二重积分在极坐标系下的计算

1、2021/6/161二重积分在极坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算 一、二重积分的极坐标计算公式一、二重积分的极坐标计算公式二、典型例题二、典型例题2021/6/162O d d d d.:多于两点多于两点的边界曲线相交不的边界曲线相交不与与内部的射线内部的射线过闭区域过闭区域出发且穿出发且穿从极点从极点的特点的特点区域区域DDOD考虑典型小闭区域考虑典型小闭区域 曲边四边形区域曲边四边形区域 dd ddd 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素一、二重积分的极坐标计算公式2021/6/163 sincosyx dddd yx 二重积分的变量从直角二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换

2、公式坐标到极坐标的变换公式 DDfyxyxf dd)sin,cos(dd),(O d d d d2021/6/164计算方法计算方法化为二次积分化为二次积分O D)(1 )(2 ),()(:21D.20 ),()(0,)(),(2121 C其其中中2021/6/165O D)(1 )(2 EF)(1 )(2 ),()(:,21 上取定上取定在在 )()(21d)sin,cos()( fF,: .d)( F Df dd)sin,cos( d d)sin,cos()()(21 f )()(21d)sin,cos(df2021/6/166适用范围适用范围;,)1(极极坐坐标标计计算算可可考考虑虑用用

3、圆圆环环或或扇扇形形区区域域时时为为圆圆域域通通常常简简单单程程表表示示比比较较的的边边界界曲曲线线用用极极坐坐标标方方积积分分区区域域DD.,)2(22标计算标计算式时可以考虑使用极坐式时可以考虑使用极坐的因的因通常当被积函数中含有通常当被积函数中含有并易于积分并易于积分函数表达式可以简化函数表达式可以简化被积函数使用极坐标后被积函数使用极坐标后yx 2021/6/167二重积分化为二次积分几种常见的情形二重积分化为二次积分几种常见的情形 O D)(1 )(2 .),()(:21 D情情况况一一： Df dd)sin,cos( O )(1 )(2 D;d)sin,cos(d)()(21 f2

4、021/6/168.),(0: D情情况况二二： O D )( 二重积分化为二次积分几种常见的情形二重积分化为二次积分几种常见的情形 Df dd)sin,cos(;d)sin,cos(d)(0 f2021/6/169.20 ),(0: D情情况况三三： O)( D.dd , DSD 的的面面积积区区域域以以上上各各种种情情形形二重积分化为二次积分几种常见的情形二重积分化为二次积分几种常见的情形 Df dd)sin,cos(;d)sin,cos(d20)(0 f2021/6/1610.,dde22222ayxaDyxDyx 的的圆圆域域为为半半径径是是中中心心在在原原点点其其中中计计算算解解 a

5、Dyxyx020deddde222 ).e1(2a .20,0: aD二、典型例题例例1 12021/6/1611.10 ,11),(,dd),(2 xxyxyxDyxyxfD其其中中积积分分化化为为极极坐坐标标形形式式的的二二次次将将解解, 1 圆的方程为圆的方程为,cossin1 直直线线方方程程为为 Dyxyxfdd),(所以所以.d)sin,cos(d1cossin120 f ,sin,cos yx因因为为1 yx122 yx例例2 22021/6/1612.de,102 xx计计算算结结果果利利用用例例21 DSD 显然显然例例3 3解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2

6、222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 1D2DSS1D2DRR2, 0e22 yx因为因为 Syxyxdde22.dde222 Dyxyx 122dde Dyxyx所以所以2021/6/1613 RyRxyx00dede22;)de(202 Rxx R00ded22 );e1(42R );e1(422R SyxyxIdde22又又因因为为 122dde1DyxyxI 222dde 2DyxyxI同同理理2021/6/1614,41 I,42 I),(4 nI所所以以根根据据夹夹逼逼准准则则, 21III 因因为为);e1(4)de()e1(4 222220RRxR

7、x 所所以以 , 时时当当 R.4)de( 202 xx即即2021/6/1615.03, 03,4,2:,dd)(222222所所围围成成的的平平面面区区域域计计算算 xyyxyyxyyxDyxyxD边界曲线的极坐标方程边界曲线的极坐标方程 sin2222 yyx sin4422 yyx603 yx303 xy Dyxyxdd)(22解解 sin4sin2236dd).32(15 例例4 42021/6/1616. 41:,dd)sin(222222 yxDyxyxyxD求求解解 1dd)sin(4dd)sin(22222222DDyxyxyxyxyxyx dsind42120 1D. 4

8、积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称, ,被积函数关于坐标被积函数关于坐标轴对称轴对称. .例例5 52021/6/1617.)(2)(222222222所围成的图形的面积所围成的图形的面积和和求由曲线求由曲线ayxyxayx .4 1DDSS 根根据据对对称称性性 2cos2)(2)(222222ayxayx aayx 222).6,( 2cos2aaa得交点得交点 1D例例6 6解解2021/6/1618 1dd4ddDDyxyxS 2cos260dd4aa).33(2 a2021/6/1619.)0(24222222部分立体的体积部分立体的体积的那的那所截得的含在圆柱面内所截得的

9、含在圆柱面内被圆柱面被圆柱面计算一个球体计算一个球体 aaxyxazyx例例7 72021/6/1620,20,cos20: aD DyxyxaVdd44222 cos202220d4d4aa).322(3323 a解解xyOa2Daxyx222 2021/6/1621.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxDyxxyID 双纽线所围成双纽线所围成由下列由下列其中积分区域其中积分区域计算计算,2cos2)1(2 双双纽纽线线的的极极坐坐标标方方程程为为.见图见图其所围区域其所围区域 D,是是奇奇函函数数关关于于而而被被积积函函数数轴轴对对称称关关于于由由于于积积分分区区域域yxyxD. 0dd Dyxxy故故xyO例例8 8解解2021/6/1622,2sin2)2(2 双双纽纽线线的的极极坐坐标标方方程程为为.见图见图其所围区域其所围区域 D,关关于于原原点点对对称称由由于于积积分分区区域域D满满足足而而被被积积函函数数xyyxf ),(,dd21 DyxxyI故故xyO.1轴轴上上