测试技术-(1)信号及其表述-沈阳建筑大学

1、测测 试试 技技 术术 机械工程学院机械工程学院 陈士忠陈士忠 机械工程学院机械工程学院 2 成绩分配方式 总成绩总成绩=平时（出勤，作业，实验）平时（出勤，作业，实验）20%+ 期末考试期末考试80% 出勤少于出勤少于点名次数点名次数1/3者，取消考试资格。者，取消考试资格。 作业作业未完成未完成1/3者者，取消考试资格。，取消考试资格。 机械工程学院机械工程学院 3 第一章第一章 信号及其表述信号及其表述 40绪论；绪论； 41.1信号的分类；信号的分类； 41.2信号的描述；信号的描述； 41.3几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 机械工程学院机械工程学院 4 0绪论 知识的获取往往从

2、测量开始。人类在其自知识的获取往往从测量开始。人类在其自 身的社会发展中创造并发展了测量学科，身的社会发展中创造并发展了测量学科， 人类早期的测量活动涉及对人类早期的测量活动涉及对长度（距长度（距 离）、时间、面积和重量离）、时间、面积和重量等量的测量。等量的测量。 随着社会的进步和科学的发展，测量活随着社会的进步和科学的发展，测量活 动的范围不断扩大，测量的工具和手段动的范围不断扩大，测量的工具和手段 不断精细和复杂化，从而也不断地丰富不断精细和复杂化，从而也不断地丰富 和完善了测量的理论。和完善了测量的理论。 机械工程学院机械工程学院 5 0绪论 测量的发展测量的发展 公元前公元前3000

3、年，古埃及人建立了长度的统一标准年，古埃及人建立了长度的统一标准 埃尔埃尔 ； 秦始皇在统一六国后，建立了统一的度量制度秦始皇在统一六国后，建立了统一的度量制度 ； 今天，测量学科已渗透到人类活动的每个领域。今天，测量学科已渗透到人类活动的每个领域。 科学技术的迅猛发展给测量学这一古老的学科学技术的迅猛发展给测量学这一古老的学 科注入了新的活力，现代电子技术、尤其是科注入了新的活力，现代电子技术、尤其是 信息技术的发展更是推动测量学科迅猛发展。信息技术的发展更是推动测量学科迅猛发展。 因此测量学是一门多学科交叉的边缘学科。因此测量学是一门多学科交叉的边缘学科。 机械工程学院机械工程学院 6 0

4、绪论 测量的内涵及其科学性测量的内涵及其科学性: “凡存在之物，必以一定的量存在凡存在之物，必以一定的量存在。” “当你能测量你在谈及的事物，并将它用当你能测量你在谈及的事物，并将它用 数字表达时，你对它便是有所了解的；而数字表达时，你对它便是有所了解的；而 当你不能测量它，不能将它用数字表达时，当你不能测量它，不能将它用数字表达时， 你的知识是贫瘠的和不能令人满意的。你的知识是贫瘠的和不能令人满意的。” William Thompson 机械工程学院机械工程学院 7 国际单位的基本量和基本单位 0绪论 机械工程学院机械工程学院 8 0.1测试的概念：具有试验性质的测量，或测试的概念：具有试验

5、性质的测量，或 者可以理解为测量和试验的结合。者可以理解为测量和试验的结合。 举例：举例：激光测距激光测距；检测车外型检测车外型；室内监控室内监控。 测试技术是进行各种科学实验研究和生产过程测试技术是进行各种科学实验研究和生产过程 参数测量必不可少的手段，起着人的感官的作用。参数测量必不可少的手段，起着人的感官的作用。 简单的测试系统可简单的测试系统可 以只有一个模块，以只有一个模块， 如玻璃管温度计。如玻璃管温度计。 它直接将被温度变它直接将被温度变 化转化液面示值。化转化液面示值。 没有电量转换和分没有电量转换和分 析电路，很简单，析电路，很简单， 但精度底，无法实但精度底，无法实 现测量

6、自动化。现测量自动化。 为提高测量精度和自为提高测量精度和自 动化程度，以便于和动化程度，以便于和 其它环节一起构成自其它环节一起构成自 动化装置，通常先将动化装置，通常先将 被测物理量转换为电被测物理量转换为电 量，再对电信号进行量，再对电信号进行 处理和输出。如图所处理和输出。如图所 示的声级计。示的声级计。 0绪论 机械工程学院机械工程学院 9 内容：内容：测量原理、测量方法、测量系统测量原理、测量方法、测量系统 以及数据处理以及数据处理 0.2测试的内容和任务测试的内容和任务 任务：任务：设备设计、设备改造、环境监测、设备设计、设备改造、环境监测、 实验验证、设备状态监测。实验验证、设

7、备状态监测。 在工程领域，科学实验、产品开发、生产在工程领域，科学实验、产品开发、生产 监督、质量控制等，都离不开测试技术。监督、质量控制等，都离不开测试技术。 测试技术应用涉及到航天、机械、电力、测试技术应用涉及到航天、机械、电力、 石化和海洋运输等每一个工程领域。石化和海洋运输等每一个工程领域。 机械工程学院机械工程学院 10 测试系统原理框图测试系统原理框图 0.3测试系统带的组成测试系统带的组成 机械工程学院机械工程学院 11 1、工业自动化中的应用、工业自动化中的应用 机械手、机器人中的传感器机械手、机器人中的传感器 转动转动/移动位置传感器、力传感器、视觉传感移动位置传感器、力传感

8、器、视觉传感 器、听觉传感器、接近距离传感器、触觉传感器、器、听觉传感器、接近距离传感器、触觉传感器、 热觉传感器、嗅觉传感器。热觉传感器、嗅觉传感器。 在各种自动控制系统中，测试环节起着系统感官的作在各种自动控制系统中，测试环节起着系统感官的作 用，是其重要组成部分。用，是其重要组成部分。 密歇根大学的机械手装配模型密歇根大学的机械手装配模型 广州中鸣数码的机器狗广州中鸣数码的机器狗 机械工程学院机械工程学院 12 2、产品质量测量、产品质量测量 在汽车、机床等设备，电机、发动机等零部件出在汽车、机床等设备，电机、发动机等零部件出 厂时，必须对其性能质量进行测量和出厂检验。厂时，必须对其性能

9、质量进行测量和出厂检验。 图示为汽车出厂检验原理框图，测量参数图示为汽车出厂检验原理框图，测量参数 包括润滑油温度、冷却水温度、燃油压力包括润滑油温度、冷却水温度、燃油压力 及发动机转速等。通过对抽样汽车的测试，及发动机转速等。通过对抽样汽车的测试， 工程师可以了解产品质量。工程师可以了解产品质量。 汽车扭距测量汽车扭距测量 机床加工精度测量机床加工精度测量 机械工程学院机械工程学院 13 3、楼宇控制与安全防护、楼宇控制与安全防护 为使建筑物成为安全、健康、舒适、温馨的生活、为使建筑物成为安全、健康、舒适、温馨的生活、 工作环境，并能保证系统运行的经济性和管理的智能化。工作环境，并能保证系统

10、运行的经济性和管理的智能化。 在楼宇中应用了许多测试技术，如闯入监测、空气监测、在楼宇中应用了许多测试技术，如闯入监测、空气监测、 温度监测、电梯运行状况。温度监测、电梯运行状况。 图示为某公司楼宇自动化系图示为某公司楼宇自动化系 统。该系统分为：电源管理、统。该系统分为：电源管理、 安全监测、照明控制、空调安全监测、照明控制、空调 控制、停车管理、水控制、停车管理、水/废水管废水管 理和电梯监控。理和电梯监控。 烟雾传感器 亮度传感器红外人体探测器 机械工程学院机械工程学院 14 4、家庭与办公自动化、家庭与办公自动化 在家电产品和办公自动化产品设计中，人们大量的在家电产品和办公自动化产品设

11、计中，人们大量的 应用了传感器和测试技术来提高产品性能和质量。应用了传感器和测试技术来提高产品性能和质量。 全自动洗衣机中的传感器：全自动洗衣机中的传感器： 衣物重量传感器，衣质传衣物重量传感器，衣质传 感器，水温传感器，水质感器，水温传感器，水质 传感器，透光率光传感器传感器，透光率光传感器 (洗净度洗净度) 液位传感器，电液位传感器，电 阻传感器阻传感器(衣物烘干检测衣物烘干检测)。 指纹传感器指纹传感器 透光率传感器透光率传感器 温湿度传感器温湿度传感器温度传感器温度传感器 机械工程学院机械工程学院 15 5、其他应用、其他应用 航天航天农业农业 交通交通 医学医学 机械工程学院机械工程

12、学院 16 0.4测试技术的发展方向 （1）测量方式的多样化；）测量方式的多样化； （2）视觉测试技术；）视觉测试技术； （3）测量尺寸极端化）测量尺寸极端化 通过本课程的学习，要求学生能做到：通过本课程的学习，要求学生能做到： （1）掌握测试技术的基本理论，包括信号的时域和频域）掌握测试技术的基本理论，包括信号的时域和频域 的描述方法、频谱分析和相关分析的原理和方法、信号的描述方法、频谱分析和相关分析的原理和方法、信号 调理和信号处理基本概念和方法；调理和信号处理基本概念和方法； （2）熟练掌握各类典型传感器、记录仪器的基本原理和）熟练掌握各类典型传感器、记录仪器的基本原理和 适用范围；适用

13、范围； （3）具有测试系统的机、电、计算机方面的总体设计能）具有测试系统的机、电、计算机方面的总体设计能 力；力； （4）具有实验数据处理和误差分析能力）具有实验数据处理和误差分析能力 机械工程学院机械工程学院 17 1.信号及其表述信号及其表述 41.1信号的分类； 41.2信号的描述； 41.3几种典型信号的频谱 机械工程学院机械工程学院 18 信号的定义信号的定义 4“信号”一词最初起源于“符号”、 “记号”，它表示用来作为信息向 量的一个物体、一个记号、一种语 言的元素、或一个特定的符号等等。 4信号是信号本身在其传输的起点到 终点的过程中所携带的信息的物理 表现。 机械工程学院机械工

14、程学院 19 信号与信息的关系信号与信息的关系 交通信号灯交通信号灯 信息信息信号信号 信息的载体是光信号信息的载体是光信号 红灯红灯 亮亮 黄灯黄灯 亮亮 绿灯绿灯 亮亮 停止停止 通行通行 注意注意 机械工程学院机械工程学院 20 信号的定义信号的定义 4例如：质量例如：质量弹簧系统在受到一个激励后的运动状况，可以弹簧系统在受到一个激励后的运动状况，可以 通过系统质量块的位移通过系统质量块的位移时间关系来描述。反映质量块位移时间关系来描述。反映质量块位移 的时间变化过程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比的的时间变化过程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比的 信息。信息。 机械工程学院

15、机械工程学院 21 4噪声的概念： 噪声也是一种信号 ； 任何干扰对信号的感知和解释的现象称为噪 声。 4信号与噪声的区别纯粹是人为的，且取 决于使用者对两者的评价标准。 例：齿轮噪声 4信号理论必须包括噪声理论。 信号的定义信号的定义 机械工程学院机械工程学院 22 确定性信号和随机信号 分类方法分类方法1 1是考虑信号沿是考虑信号沿时间时间轴演变轴演变 的特性所作的一种分类。根据这种时域的特性所作的一种分类。根据这种时域 分类法可定义两大类信号：确定性信号分类法可定义两大类信号：确定性信号 和随机信号。和随机信号。 确定性信号：确定性信号：可以用合适的数学模型或数可以用合适的数学模型或数

16、学关系式来完整地描述或预测其随时间演变学关系式来完整地描述或预测其随时间演变 情形的信号。情形的信号。 随机信号：随机信号：具有不能被预测的特性且只能具有不能被预测的特性且只能 通过统计观察来加以描述的信号。通过统计观察来加以描述的信号。 机械工程学院机械工程学院 23 确定性信号又分为周期信号和非周期信号确定性信号又分为周期信号和非周期信号 4周期信号：周期信号： 定义：满足下面关系式的信号：定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+kT)x(t)=x(t+kT)(1.3)(1.3) 式中，式中，TT周期。周期。 周期信号一般又分为正余弦信号、多谐复合信号、周期信号一般又分为正余弦信号

17、、多谐复合信号、 和伪随机信号。和伪随机信号。 4非周期信号：非周期信号： 定义：不具有上述性质的确定性信号。定义：不具有上述性质的确定性信号。 非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。 确定性信号 机械工程学院机械工程学院 24 4正余弦信号正余弦信号 具有如下的具有如下的 一般表达一般表达 式式 ： )( 2 sin) 2 sin()( t T At T Atx 伪随机信号组伪随机信号组 成周期信号的成周期信号的 一个特殊范畴，一个特殊范畴， 它们具有准随它们具有准随 机的特性。机的特性。 图1.2 正、余弦信号 图1.3 伪随机信号 周期信

18、号 机械工程学院机械工程学院 25 准周期信号：由多个具有准周期信号：由多个具有 不成比例周期的正弦波不成比例周期的正弦波 之和形成，或者称组成之和形成，或者称组成 信号的正（余）弦信号信号的正（余）弦信号 的频率比不是有理数的频率比不是有理数 瞬态信号：时间历程短的瞬态信号：时间历程短的 信号信号 。 x(t)矩形脉冲信号；矩形脉冲信号； y(t)衰减指数脉冲信号；衰减指数脉冲信号； z(t)正弦脉冲；正弦脉冲； 非周期信号 图1.5 瞬态信号 机械工程学院机械工程学院 26 随机信号又可分成两大类：平稳随机 和非平稳随机信号。 平稳随机信号：信号的统计特征是不变的。平稳随机信号：信号的统计

19、特征是不变的。 非平稳随机信号：不具有上述特点的随机信号。非平稳随机信号：不具有上述特点的随机信号。 噪声信号噪声信号(平稳平稳) 噪声信号噪声信号(非平稳非平稳) 统计特性变异统计特性变异 机械工程学院机械工程学院 27 按信号时域特性的表象分类法分类图 机械工程学院机械工程学院 28 连续信号和离散信号 4分类依据：分类依据： 信号的幅值是连续的还是离散的信号的幅值是连续的还是离散的 ； 自变量（即时间自变量（即时间t t）是连续的还是离散的）是连续的还是离散的 。 4对于连续信号：对于连续信号： 自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ； 自变量是连

20、续、但幅值为离散的信号，则称为量自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量 化信号。化信号。 4对于离散信号：对于离散信号： 信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信 号号 ； 信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时， 则称该信号为被采样信号。则称该信号为被采样信号。 机械工程学院机械工程学院 29 信号按形态分类法加以区分的四种形式 机械工程学院机械工程学院 30 能量信号和功率信号 4能量信号：能量信号： 例如：在右图所示的单自由度振例如：在右图所示的单自由度振 动系统中：动系统中： 由弹簧所积蓄的弹性

21、势能为由弹簧所积蓄的弹性势能为 x x2 2(t)(t)；若；若x(t)x(t)表达为运动速表达为运动速 度，则度，则x x2 2(t)(t)反映的是系统的反映的是系统的 运动中的动能。运动中的动能。 定义：当定义：当x x（t t）满足关系式）满足关系式 则称信号则称信号x x（t t）为有限能量）为有限能量 信号，简称能量信号。信号，简称能量信号。 矩形脉冲、衰减指数信号等均属矩形脉冲、衰减指数信号等均属 dttx 2 )( 图1.8 单自由度振动系统 这类信号这类信号。 机械工程学院机械工程学院 31 能量信号和功率信号（续） 4功率信号：功率信号： 当信号满足条件当信号满足条件 亦即信

22、号具有有限的（非零）平均功率，亦即信号具有有限的（非零）平均功率， 则称信号为有限平均功率信号，简称功率则称信号为有限平均功率信号，简称功率 信号。信号。 2/ 2/ 2 )( 1 lim0 T TT dttx T 机械工程学院机械工程学院 32 1.2信号的描述信号的描述 )3102sin(10)2sin()sin()( 0000 tftAtAtx 信号信号“域域”的不同，是指信号的的不同，是指信号的独立变量独立变量不同，或描述不同，或描述 信号的横坐标物理量不同。信号的横坐标物理量不同。 信号的时域描述：以信号的时域描述：以时间时间为独立变量，其强调信号的为独立变量，其强调信号的幅幅 值随

23、时间变化值随时间变化的特征。的特征。 信号的频域描述：以信号的频域描述：以角频率或频率角频率或频率为独立变量，其强调为独立变量，其强调 信号的信号的幅值和相位随频率变化幅值和相位随频率变化的特征。的特征。 时域和频域信号时域和频域信号 时域时域 频域频域 机械工程学院机械工程学院 33 实际信号的形式常常是比较复杂的。因此常实际信号的形式常常是比较复杂的。因此常 常将复杂的信号分解成某些特定类型（易于常将复杂的信号分解成某些特定类型（易于 实现和分析实现和分析 ）的基本信号之和）的基本信号之和 ，如正弦信，如正弦信 号、复指数型信号、阶跃信号、冲激信号等号、复指数型信号、阶跃信号、冲激信号等

24、等等 。 信号的频域描述即是将一个时域信号变换为信号的频域描述即是将一个时域信号变换为 一个频域信号，将该信号分解成一系列基本一个频域信号，将该信号分解成一系列基本 信号的频域表达形式之和，从频率分布的角信号的频域表达形式之和，从频率分布的角 度出发研究信号的结构及各种频率成分的幅度出发研究信号的结构及各种频率成分的幅 值和相位关系。值和相位关系。 机械工程学院机械工程学院 34 1.2.1周期信号的描述 在有限区间上，一个周期信号在有限区间上，一个周期信号x x（t t）当满）当满 足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数：足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数： 式中，式中， v注意：注意：a an

25、 n是是n n或或nn0 0的偶函数，的偶函数，a a-n -n=a =an n；而而b bn n 则是则是n n或或nn0 0的奇函数，有的奇函数，有b b-n -n=-b =-bn n 。 1 00 0 )sincos( 2 )( n nn tnbtna a tx (1.12) 2/ 2/ 0 cos)( 2 T T n tdtntx T a (1.13) 2/ 2/ 0 sin)( 2 T T n tdtntx T b(1.14) 机械工程学院机械工程学院 35 奇、偶函数的傅里叶系数计算特点 若周期函数若周期函数x(t)为奇函数，即为奇函数，即x(t)=-x(-t) ;sin)( ;

26、0 ; 0 2/ 0 0 4 0 0 0 T Tn n tdtntxb a a 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx 1 0 sin)( n n tnbtx 1 00 cos)( n n tnaatx 若若周期函数周期函数x(t)偶函数，即偶函数，即x(t)=x(-t) 0 ;cos)( ;)( 2/ 0 0 4 2/ 0 2 0 0 0 0 0 n T Tn T T b tdtntxa dttxa 机械工程学院机械工程学院 36 信号信号x x（t t）的另一种形式的傅里叶级数表达式：的另一种形式的傅里叶级数表达式： 式中，式中， A An n称信号频率成分的幅值，称信

27、号频率成分的幅值，n n称初相角。称初相角。 v注意：注意：A An n是是n n或或nn0 0的偶函数，的偶函数，A A-n -n=A =An n；而而n n则是则是n n或或 nn0 0的奇函数，有的奇函数，有-n -n=- =-n n 。 1 0 0 )sin( 2 )( n nn tnA a tx （1.15） )arctan( 22 n n n nnn b a baA n1,2, （1.16） 机械工程学院机械工程学院 37 信号频域分析是采用信号频域分析是采用傅立叶分析傅立叶分析将时域信号将时域信号x(t)变换变换 为频域信号为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。，从另

28、一个角度来了解信号的特征。 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 8563A SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz 傅里叶傅里叶 变换变换 机械工程学院机械工程学院 38 例例1 1 求图求图1.111.11所示的周期所示的周期 方波信号方波信号x x（t t）的频谱，并的频谱，并 做出频谱图。做出频谱图。 解：信号解：信号x x（t t）在它的一个在它的一个 周期中的表达式为：周期中的表达式为： 根据式（根据式（1.131.13）和（）和（1.141.14） 有：有： 图1.11 周期方波信号 2 0, 1 0 2 , 1 )( T t t T tx 2/ 2

29、/ 0 0cos)( 2 T T n tdtntx T a 注意：本例中注意：本例中x(t)x(t)为一奇函数，而为一奇函数，而cosncosn0 0t t为偶函数，两为偶函数，两 者的积者的积x(t)x(t)cosncosn0 0t t也为奇函数，而一个奇函数在上、下也为奇函数，而一个奇函数在上、下 限对称区间上的积分值等于零。限对称区间上的积分值等于零。 机械工程学院机械工程学院 39 根据式（根据式（1.121.12），便可得图），便可得图 1.111.11所示周期方波信号的傅里所示周期方波信号的傅里 叶级数表达式为：叶级数表达式为： 6 , 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4

30、 cos1 2 )cos( 1 cos 12 sinsin) 1( 2 sin)( 2 2/ 00 0 0 2/0 0 2/ 0 0 0 2/ 0 2/ 2/ 0 n n n n n tn n tn nT tdtntdtn T tdtntx T b T T T T T T n )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 000 ttttx 图1.12 周期方波信号的频谱图 机械工程学院机械工程学院 40 机械工程学院机械工程学院 41 时间 幅值 频率 时域分析 频域分析 信号的频谱信号的频谱X(f) 代表了信号在不代表了信号在不 同频率分量处信同频率分量处信 号成分的大小，号成

31、分的大小， 它能够提供比时它能够提供比时 域信号波形更直域信号波形更直 观，丰富的信息。观，丰富的信息。 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系 谱线谱线 机械工程学院机械工程学院 42 傅里叶级数表达成指数函数的形式 由欧拉公式可知由欧拉公式可知 ： 代入式（代入式（1.121.12）有：）有： 令令 则则 或或 （1.22） 1 0 00 )( 2 1 )( 2 1 2 )( n tjn nn tjn nn ejbaejba a tx 3,2,1 2 )( 2 1 )( 2 1 0 0 n a C jbaC jbaC nnn nnn （1.23） 3,2, 1)( 11 0 00

32、 neCeCCtx n tjn n n tjn n （1.24） ,2, 1,0)( 0 neCtx n tjn n （1.25） 机械工程学院机械工程学院 43 求傅里叶级数的复系数求傅里叶级数的复系数 C Cn n C Cn n是离散频率是离散频率nn0 0的函数，称为周期函数的函数，称为周期函数x(t)x(t)的离的离 散频谱。散频谱。 C Cn n一般为复数，故可写为一般为复数，故可写为 且有且有 ,2, 1,0)( 1 sin)(cos)( 1 2/ 2/ 2/ 2/ 0 2/ 2/ 0 0 ndtetx T tdtntxjtdtntx T C T T tjn T T T T n （

33、1.26） CjCeCC n j nn n ImRe （1.27） nnn CCC 22 ImRe （1.28） n n n C C arctg Re Im （1.29） 机械工程学院机械工程学院 44 解：根据式（解：根据式（1.261.26）有）有 例例2 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的 周期为周期为T，脉冲宽度为，脉冲宽度为，如图，如图1.16所示。所示。 图1.16 周期矩形脉冲 , 2, 1, 0 2 2 sin 2 sin 2 11 )( 1 0 0 0 0 2/ 2/ 2/ 2/ 0 2/ 2/ 0 00 n n n Tn n T j

34、n e T dte T dtetx T C T T tjn tjntjn n 机械工程学院机械工程学院 45 由于由于0 0=2/T=2/T，代入上式得，代入上式得 定义定义 则式（则式（1.361.36）变为）变为 根据式（根据式（1.251.25）可得到周期矩形脉冲信号的傅）可得到周期矩形脉冲信号的傅 里叶级数展开式为里叶级数展开式为 ,2, 1,0, sin n T n T n T C n （1.36） x x xc def sin )(sin （1.37） , 2, 1, 0, 2 sinsin 0 n n c TT n c T C n （1.38） n tjn n tjn n e T

35、 n c T eCtx 00 sin)( （1.39） 机械工程学院机械工程学院 46 图1.17 周期矩形脉冲的频谱（T=4） 机械工程学院机械工程学院 47 通常将通常将0 2/T0 2/T 这段频率范围称周期这段频率范围称周期 矩形脉冲信号的带宽，矩形脉冲信号的带宽， 用符号用符号CC表示：表示： 我们来考虑当周期矩我们来考虑当周期矩 形脉冲信号的周期和形脉冲信号的周期和 脉宽改变时它们的频脉宽改变时它们的频 谱变化的情形。谱变化的情形。 1 C (1.40) 图1.18 信号脉冲宽度与频谱的关系 机械工程学院机械工程学院 48 信号的脉冲信号的脉冲 宽度相同而宽度相同而 周期不同时，周

36、期不同时， 其频谱变化其频谱变化 情形情形 ： 图1.19 信号周期与频谱的关系 机械工程学院机械工程学院 49 傅立叶级数的复指数与三角函数展开的关系傅立叶级数的复指数与三角函数展开的关系 机械工程学院机械工程学院 50 周期信号的频谱的特点 v周期信号的频谱是离散谱；周期信号的频谱是离散谱； v周期信号的谱线仅出现在基波及各周期信号的谱线仅出现在基波及各 次谐波频率处；次谐波频率处； v周期信号的幅值谱中各频率分量的周期信号的幅值谱中各频率分量的 幅值随着频率的升高而减小，频率幅值随着频率的升高而减小，频率 越高，幅值越小。越高，幅值越小。 结论：周期信号的频谱具有结论：周期信号的频谱具有

37、离散性离散性、谐谐 波性波性和和收敛性收敛性 机械工程学院机械工程学院 51 1.2.21.2.2非周期信号的频域描述非周期信号的频域描述 （一）傅里叶变换与连续频谱 （二）傅里叶变换的性质 一般非周期信号是指瞬变 信号，其特点特点是函数沿独立变 量时间t衰减，因而积分存在 有限值，属于能量有限信号。 非周期信号的表述采用傅 里叶变换。 机械工程学院机械工程学院 52 （一）傅里叶变换与连续频谱 设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。 它可表达为傅里叶级数的形式： 式中 将式（1.50）代入式（1.49）得 当T时，区间(-T/2,T/2)变成(-, )，另 外，频率间隔=0=

38、2/T变为无穷小量，离 散频率n0变成连续频率 。 n tjn ne Ctx 0 )( (1.49) 2/ 2/ 0 )( 1 T T tjn n dtetx T C (1.50) n tjn T T tjn edtetx T tx 00 2/ 2/ )( 1 )( (1.51) 机械工程学院机械工程学院 53 由式（由式（1.511.51）得到）得到 将式（将式（1.521.52）中括号中的积分记为：）中括号中的积分记为： 它是变量它是变量的函数。则（的函数。则（1.521.52）式可写为：）式可写为： 将将X()X()称为称为x x（t t）的傅里叶变换，而将）的傅里叶变换，而将x(t)x

39、(t)称为称为 X()X()的逆傅里叶变换，记为：的逆傅里叶变换，记为： dedtetx edtetx d tx tjtj tjtj )( 2 1 )( 2 )( (1.52) dtetxX tj )()(1.53) deXtx tj )( 2 1 )(1.54) )()(Xtx(1.55) （一）傅里叶变换与连续频谱 机械工程学院机械工程学院 54 非周期函数x（t）存在有傅里叶变换的充分条充分条 件件是x（t）在区间(-, )上绝对可积，即 但上述条件并非必要条件必要条件。因为当引入广义函数概 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能 进行傅里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率用频率

40、f来替代， 则由于=2f，式（1.53）和（1.54）分别变为 dttx)( dtetxfX ftj2 )()(1.56) dfefXtx ftj2 )()(1.57) （一）傅里叶变换与连续频谱 机械工程学院机械工程学院 55 （一）傅里叶变换与连续频谱 傅里叶变换的傅里叶变换的4个重要公式，可用符号简记为个重要公式，可用符号简记为 数学表达式和时、频域图中也常用数学表达式和时、频域图中也常用“ ” 表示傅里叶变换的对应关系表示傅里叶变换的对应关系 机械工程学院机械工程学院 56 （一）傅里叶变换与连续频谱 X（f）一般是频率）一般是频率f的复变函数，可以用实、虚的复变函数，可以用实、虚 频

41、谱形式和幅、相频谱形式写为频谱形式和幅、相频谱形式写为 两种形式之间的关系为两种形式之间的关系为 一般非周期信号的频谱具有连续性和衰减性等一般非周期信号的频谱具有连续性和衰减性等 特性。特性。 机械工程学院机械工程学院 57 周期和非周期信号幅值谱的区别周期和非周期信号幅值谱的区别 |X ()|为连续频谱，而为连续频谱，而|Cn|为离散频；为离散频； |Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即的量纲和信号幅值的量纲一致，即 cm(振幅振幅)，而，而|X ()|的量纲相当于的量纲相当于|Cn|/， 为单位频宽上的幅值，即为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函频谱密度函 数数”，cm/Hz（振幅（振幅/频

42、率）。频率）。 非周期信号幅值谱非周期信号幅值谱|X ()|与周期信号幅值谱与周期信号幅值谱 |Cn|之间的区别：之间的区别： 机械工程学院机械工程学院 58 例例3 3 图图1.231.23所示为一矩所示为一矩 形脉冲（又称窗函数或门形脉冲（又称窗函数或门 函数），用符号函数），用符号g gT T(t)(t)表示：表示： 求该函数的频谱。求该函数的频谱。 解：解： 图1.23 矩形脉冲函数 其它,0 2 , 1 )( T t tg T 2 sin 2 2 sin 1 1)()( 2/2/ 2/ 2/ T cT T T T ee j dtedtetgG TjTj T T tjtj TT (1.

43、59) 机械工程学院机械工程学院 59 其幅频谱和相频谱分别为其幅频谱和相频谱分别为 ： 可见，窗函数可见，窗函数g gT T(t)(t)的频谱的频谱 G GT T()()是一个正或负的实数，是一个正或负的实数， 正、负号的变化相当于在相正、负号的变化相当于在相 位上改变一个位上改变一个弧度。弧度。 2 sin T cTGT (1.60) )(sin)(ctrect(1.62) 图1.24 矩形脉冲函数的频谱GT() 矩形脉冲函数与矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，函数之间是一对傅里叶变换对， 若用若用rect（t）表示矩形脉冲函数则有：）表示矩形脉冲函数则有： 机械工程学院机

44、械工程学院 60 (二)傅里叶变换的性质 4奇偶性 4线性 4对称性（亦称对偶性） 4尺度变换性 4时移性 4频移性（亦称调制性） 4时域微分和积分 4频域微分和积分 4卷积 机械工程学院机械工程学院 61 傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质 a.若若x(t)是实函数，则是实函数，则X()是复函数；是复函数； b.若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX()=0，而，而X()是实偶函数，即是实偶函数，即 X()= ReX()； c.若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX()=0，而，而X()是虚奇函数，即是虚奇函数，即 X()-j ImX()； d.若若x(t)为虚偶函数，

45、则为虚偶函数，则ReX()=0，而，而X()是虚偶函数；是虚偶函数； e.若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX()=0，而，而X()是实奇函数。是实奇函数。 dtetxfX ftj2 )()( )()( 2sin)(2cos)( )()( 2 fXjIfXR ftdttxjftdttx dtetxfX me ftj (1).奇偶虚实性 机械工程学院机械工程学院 62 (2).对称互易性 若若:(时域信号时域信号) x(t) X() (频域信号频域信号)，则，则 X (t) x (-) 机械工程学院机械工程学院 63 (3).尺度特性 ) )2(0 )22(1 )2(0 )( Tt T

46、tT Tt tWR 若若x(t) X()，则则 x(kt) 1/|k|X(/k) 信号持续时间压缩信号持续时间压缩k倍倍(k1)，则信号的频，则信号的频 宽扩宽宽扩宽k倍，而幅值变为原来的倍，而幅值变为原来的1/k。 fT fT TfWR )sin( )( T为为窗的宽度窗的宽度 k=1 -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -1 0 1 2 3 t mm (a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1) -10 -9-8-

47、7-6-5-4-3-2-1012345678910 -1 0 1 2 3 t mm (a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1) k=3 机械工程学院机械工程学院 64 (4).时移、频移特性 若若x(t) X()，则在时域中信号沿时间轴平移一常值，则在时域中信号沿时间轴平移一常值 t0，则（时移），则（时移） 0 2 0 )()( ftj efXttx 对应 tfj etxffX 0 2 0 )()( 如果信号在时域中如果信号在时域中延迟了时间延迟了

48、时间t0，其频谱幅值不会改变，其频谱幅值不会改变， 而相频谱中各次谐波的相移而相频谱中各次谐波的相移-2 t0，与，与频率成正比。频率成正比。 在频域中信号沿频率轴平移一常值在频域中信号沿频率轴平移一常值0，则（频移），则（频移） 机械工程学院机械工程学院 65 (5).卷积特性 对于任意两个对于任意两个函数函数x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： dtxxtxtx)()()(*)( 2121 若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则 1.两个函数在两个函数在时域中的卷积时域中的卷积，对应于，对应于频域中的乘积频域中的乘积 2.两个函数在两个函数在时域中

49、的乘积时域中的乘积，对应于，对应于频域中的卷积频域中的卷积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2() 机械工程学院机械工程学院 66 66 卷积特性推导 对于任意两个对于任意两个函数函数x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： dtxxtxtx)()()(*)( 2121 若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2() )()( )()( )()( )()()(*)( 21 2 21 2 21 2 2121 fXfX defXx d

50、dtetxx dtedtxxtxtxF fj ftj ftj 机械工程学院机械工程学院 67 机械工程学院机械工程学院 68 机械工程学院机械工程学院 69 1.2.31.2.3随机信号描述随机信号描述 （一）概述 （二）随机过程的主要特征参数 均值、均方值和方差 1. 概率密度函数和概率分布函数 机械工程学院机械工程学院 70 （一）概述 4随机信号特点：随机信号特点： 不能用解析的时域模型来加以描述；不能用解析的时域模型来加以描述； 具有不能被预测的瞬时值；具有不能被预测的瞬时值； 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。 4描述随机信号必须采用概率

51、统计的方法。描述随机信号必须采用概率统计的方法。 样本函数样本函数 ：随机信号按时间历程所作的各次：随机信号按时间历程所作的各次 长时间的观察长时间的观察 ，记作，记作x xi i(t)(t)。 样本记录样本记录 ：在有限时间区间上的样本函数。：在有限时间区间上的样本函数。 随机过程随机过程 ：同一试验条件下的全部样本函数：同一试验条件下的全部样本函数 的集（总体），记为的集（总体），记为x(t)x(t)。 ),(,),(),()( 21 txtxtxtx i (1.121) 机械工程学院机械工程学院 71 汽车在水平柏油路上行驶时，车架主汽车在水平柏油路上行驶时，车架主 梁上一点的应变时间历

52、程梁上一点的应变时间历程 可以看到在工可以看到在工 况完全相同况完全相同 (车速、路面、车速、路面、 驾驶条件等驾驶条件等) 的情况下，各的情况下，各 时间历程的样时间历程的样 本记录是完全本记录是完全 不同的，这种不同的，这种 信号就是随机信号就是随机 信号信号 机械工程学院机械工程学院 72 4对随机过程常用的统计特征参数：对随机过程常用的统计特征参数： 均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功 率谱密度函数等。率谱密度函数等。 均值：均值： 均方值：均方值： v 这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个这些特征参数均是

53、按照集平均来计算的，即在集中的某个 时刻对所有的样本函数的观测值取平均。时刻对所有的样本函数的观测值取平均。 4分类：分类： 平稳随机过程平稳随机过程 ； 非平稳过程。非平稳过程。 dttx T xE T T x )( 1 lim 0 dtxx T xE T T x )( 1 lim 2 0 22 机械工程学院机械工程学院 73 4平稳随机过程平稳随机过程 ： 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不 随时间原点的选取而变化的过程。严格地说便是：随时间原点的选取而变化的过程。严格地说便是： 如果对于时间如果对于时间t t的任意的任意n n个数值个

54、数值t t1 1,t,t2 2, ,t, ,tn n和任意实和任意实 数数，随机过程，随机过程x(t)x(t)的的n n维分布函数满足关系式维分布函数满足关系式 对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数 的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征， 则该过程称为各态历经过程。则该过程称为各态历经过程。 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的 许多都具有各态历经性。许多都具有各态历经性。 , 2 , 1 ),;,(),;,( 21212121 n tt

55、txxxFtttxxxF nnnnnn (1.124) 机械工程学院机械工程学院 74 （二）随机过程的主要特征参数 1.1.均值、均方值和方差均值、均方值和方差 对于一个各态历经过程对于一个各态历经过程x(t)x(t)，其均值，其均值x x定义为定义为 ExEx变量变量x x的数学期望值；的数学期望值； x(t) x(t) 样本函数样本函数 ； TT观测的时间。观测的时间。 v 均值均值x x表示信号的常值分量。表示信号的常值分量。 随机信号的均方值随机信号的均方值x x2 2定义为定义为 ExEx2 2变量变量x x2 2的数学期望值。的数学期望值。 v 均方值描述信号的能量或强度均方值描

56、述信号的能量或强度 。x x2 2的平方根称均方的平方根称均方 根值根值x xrms rms 。 。 dttx T xE T T x )( 1 lim 0 (1.125) dtxx T xE T T x )( 1 lim 2 0 22 机械工程学院机械工程学院 75 随机信号的方差随机信号的方差x x2 2定义为定义为 v方差方差x x2 2表示随机信号的波动分量，方差的平方表示随机信号的波动分量，方差的平方 根根x x称为标准偏差。称为标准偏差。 x x、x x2 2、x x2 2之间的关系为之间的关系为 4随机过程的均值、方差和均方值的估计公式随机过程的均值、方差和均方值的估计公式 为：为

57、： dttx T X T T x 2 0 2 )( 1 lim(1.127) 222 xxx (1.128) dttx T T x )( 1 0 (1.129) dttx T T x )( 1 2 0 2 (1.130) dttx T x T x 2 0 2 )( 1 (1.131) 机械工程学院机械工程学院 76 4概率密度函数概率密度函数 概率密度函数是指一个概率密度函数是指一个 随机信号的瞬时值落在随机信号的瞬时值落在 指定区间（指定区间（x,x+xx,x+x）内）内 的概率对的概率对xx比值的极限比值的极限 值。值。 概率密度函数概率密度函数p(x)p(x)则定则定 义为：义为： 2.

58、概率密度函数和概率分布函数 x xxtxxP xp x )( lim)( 0 (1.134) x T Tx T x 0 lim (1.135) 机械工程学院机械工程学院 77 4概率分布函数 概率分布函数P(x)表示随机信号的瞬时值低于某 一给定值x的概率，即 式中Tx为x(t)值小于或等于x的总时间。 4概率密度函数与概率分布函数间的关系 T T xtxPxP x / lim)()(1.137) (1.138) (1.139) dx xdP x xPxxP xp x )()()( lim)( 0 dxxpxP)()( 机械工程学院机械工程学院 78 在在时间内激发矩形脉冲时间内激发矩形脉冲S

59、(t)（或三角脉冲、双边指数（或三角脉冲、双边指数 脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为1； 1 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)及其频谱及其频谱 )()(lim 0 ttS 0 t )(tS 单位面积1 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1 各种单位面积为各种单位面积为1的脉冲的脉冲 矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 当当0时，时，S(t)的极限就称为单位脉冲函数，记作的极限就称为单位脉冲函数，记作(t)， 即（单位脉冲函数）。即（单位脉冲函数）。 (1).(t)的定义的定义 1.3 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 机械工程学院机械工程学院 79 从极限角度从极限角度: : (2). (t)的特性的特性 00 0 )( t t t 从面积角度从面积角度: : 1)(lim)( 0 dttSdtt 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1 矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 机械工程学院机械工程学院 80 (3). (t)乘积性和积分性乘积性和积分性 乘积性乘积性 )()( )()0()()( 0 tttf