微分方程和差分方程简介精简版

1、三、利用三、利用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(1, 2,n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程 0 2 2 dx yd 应表达为：D2y=0. 例例 1 求 2 1u dt du 的通解. 解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 结 果：u = tg(t-c) 例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0( 0294 2 2

2、yy y dx dy dx yd 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结 果 为 : y =3e-2xsin（5x） 例例 3 求微分方程组的通解. zyx dt dz zyx dt dy zyx dt dx 244 354 332 解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-

3、3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 返 回 四、微分方程的数值解四、微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 。的相应近似值 求出准确值，值处，即对的若干

4、离散的 开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程 nn n yyxyxy xxxxx y)y(x f(x,y)y ,y )(,),( ),y(x x 212 1210 0 00 返 回 （二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径 00 1 , 1, 2 , 1 , 0 , y)y(x f(x,y)y nihxx ii 解微分方程：可用以下离散化方法求设 1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有 h xyhxy xy )()( )( 故有公式： 1-n,0,1,2,i )( ),( 00 1 xyy yxhfyy iiii 此即欧拉法欧拉法。 2、使用数值积分、使用数

5、值积分 对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有： )(,()(,( 2 )(,()()( 11 1 1 1 iiii ii x x ii xyxfxyxf xx dttytfxyxy i i 实际应用时，与欧拉公式结合使用： , 2 , 1 , 0 ),(),( 2 ),( )( 11 )1( 1 )0( 1 kyxfyxf h yy yxhfyy k iiiii k i iiii 的计算。然后继续下一步 ，取时，当满足，对于已给的精确度 ）（ y y 2i 1 11i )( 1 )1( 1 k i k i k i yyy 此即改进的欧拉法改进的欧拉法。 故有公

6、式： )( ),(),( 2 00 111 xyy yxfyxf h yy iiiiii 3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔（库塔（Runge Kutta）法）法、 线性多步法线性多步法等方法。 4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时 （k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回 （三）可以用（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常

7、微分方程的数值解 t，x=solver（f,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s 由待解 方程写 成的m- 文件名 ts=t0，tf， t0、tf为自 变量的初 值和终值 函数的 初值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变 量值 函数 值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. ii.阻滞增长模型阻滞增长模型(L

8、ogistic模型、模型、Verhulst模型模型) 传染病模型传染病模型 问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触 (足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1 假设假设 ttititti)()()( 若有效接触的是病人，若有效接触的是病人， 则不能

9、使病人数增加则不能使病人数增加 必须区分已感染者必须区分已感染者(病病 人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 建模建模 0 )0(ii i dt di it t eiti 0 )( ? si dt di 1)()(tits 模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 假设假设 1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数 为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病 建模建模 ttNitstittiN)()()()( 0 )0

10、( )1( ii ii dt di 日日 接触率接触率 SI 模型模型 t e i ti 1 1 1 1 )( 0 0 )0( )1( ii ii dt di 模型模型2 1/2 tm i i0 1 0 t 1 1 ln 0 1 i t m tm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1it Logistic 模型 病人可以治愈！病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大最大 模型模型3 传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染 增加假设增加假设 SIS 模型模型 3）病人每天治愈的比例为）病人每

11、天治愈的比例为 日日治愈率治愈率 ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模 / 日接触率日接触率 1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的 有效接触人数，称为接触数。有效接触人数，称为接触数。 0 )0( )1( ii iii dt di 1,0 1, 1 1 )( i ) 1 1 ( ii dt di 模型模型3 i0 i0 接触数接触数 =1 阈值阈值 / 1)(ti 形曲线增长按Sti )( 感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的 健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数 小 0 1 i 1-1/ i0 iii dt di )1 (

12、模型模型2(SI模型模型)可以看作模型可以看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0t 1 di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至 0 P2: s01/ i(t)单调降至单调降至0 1/ 阈阈 值值 P3 P4 P2 S0 ss ss 0 0 lnln 模型模型4 SIR模型模型 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 0 且且 q 0 平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,1) p 0 或或 q 0 )

13、,0(),0 ,( 2211 NPNP平衡点： 01),( 01),( 2 2 1 1 22221 2 2 1 1 1 1121 N x N x xrxxg N x N x xrxxf 2 2 1 1 1 111 1)( N x N x xrtx 2 2 1 1 2222 1)( N x N x xrtx 仅当仅当 1, 2 1时，时，P3才有意义才有意义 模型模型 )0 , 0(, 1 )1 ( , 1 )1 ( 4 21 22 21 11 3 P NN P 2 2 1 12 2 1 222 2 111 2 21 1 1 1 21 21 2 1 2 1 N x N x r N xr N xr

14、 N x N x r gg ff A xx xx 平衡点稳平衡点稳 定性分析定性分析 4 , 3 , 2 , 1,det,)( 21 iAqgfp i pi pxx 2 2 1 1 22221 2 2 1 1 1 1121 1),( 1),( N x N x xrxxg N x N x xrxxf 平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件： p 0 且且 q 0 种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定不稳定 平平 衡点衡点 )0 ,( 11 Np )1 ( 221 rr p q )1 ( 221 rr ), 0( 22 Np 211 )1 (rr )1 ( 121 rr

15、 21 22 21 11 3 1 )1 ( , 1 )1 ( NN p 21 2121 1 )1)(1 ( rr )0 , 0( 4 p)( 21 rr 21 rr 21 2211 1 )1 ()1 ( rr 21, 11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11, 21 P1稳定的条件稳定的条件 11 ? 11 21 稳定条件稳定条件 结果解释结果解释 对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言， 乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对 于于N1)的的 1 倍。倍。 1 1 对甲增长的阻滞对甲增

16、长的阻滞 作用，乙小于甲作用，乙小于甲 乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件： 11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强 甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件： 11, 21 P3稳定的条件：稳定的条件： 11, 21 通常通常 1 1/ 2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足 六、差分方程建模六、差分方程建模 处理动态的离散型的问题处理动态的离散型的问题 处理处理对象虽然涉及的变量对象虽然涉及的变量( (如时间如时间) )是连续的，是连续的， 但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离

17、散化处理，从而将连为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型续模型( (微分方程微分方程) )化为离散型化为离散型( (差分方程差分方程) )问题问题 对于对于k阶差分方程阶差分方程 F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (3-6) 若有若有xn = x (n), 满足满足 F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0, 则称则称xn = x (n)是差分方程是差分方程(3-6)的的解解, 包含个任意常包含个任意常 数的解称为数的解称为(3-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为已知时称 为为(3-6)的的初始条件初

18、始条件,通解中的任意常数都由初始条通解中的任意常数都由初始条 件确定后的解称为件确定后的解称为(3-6)的的特解特解. k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 则形如则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(3-6)的解的解, 即即 F (n; a, a, , a ) = 0, 则称则称 a是差分方程是差分方程(3-6)的的平衡点平衡点. 又对差分方程又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的的任意由初始条件确定的 解解 xn= x(n)都有都有

19、 xna (n), 则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定的稳定的. 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b为常数为常数, 且且a -1, 0)的通解为的通解为 xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点, 由上式知由上式知, 当且仅当当且仅当 |a|1时时, b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中其中a, b, r为常数为常数. 当当r = 0时时, 它有一特解它有一特解 x*

20、= 0； 当当r 0, 且且a + b + 1 0时时, 它有一特解它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形不管是哪种情形, x*是其平衡点是其平衡点. 设其特征方设其特征方 程程 2 + a + b = 0 的两个根分别为的两个根分别为 = 1, = 2. 当当 1, 2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线二阶常系数线 性差分性差分方程的通解为方程的通解为 xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 当当 1, 2= 是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线二阶常系数线 性差分性差分方程的通解为方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n) n; 当当 1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根是一对共轭复根 时时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程