1. 十进制十

6、进制 在十进制中，每个数位规定使用的数码为在十进制中，每个数位规定使用的数码为0，1， 2，, 9，共，共10个，故其进位基数个，故其进位基数R为为10。其计数规。其计数规则是则是“逢十进一逢十进一”。各位的权值为。各位的权值为10i，i是各数位的是各数位的序号。序号。 十进制数用下标十进制数用下标“D”表示，也可省略。例如：表示，也可省略。例如： 321012108105102108106103)258.368( D十进制数人们最熟悉，但在机器上实现起来困难。十进制数人们最熟悉，但在机器上实现起来困难。 2. 二进制二进制 在二进制中，每个数位规定使用的数码为在二进制中，每个数位规定使用的数

7、码为0，1，共共2个数码，故其进位基数个数码，故其进位基数R为为2。其计数规则是。其计数规则是“逢二进一逢二进一”。 各位的权值为各位的权值为2i，i是各数位的序号。是各数位的序号。 二进制数用下标二进制数用下标“B”表示。例如：表示。例如： 210123B212021212021)01.1011( 二进制数由于只需两个状态，机器实现容易，二进制数由于只需两个状态，机器实现容易， 因而二进制是数字系统唯一认识的代码。其缺点因而二进制是数字系统唯一认识的代码。其缺点是书写太长。是书写太长。 3. 十六进制十六进制 在十六进制中，每个数位上规定使用的数码在十六进制中，每个数位上规定使用的数码符号为

8、符号为0，1， 2，, 9, A, B, C, D, E, F，共，共16个，个，故其进位基数故其进位基数R为为16。其计数规则是。其计数规则是“逢十六进逢十六进一一”。各位的权值为。各位的权值为16i, i是各个数位的序号。是各个数位的序号。十六进制数用下标十六进制数用下标“H”表示，例如：表示，例如： (BD2.3C)H=B162+D161+2160 +316-1+C16-2 =11162+13161+2160+ 316-1+1216-2 因为因为24=16，所以四位二进制数可用一位十六，所以四位二进制数可用一位十六进制数表示。进制数表示。 3. 八进制八进制 在八进制中，每个数位上规定使

9、用的数码为在八进制中，每个数位上规定使用的数码为0，1，2， 3，4，5，6，7，共，共8个，故其进位基数个，故其进位基数R为为8。其计数规则为。其计数规则为“逢八进一逢八进一”。各位的权值为。各位的权值为8i，i是各数位的序号。是各数位的序号。 八进制数用下标八进制数用下标“O”表示。例如：表示。例如： (752.34)O=782+581+280+38-1+48-2 因为因为23=8，因而三位二进制数可用一位八进制数，因而三位二进制数可用一位八进制数表示。表示。 十进制数十进制数二进制二进制八进制八进制十六进制十六进制0000000000100010110200100220300110330

10、4010004405010105506011006607011107708100010809100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F不同进制数的对照表不同进制数的对照表 在计算机应用系统中，二进制主要用于机器内在计算机应用系统中，二进制主要用于机器内部的数据处理，八进制和十六进制主要用于书写程部的数据处理，八进制和十六进制主要用于书写程序，十进制主要用于人机界面，即人们向机器输送序，十进制主要用于人机界面，即人们向机器输送数和机器输出最终结果。数和机器输出最终结果。 1.1.3 数数 制制 转转 换换1. 各种非

11、十进制转换成十进制各种非十进制转换成十进制 数制转换就是指将数制转换就是指将不同数制进行转换的方法。不同数制进行转换的方法。把非十进制数转换成十进制数的方法采用按权展开把非十进制数转换成十进制数的方法采用按权展开相加法。具体步骤是，首先把非十进制数写成按权相加法。具体步骤是，首先把非十进制数写成按权展开的多项式，然后按十进制数的计数规则求和。展开的多项式，然后按十进制数的计数规则求和。 例例1 (2A.8)H=( ? )D解解 (2A.8)H=2161+A160+816-1 =32+10+0.5=(42.5)D例例 2 (165.2)O=( ? )D解解 (165.2)O=182+681+58

12、0+28-1 =64+48+5+0.25=(117.25)D例例3 (10101.11)B=( ? )D解解 (10101.11)B=124+023+122+021 +120+12-1+12-2 = 16+0+4+0+1+0.5+0.25=(21.75)D 2. 十进制数转换成其它非十进制数十进制数转换成其它非十进制数 (1) 整数转换整数转换 整数转换，整数转换，采用基数连除法采用基数连除法。把十进制整数。把十进制整数N转换成转换成R进制数的步骤如下：进制数的步骤如下： (a) 将将N除以除以R，记下所得的商和余数。，记下所得的商和余数。 (b) 将上一步所得的商再除以将上一步所得的商再除以

13、R，记下所得商和，记下所得商和余数。余数。 (c) 重复第重复第(b)步，直到商为步，直到商为0。 (d) 将各个余数转换成将各个余数转换成R进制的数码，并按照和进制的数码，并按照和运算过程相反的顺序把各个余数排列起来，即为运算过程相反的顺序把各个余数排列起来，即为R进制的数。进制的数。 例例 4 (427)D=( ? )H 427 余数 16 26 11=B 最低位 16 110=A 01=1 最高位(427)D=(1AB)H 即即解解例例 5 (427)D=( ? )O 8 427 余数 8 53 3 最低位 8 65 06 最高位(427)D=(653)O 即即解解例例 6 (11)D=

14、( ? )B 2 11 余数 2 5 1 最低位 2 21 21 0 01 最高位 (11)D=(1011)B 即即解解 (2) 纯小数转换纯小数转换 纯小数转换，纯小数转换，采用基数连乘法采用基数连乘法。把十进制的纯。把十进制的纯小数小数M转换成转换成R进制数的步骤如下：进制数的步骤如下： (a) 将将M乘以乘以R，记下整数部分。，记下整数部分。 (b) 将上一步乘积中的小数部分再乘以将上一步乘积中的小数部分再乘以R，记下，记下整数部分。整数部分。 (c) 重复做第重复做第(b)步，直到小数部分为步，直到小数部分为0或者满足或者满足精度要求为止。精度要求为止。 (d) 将各步求得的整数转换成

15、将各步求得的整数转换成R进制的数码，并进制的数码，并按照和运算过程相同的顺序排列起来，即为所求的按照和运算过程相同的顺序排列起来，即为所求的R进制数。进制数。 例例 7 (0.85)D=( ? )H 解解 0.8516=13.613=D 最高位最高位 0.616=9.6 9=9 0.616=9 .9=9 最低位最低位 即即 (0.85)D=(0.D99)H 例例 8 (0.35)D=( ? )O 解解 0.358=2.82 最高位最高位 0.88=6.4 6 0.48=3.2 3 0.2 8=1.6 1 最低位最低位 即即 (0.35)D=(0.2631)O例例 9 (11.375)D=( ?

16、 )B 2 11 2 5 1 2 21 21 0 01 (11)D=(1011)B 即即解解0.3752=0.750.752=1.50.52=1.0(0.375)D=(0.011)B(11.375)D=(1011.011)B 即即故故1.500 1 整数整数0.750 0 25 6 0 3 01 10 12(25 )10 = (11001 ) 2 2 21.000 1.37522220.375 2 余数余数 12 1读读数数顺顺序序读读数数顺顺序序 .011十进制数转换成二进制数原理分析十进制数转换成二进制数原理分析 （1） 整数转换整数转换除除2取余法。若将十进制整数取余法。若将十进制整数(

17、N)10转换为二进制整数转换为二进制整数(N)2，则可以写成，则可以写成 01011232210011221110222222222)(aQaaaaaaaaaNnnnnnnnn ）（如果将上式两边同除以如果将上式两边同除以2，所得的商为，所得的商为 )222(11232211aaaaQnnnn 余数就是余数就是a0。 同理，这个商又可以写成同理，这个商又可以写成 34212222nnnnQaaa 显然，若将上式两边再同时除以显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是，则所得余数是a1。重复上述过程，直到商为重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码，就可得二进制数的数码a0、a1、an-

18、1。 余数余数a1 。 (2) 小数转换小数转换乘乘2取整法。若将十进制小数取整法。若将十进制小数(N)10转转换为二进制小数换为二进制小数(N)2，则可以写成，则可以写成 mmaaaN 222)(221110将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以2， 便得到便得到 111012112()(22)mmNaaaaF可见，可见，2(N)10乘积的整数部分就是乘积的整数部分就是a-1，小数部分就是，小数部分就是F1。若将。若将2(N)10乘积的小数部分乘积的小数部分F1再乘以再乘以2，则有，则有1221234222(222)mmFaaaaaF所得乘积整数部分就是所得乘积整数部分就是a-2，小数部分为，

19、小数部分为F2。显然，重复。显然，重复上述过程，便可求出二进制小数的各位数符上述过程，便可求出二进制小数的各位数符a-1,a-2,a-m。 应当指出，小数部分乘应当指出，小数部分乘2取整的过程不一定能使最后乘取整的过程不一定能使最后乘积为积为0，因此转换值存在一定的误差。通常在二进制小数的，因此转换值存在一定的误差。通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束。精度已达到预定的要求时，运算便可结束。将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，必须将整数部分和小数部分分别按除必须将整数部分和小数部分分别按除2取余法和乘取余法和乘2取整

20、法进取整法进行计算，然后将两者的转换结果合并起来。行计算，然后将两者的转换结果合并起来。 3. 二进制与八进制、十六进制之间的相互转换二进制与八进制、十六进制之间的相互转换 八进制数和十六进制数的基数分别为八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24，所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，四位二进制数相当一位十六进制数， 它们之间的相它们之间的相互转换非常方便。互转换非常方便。 二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右，将二进制数按每三位一组分始，分别向左、向

21、右，将二进制数按每三位一组分组组(不足三位的补不足三位的补0)，然后写出每一组等值的八进制，然后写出每一组等值的八进制数。数。 例如，求例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数。的等值八进制数。 二进制二进制 001 101 111 010 . 101 100 八进制八进制 1 5 7 2 . 5 4 所以所以 (01101111010.1011)2=(1572.54) 8 同理，同理，二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，即从小数点开二进制数与八进制数的转换相似，即从小数点开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组

22、始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补不足四位补0)，然后写出每一组等值的十六进制，然后写出每一组等值的十六进制数。数。 例如，将例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数：转换为十六进制数： 00 11 01 10 10 11 . 10 103 6 B . A 所以所以 (1101101011.101)2=(36B.A)16 八进制数、十六进制数转换为二进制数的方八进制数、十六进制数转换为二进制数的方法可以采用与前面相反的步骤，即只要按原来顺法可以采用与前面相反的步骤，即只要按原来顺序将每一位八进制数序将每一位八进制数(或十六进制数或十六进制数)用相应的三用相应

23、的三位位(或四位或四位)二进制数代替即可。二进制数代替即可。 例如，分别求出例如，分别求出(375.46)8、(678.A5)16的等值二的等值二进制数：进制数： 八进制八进制 3 7 5 . 4 6 十六进制十六进制 6 7 8 . A 5 二进制二进制 011 111 101 . 100 110二进制二进制 0110 0111 1000.1010 0101 所以所以 (678.A5)16=(011001111000.10100101)2 所以所以 (375.46)8=(011111101.100110)21.1.4 码制码制将若干个二进制数码将若干个二进制数码 0 和和 1 按一定规则排列

24、起按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码。二进制码。常用二进制代码常用二进制代码 自然二进制码自然二进制码 二二 - - 十进制码十进制码 格雷码格雷码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII 码码 用数码的特定组合表示特定信息的过程称为用数码的特定组合表示特定信息的过程称为编码编码。 编码编码就是用二进制码来表示给定的就是用二进制码来表示给定的信息信息符号符号的过程。的过程。 信息符号可以是十进制数符信息符号可以是十进制数符0，1，2，9；字符；字符A、B、C、；运算符；运算符“+”、“-”、“=”等。等。 1. 二一十进制

25、码二一十进制码(BCD码码) 二二-十进制码是用二进制码元来表示十进制数十进制码是用二进制码元来表示十进制数符符“09”的代码，简称的代码，简称BCD码码(Binary Coded Decimal的缩写的缩写)。 用二进制码元来表示用二进制码元来表示“09”这这10个数符，必个数符，必须用四位二进制码元来表示，而四位二进制码元共须用四位二进制码元来表示，而四位二进制码元共有有16种组合，从中取出种组合，从中取出10种组合来表示种组合来表示“09”的编的编码方案约有码方案约有2.91010种。种。 实际应用中只取几种特定的组合，如表实际应用中只取几种特定的组合，如表1.1.1所所示。若某种代码的

26、每一位都有固定的示。若某种代码的每一位都有固定的“权值权值”，则，则称这种代码为有权代码；否则，叫无权代码。称这种代码为有权代码；否则，叫无权代码。 表表 1.1.1 几种常用的几种常用的BCD码码 十进制十进制数数 8421码码 5421码码 2421码码 余余3码码 BCD Gray码码 012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100

27、010011010101111000000000100110010011001110101010011001000(1) 8421 BCD码码 8421 BCD码是最基本和最常用的码是最基本和最常用的BCD码，码， 它和四位自然二进制码相似，它和四位自然二进制码相似， 各位的权值为各位的权值为8、 4、 2、 1， 故称为有权故称为有权BCD码。和四位自然二码。和四位自然二进制码不同的是，进制码不同的是， 它只选用了四位二进制码中它只选用了四位二进制码中前前 10 组代码，即用组代码，即用00001001分别代表它所对分别代表它所对应的十进制数，应的十进制数， 余下的六组代码不用。余下的六组代

28、码不用。 (2) 5421 BCD码和码和2421 BCD码码 5421 BCD码和码和2421 BCD码为有权码为有权BCD码，它码，它们从高位到低位的权值分别为们从高位到低位的权值分别为5、 4、 2、 1和和2、4、2、1。 这两种有权这两种有权BCD码中，有的十进制数码存在码中，有的十进制数码存在两种加权方法，例如，两种加权方法，例如， 5421 BCD码中的数码码中的数码5，既，既可以用可以用1000表示，也可以用表示，也可以用0101表示，表示，2421 BCD码中的数码码中的数码6，既可以用，既可以用1100表示，表示， 也可以用也可以用0110表示。这说明表示。这说明5421

29、BCD码和码和2421 BCD码的编码方码的编码方案都不是惟一的，表案都不是惟一的，表1.1.1只列出了一种编码方案。只列出了一种编码方案。 (3) 余余3 码码 余余 3 码是在码是在8421 BCD码的每个码组上加码的每个码组上加3 (0011)形成的。其中的形成的。其中的0和和9，1和和8，2和和7，3和和6，4和和5各对码组相加均为各对码组相加均为1111，具有这种特性的代码，具有这种特性的代码称为自补代码。称为自补代码。 用用BCD码可以方便地表示多位十进制数，例码可以方便地表示多位十进制数，例如十进制数如十进制数(579.8)10可以分别用可以分别用8421 BCD码、余码、余 3

30、 码表示为：码表示为： 码码余余码码3842110)1011.110010101000()1000.100101110101()8 .579( BCD2. 可靠性编码可靠性编码 代码在产生和传输过程中，难免发生错误。代码在产生和传输过程中，难免发生错误。为减少错误的发生，或者在发生错误时能迅速地为减少错误的发生，或者在发生错误时能迅速地发现或纠正，广泛采用了可靠性编码技术。利用发现或纠正，广泛采用了可靠性编码技术。利用该技术编制出来的代码叫可靠性代码，最常用的该技术编制出来的代码叫可靠性代码，最常用的有格雷码和奇偶校验码。有格雷码和奇偶校验码。 (1) 格雷格雷(Gray)码码 具有如下特点的

31、代码叫格雷码：任何相邻的具有如下特点的代码叫格雷码：任何相邻的两个码组两个码组(包括首、包括首、 尾两个码组尾两个码组)中，只有一个码元中，只有一个码元不同。不同。 在编码技术中，把两个码组中不同的码元的个在编码技术中，把两个码组中不同的码元的个数叫做这两个码组的距离，简称码距。由于格雷码数叫做这两个码组的距离，简称码距。由于格雷码的任意相邻的两个码组的距离均为的任意相邻的两个码组的距离均为1，故又称之为，故又称之为单位距离码。另外，由于首尾两个码组也具有单位单位距离码。另外，由于首尾两个码组也具有单位距离特性，因而格雷码也叫循环码。格雷码还是无距离特性，因而格雷码也叫循环码。格雷码还是无权码

32、。权码。 格雷码的编码方案很多，典型的格雷码如表格雷码的编码方案很多，典型的格雷码如表1.1.2所示，表中同时给出了四位自然二进制码。所示，表中同时给出了四位自然二进制码。 表表 1.1.2 典型的典型的Gray码码 十十 进进 制制 数数 二进制码二进制码 Gray码码 B3B2B1B0G3G2G1G001234567891011121314150 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0

33、10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0 Gray码的单位距离特性有很重要的意义。例如，码的单位距离特性有很重要的意义。例如，两个相邻的十进制数两个相邻的十进制数13和和14相应的二进制码为相应的二进制码为1101和和1110，在用二进制数作加，在用二进制数作加1计数时，如果从计数时，如果从13变变为为14，则二进制码的最低两位都要改变，但实际上，则二进制码的最低两位都要改变，但实际上两位改变不可能同时发生，若最低位先置两位改变不可能同时发生，若最低位先置0，然后次，然后次低位再置低位再置1，则中间会出现，则中间会出现110111001110，即，即出现暂短的误码出现暂短的误码1100，而，而Gray码只有一位变化，因码只有一位变化，因而杜绝了出现这种错误的可能。而杜绝了出现这种错误的可能。 (2) 奇偶校验码奇偶校验码 奇偶校验码是一种可以检测一位错误的代码。奇偶校验码是一种可以检测一位错误的代码。它由信息位和校验位两部分组成。它由信息位和校验位两部分组成。 信息位可以是任何一种二进制代码。它代表着信息位可以是任何一种二进制代码。它代表着要传输的原始