2.1数项级数判敛法ppt课件

1、一一、正正项项级级数数及及其其判判敛敛法法 级级数数 1nnu， 0 nu,), 3 , 2 , 1( n称称为为正正项项级级数数。 11 nnnnSuSS， nS是是单单调调增增加加的的数数列列。 若若 nS有有界界，则则nnS lim必必存存在在，从从而而 1nnu收收敛敛。 反之，若反之，若 1nnu收敛，则收敛，则SSnn lim， nS必有界。必有界。 定定理理 3 3 正正项项级级数数 1nnu收收敛敛它它的的部部分分和和数数列列 nS有有界界。 6.1.4 6.1.4 数项级数判敛法数项级数判敛法例例 1 1试试判判定定正正项项级级数数 122sinnnn的的收收敛敛性性。 解解

2、：nnnS22sin86sin44sin21 ， 1)21(1211)21(1 2121814121 nnn 即即 nS有有界界，故故正正项项级级数数 122sinnnn收收敛敛。 定定理理 4 4（比比较较判判别别法法） （1 1）若）若 1nnv收敛，则收敛，则 1nnu也收敛；也收敛； （2 2）若若 1nnu发发散散，则则 1nnv也也发发散散。 证证： （1 1）设设 1nnv和和 1nnu的的部部分分和和分分别别为为nnS 及及， 若若 1nnv收敛，则收敛，则 nS有界，有界，0 M即即，MSn 使得使得。 且且nnvu ), 2 , 1( n nnvu ), 2, 1( n，

3、故故MSnn ， 有有界界n ，故故 1nnu收收敛敛。 （2 2）用用反反证证法法。若若 1nnv收收敛敛，则则由由（1 1）知知 1nnu收收敛敛， 这与这与 1nnu发散矛盾，故发散矛盾，故 1nnv发散。发散。 解解： （1 1）当当1 p时时，nnp11 ), 3 , 2 , 1( n， 而而 11nn发发散散，故故 11npn发发散散。 （2 2）当当1 p时时，对对于于nxn 1，有有ppnx11 ，可可得得 ) , 3 , 2( 111 1 1 ndxxdxnnnnpnnpp，知知部部分分和和 例例 2 2 11 npnp级级数数讨讨论论的的敛敛散散性性，0 p其其中中。 np

4、xp11111111 pppnnS1211 dxxdxxnnpp 121 111dxxnp 1 11)11(1111 pnp 故故 有有界界nS，从从而而 11npn收收敛敛。 . ,1p, ,11 1发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数pnpnp 用用比比较较审审敛敛法法判判定定正正项项级级数数是是否否收收敛敛时时， 常常用用等等比比级级数数和和级级数数作作为为 p比比较较级级数数。 （1 1） 121nnn 12121 nnn( ( , 2 , 1 n) )， 而而212111是是公公比比为为 nn的的收收敛敛的的等等比比级级数数， 121nnn收收敛敛。 例例 3 3判判定定级级数数

5、的的敛敛散散性性： 解解： （1 1）1112)2(22 nnnnnn， （2 2） 1)1(1nnn 解解：11)1(1 nnn（ , 2 , 1 n） ， 而而 113121111nnn，发发散散， 1)1(1nnn发发散散。 （3 3） 1101nndxxx 解解：2302300132321111nxdxxdxxxunnnn ， 1 1 23nn收收敛敛而而， 1101nndxxx收敛。收敛。 定定理理 4 4，（比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式） 设设 1nnu和和 1nnv均均为为正正项项级级数数，且且Lvunnn lim，则则 （1 1）当当 L0时时， 1nnu与与 1n

6、nv具具有有相相同同的的敛敛散散性性； （2 2）当当0 L，且且 1nnv收收敛敛时时， 1nnu也也收收敛敛； （3 3）当）当 L，且，且 1nnv发散时，发散时， 1nnu也发散。也发散。 对对02 L， NN， Nn 时时，有有 2 LLvunn ，即即232LvuLnn ， 从从而而)( 232NnvLuvLnnn ， 由由比比较较判判别别法法可可知知结结论论成成立立。 证证明明： （1 1）Lvunnn lim， （2 2）0lim nnnvu， 1 nnvu，)( Nnvuvnnn ， 由由比比较较判判别别法法可可知知，当当 1nnv收收敛敛时时， 1nnu也也收收敛敛。 （3

7、 3） nnnvulim，0lim nnnuv， 由由反反证证法法及及（2 2）即即知知结结论论成成立立。 对对1， NN， Nn 时时，有有 极极限限形形式式的的比比较较判判别别法法在在两两个个正正项项级级数数的的通通项项均均 趋趋向向于于零零的的情情况况下下，其其实实是是比比较较两两个个通通项项作作为为无无穷穷小小 量量的的阶阶。它它表表明明：当当 n时时，如如果果nnvu 是比是比高高阶阶或或 是是与与nv同同阶阶的的无无穷穷小小，而而级级数数 1nnv收收敛敛，则则级级数数 1nnu 收收敛敛；如如果果nnvu 是比是比低低阶阶或或是是与与 nv同同阶阶的的无无穷穷小小， 而而级级数数

8、 1nnv发发散散，则则级级数数 1nnu发发散散。 例例4 4判判别别下下列列正正项项级级数数的的敛敛散散性性 （1 1） 12sin1nnn 解解：对对级级数数的的通通项项先先作作分分析析： 122sin1lim nnnn，而而 12nn发发散散， 12sin1nnn发发散散。 当当 n时时，n2sinn2，从从而而nn2sin1 n2。 （2 2）nnnn2ln1113 对级数的通项先作分析：对级数的通项先作分析： 当当 n时，时，311 n31n，)21ln(2lnnnn n2， 从从而而nnn2ln113 与与341n同同阶阶。 解解：21)21ln(1lim12ln11lim333

9、34 nnnnnnnnnn， nnnn2ln1113 收收敛敛。 而而 1341 nn收收敛敛， （3 3） 1ln nnn 解解： nnnnnnlnlim1lnlim， 而而 11 nn发发散散， 1ln nnn发发散散。 为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之 间的关系，它们按照阶由低往高排列为：间的关系，它们按照阶由低往高排列为： n ln， n ，)1( aan，!n，nn，其中其中)0 , 0( 。 （4 4） 123lnnnn 解：解： 4541231lnlnnnnnnun ， 0lnlim1lim4145 nnnunnn， 而而 14

10、51nn收收敛敛，故故 123lnnnn收收敛敛。 设设 1nnu为正项级数，若为正项级数，若 nnnuu1lim，则，则 （1 1）当当时时 1 ，收收敛敛 1 nnu； （2 2）当当1 时时，发发散散 1 nnu； （3 3）当当时时 1 ， 1nnu可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散。 证证： （1 1）当当1lim1 nnnuu时时， 有有 nnuu1。 故故得得 nnuu1， quunn 1，nnquu 1（Nn ） ， 0 取取，使得，使得1 q。 而而对对此此给给定定的的， NN 必必，时时当当 Nn ， 即即 12 NNquu， 1223 NNNuqquu， 111 Nkk

11、NkNuqquu， 由由比比较较判判别别法法和和级级数数性性质质 3 3 可可知知，级级数数 1nnu收收敛敛。 因此正项级数因此正项级数 kNNNuuu32的各项小于收的各项小于收 敛的等比级数敛的等比级数 11121NkNNuquqqu的对应项。的对应项。 （2 2）当当1lim1 nnnuu时时，取取0 ，使使得得1 q。 有有 nnuu1， 故故得得 nnuu1， 11 quunn， nnuu 1。 而而对对此此 给给定定的的， NN 必必， 时时当当 Nn ， 这这表表明明0lim nnu，故故 1nnu发发散散。 但但当当时时 1 p，级级数数发发散散 p；当当时时 1 p，级级数

12、数收收敛敛 p。 （3 3）当）当1lim1 nnnuu时，正项级数时，正项级数 1nnu可能收敛可能收敛 也可能发散。也可能发散。例如例如 11npnp级级数数， Rp，都有，都有 11)1(1limlim1 ppnnnnnnuu， 例例 5 5判判定定下下列列正正项项级级数数的的敛敛散散性性。 （1 1） 13tan2nnn； 级级 数数 13tan2nnn收收 敛敛 。 132332lim1nnn ， （2 2） 155nnn； 解解：nnnuu1lim nnnnn5)1(5lim551 （3 3）)34(951)13(8521 nnn， 解解：1431423limlim1 nnuunn

13、nn， 原原级级数数收收敛敛。 , 15)1(5lim5 nnn 级级数数 155nnn发发散散。 例例 6 6 讨讨 论论 级级 数数)0( )( ! 1 xnxnnn的的 收收 敛敛 性性 。 nnnnnnnxnnxnuu)( ! )1( ! 1limlim11 exnxnn )11(lim， 当当 ex ，即即1 ex时时，级级数数收收敛敛； 当当ex ，即即1 ex时时，级级数数发发散散； 当当ex 时时，比比值值法法失失效效。 凡凡是是用用比比值值审审敛敛法法判判定定的的发发散散级级数数，都都必必有有0lim nnu。 enn )11(， 1)11()11(1 nnnnnenxuu,

14、) , 3 , 2 , 1( n， 故故0lim nnu，所所以以级级数数也也发发散散。 例例 6 6 说说明明，虽虽然然定定理理 3 3 对对于于的的 1 情情形形，不不能能判判定定级级 数数的的敛敛散散性性，但但若若能能确确定定在在1lim1 nnnuu的的过过程程中中，nnuu1 总总是是从从大大于于 1 1 的的方方向向趋趋向向于于 1 1，则则也也可可判判定定级级数数是是发发散散的的。 定定理理6 6（根根值值判判别别法法，柯柯西西判判别别法法） 设设 1nnu为为正正项项级级数数，且且 nnnulim，则则 （1 1）当当时时 1 ， 1nnu收收敛敛； （2 2）当当时时 1 （

15、或或 nnnulim）时时， 1nnu发发散散。 （3 3）当当时时 1 ，不不能能判判别别。 例例 7 7判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性。 （1 1） 1)2(lnarctannnn； 解解：12ln12ln)2()2(lnarctanlimlim0 nnnnnnnu， 1)2(lnarctannnn发发散散。 （2 2）)0()1(1 anannn 解解：anannanunnnnnnn 1lim)1(limlim， 当当1 a时时，级级数数收收敛敛；当当1 a时时，级级数数发发散散； 当当1 a时时，根根值值判判别别法法失失效效。 但但01)11(1lim)1(limlim en

16、nnunnnnnn， 当当1 a时时 ， 级级 数数 发发 散散 。 （3） 1)1(2nnn 解解：nnnnnnnu)1(2limlim 1)1(2nnn收收 敛敛 。 可可以以证证明明，凡凡是是能能用用比比值值判判别别法法判判定定其其敛敛散散性性的的级级数数 必必能能用用根根值值判判别别法法判判别别其其敛敛散散性性，反反之之未未必必。 1212lim)1(1 nnn不存在，可见比值判别法失效。不存在，可见比值判别法失效。定定理理 7 7（积积分分判判别别法法） 设设（1 1）), 1 Cf，0 f且且单单调调递递减减； （2 2）), 2 , 1)( nnfun， 则则反反常常积积分分 1

17、 )(dxxf收收敛敛或或发发散散时时， 正正项项级级数数 1nnu也也随随之之收收敛敛或或发发散散。 nndxxfI1)(， nnnnuSuuuI 121， 132uSuuuInnn ， 证证明明：曲曲线线)(xfy 与与直直线线1 x，轴轴及及 xnx 所所围围成成的的面面积积 o12341 nnxy)(xfy 1u2u3unu由由此此得得1uISnn ， nnIS ， ,lim 11收收敛敛有有界界存存在在若若 nnnnnnuSuISII.limlim 1发散发散若若 nnnnnnuSII例例 8 8判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性。 （1 1） 1)0(1nppn； 解解： （1）pnnu1 ，取取pxxf1)( ， 则则)(xf在在), 1 上上非非负负，连连续续，单单减减。 .1,111 时收敛时收敛当当时发散时发散当当ppdxxp 11npn，当，当1 p时发散；当时发散；当1 p时收敛。时收敛。 解解：)1(ln)1(12 nnu