第2章地球椭球体基本要素和基本公式

1、2021-7-251 地球椭球体基本要素 地图投影基本概念 2 地球椭球体基本要素地球椭球体基本要素 三个表面三个表面 三级逼近三级逼近 三个坐标系三个坐标系 3 古希腊学者毕达格拉斯和亚里斯多德提出的古希腊学者毕达格拉斯和亚里斯多德提出的 ，他们在两千多年前就确信地球是圆的。后因宗，他们在两千多年前就确信地球是圆的。后因宗 教迷信和封建统治，压制了对天体的自由研究。教迷信和封建统治，压制了对天体的自由研究。 公元前公元前200200年，古希腊学者埃拉托色尼具体量年，古希腊学者埃拉托色尼具体量 算出地球的周长。算出地球的周长。 1717世纪末，牛顿推断地球不是圆球而是呈椭世纪末，牛顿推断地球不

2、是圆球而是呈椭 圆球，并为以后的经纬度测量所证实。圆球，并为以后的经纬度测量所证实。 地球的形状和大小地球的形状和大小 4 一、地球的自然表面一、地球的自然表面 5 珠穆朗玛峰（珠穆朗玛峰（8844.43m8844.43m）与马里亚）与马里亚 纳海沟（纳海沟（-11034m-11034m）之间的高差达）之间的高差达 近近20km20km。 6 7 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量 等精密测量，发现：等精密测量，发现： 地球不是一个正球体，而是一个极半地球不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、径略短、赤道半径略长，

3、北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。南极略扁平，近于梨形的椭球体。 由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然 不能作测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表不能作测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表 面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。 8 二、地球体的物理表面二、地球体的物理表面大地水准面大地水准面 大地水准面大地水准面将一个与静止海水面相将一个与静止海水面相 重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲 面。大地水准面所包围的球体称

4、为大地体。面。大地水准面所包围的球体称为大地体。 大地水准面作为测量的基准面，铅垂线大地水准面作为测量的基准面，铅垂线 作为测量的基准线。作为测量的基准线。 9 地球自然表面 地 球椭球 面 平均海水 面 但是由于地球内部物质分布的不均匀性，但是由于地球内部物质分布的不均匀性，它实际是一个它实际是一个 起伏不平的重力等位面起伏不平的重力等位面地球物理表面。地球物理表面。 因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作 为测量计算和制图的基准面。为测量计算和制图的基准面。 10 大地水准面的意义大地水准面的意义 1. 1. 地球形体的一级逼近：地

5、球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面对地球形状的很好近似，其面上高出与面 下缺少的相当。下缺少的相当。 2. 2. 起伏波动在制图学中可忽略：起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但对大地测量和地球物理学有研究价值，但 在制图中，均把地球当作正球体。在制图中，均把地球当作正球体。 3. 3. 重力等位面：重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水 准面的高度）。准面的高度）。 11 三、地球体的数学表面三、地球体的数学表面地球椭球面地球椭球面 为了便于测绘成果的计算，我们选择一为了便于测绘成果的计算，我们选

6、择一 个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来 代替，即以椭圆的短轴代替，即以椭圆的短轴( (地轴地轴) )为轴旋转面成为轴旋转面成 的椭球面，称之为地球椭球面。的椭球面，称之为地球椭球面。 它是一个纯数学表面，可以用简单的数它是一个纯数学表面，可以用简单的数 学公式表达。学公式表达。 12 地球椭球体三要素：地球椭球体三要素： 长轴长轴a a （赤道半径）（赤道半径） 短轴短轴b b （极半径）（极半径） 椭球扁率：（椭球扁率：（a ab b）/a/a 旋转椭球体（地球椭球体）旋转椭球体（地球椭球体）地球形体的地球形体的二级二级 逼近逼近，用于测量计算的基

7、准面。，用于测量计算的基准面。 Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b 13 地球椭球体定位地球椭球体定位：在天文大地测量中首先选取一个对一个国家：在天文大地测量中首先选取一个对一个国家 比较适中的大地测量原点，并从此点出发通过事先布设的三角比较适中的大地测量原点，并从此点出发通过事先布设的三角 网点进行几何测量和大地经纬度测量，逐一求出各网点的垂线网点进行几何测量和大地经纬度测量，逐一求出各网点的垂线 偏差，再以上述的测量结果将事先设置的地球椭球面位置调整偏差，再以上述的测量结果将事先设置的地球椭球面位置调整

8、到最理想的位置上。到最理想的位置上。 局部定位的地球椭球体，称为局部定位的地球椭球体，称为 参考椭球体，国际上有多种大地参考椭球体，国际上有多种大地 测量原点和参考椭球。测量原点和参考椭球。 测量与制图工作将以参考测量与制图工作将以参考 椭球体表面作为几何参考面，将椭球体表面作为几何参考面，将 大地体上进行的大地测量结果归大地体上进行的大地测量结果归 算到这一参考面上。算到这一参考面上。 14 中国中国19521952年前采用年前采用海福特海福特（HayfordHayford）椭）椭 球体球体 ； 1953198019531980年采用年采用克拉索夫斯基克拉索夫斯基椭球体椭球体 （坐标原点是前

9、苏联玻尔可夫天文台）（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 19801980年开始采用年开始采用 GRS 1975GRS 1975（国际大地测（国际大地测 量与地球物理学联合会量与地球物理学联合会 IUGG 1975 IUGG 1975 推荐推荐）新）新 参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪 流村为流村为“19801980西安坐标系西安坐标系”大地坐标的起算点。大地坐标的起算点。 15 陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系西安坐标系” 大地坐标的 起算点大地原点。 16 四、地球的三级逼近四、地球的三级逼近 1 1地球形体的一级逼近：地

10、球形体的一级逼近： 大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大 地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少 的相当。的相当。 2 2地球形体的二级逼近地球形体的二级逼近 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体， 称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学 表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地 球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。球形体的二级逼近，用

11、于测量计算的基准面。 3 3地球的三级逼近地球的三级逼近 对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭 球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符 合最好的一个地球椭球体合最好的一个地球椭球体参考椭球体。参考椭球体。 17 18 3.2 3.2 地理坐标系地理坐标系 确定地面点或空间目标的位置所采用确定地面点或空间目标的位置所采用 的参考系称为坐标系。的参考系称为坐标系。 坐标系的种类有很多，与地图测绘密坐标系的种类有很多，与地图测绘密 切相关的有地理坐标系和平面坐标系。切相关的有地理坐标系和平面坐标系。

12、 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。是球面坐标系统的建立。 19 地理坐标地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度天文经纬度 大地经纬度大地经纬度 地心经纬度地心经纬度 20 天文经纬度：天文经纬度：以以大地水准面大地水准面为基准面，铅垂为基准面，铅垂 线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的 系统。系统。 天文经度：天文经度：观测点

13、天顶子午面与格林尼治天顶观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点在地球上定义为本初子午面与观测点 之间的两面角。之间的两面角。 天文纬度：天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。间的夹角。 21 22 大地经纬度：表示地面点在大地经纬度：表示地面点在参考椭球面参考椭球面上上 的位置，用大地经度的位置，用大地经度 、大地纬度、大地纬度 和大地和大地 高高 HH 表示。表示。 大地经度大地经度l l ：指参考椭球面上某点的大地子指参考椭球面上某点的大地子 午面与本初子午面间的两面角。东经为正，

14、午面与本初子午面间的两面角。东经为正， 西经为负。西经为负。 大地纬度大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线指参考椭球面上某点的垂直线 （法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南 纬为负。纬为负。 23 本 初 子 午 24 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度心经度同大地经度 ，地心纬度是指，地心纬度是指参考椭球面参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y y 。 25 在大地测量学中，常以在大地测量学中，常以天文经纬度天文经纬度定义地理坐标

15、。定义地理坐标。 在在地图学地图学中，以中，以大地经纬度大地经纬度定义地理坐标定义地理坐标。 在地理学研究及在地理学研究及地图学的小比例尺制图中地图学的小比例尺制图中，通常将，通常将 椭球体当成正球体看，采用椭球体当成正球体看，采用地心经纬度地心经纬度。 26 军事测绘部门对军事测绘部门对“19801980西安坐标系西安坐标系”的椭球参数的椭球参数 进行变换和平移，建立了进行变换和平移，建立了“新新19541954北京坐标系北京坐标系”， 并于并于1978198819781988年利用国内外天文、大地、重力年利用国内外天文、大地、重力 和卫星观测资料，建立了我国的和卫星观测资料，建立了我国的“

16、地心坐标系地心坐标系”。 2020世纪世纪9090年代以来，国家有关部门联合建立了年代以来，国家有关部门联合建立了 20002000国家国家GPSGPS大地控制网，大地控制网，20032003年通过联合处理年通过联合处理 建立了我国新一代与国际地球参考系接轨的高精建立了我国新一代与国际地球参考系接轨的高精 度地心坐标系度地心坐标系“2000“2000中国大地坐标系中国大地坐标系”。 “20002000中国大地坐标系中国大地坐标系”于于20082008年正式启用。年正式启用。 27 地图投影的基本概念 地图投影地图投影 比例尺比例尺 28 地理空间中的要素要进行定位，必须要嵌入到地理空间中的要素

17、要进行定位，必须要嵌入到 一个空间参照系中，即在进行位置描述时，需要有一个空间参照系中，即在进行位置描述时，需要有 一个参照。一个参照。 u 球面坐标系统球面坐标系统 根据地球椭球体模型建立的根据地球椭球体模型建立的地理坐标系地理坐标系经经 纬度坐标及高程坐标纬度坐标及高程坐标可以作为所有空间要素的可以作为所有空间要素的参照参照 系统系统。这个坐标系统是。这个坐标系统是球面坐标系统：是以三维球球面坐标系统：是以三维球 面为基础的。用经纬度量测，单位度、分、秒，又面为基础的。用经纬度量测，单位度、分、秒，又 称为大地坐标系。称为大地坐标系。 回顾回顾 地理空间坐标系的建立地理空间坐标系的建立 2

18、9 地球表面地球表面 地球的经线和纬线地球的经线和纬线 地面点的高程地面点的高程 地理坐标系地理坐标系 30 u平面坐标系统（平面坐标系统（笛卡儿坐标系统） 以平面为基础的平面坐标系。现实世界是以相对以平面为基础的平面坐标系。现实世界是以相对 于指定原点的于指定原点的XYXY坐标值来定位的，单位常用英尺或坐标值来定位的，单位常用英尺或 米（通常为正值）。米（通常为正值）。 将经纬度坐标转换成平面直角坐标，这样就可以将经纬度坐标转换成平面直角坐标，这样就可以 方便地进行距离、方位、面积的计算：方便地进行距离、方位、面积的计算： F:(,)(x,y)， 为经度，为经度， 为纬度为纬度 31 一、问

19、题的提出：一、问题的提出： 地图的数学基础地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物 之间保持一定对应关系的数学基础。包括： 经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。 两个矛两个矛 盾盾： 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 大与小的矛盾大与小的矛盾 32 将椭球面上的客观世界表现在有限的平将椭球面上的客观世界表现在有限的平 面上面上, ,首先要实现由球面到平面的转换。首先要实现由球面到平面的转换。 如何转换如何转换? ? 33 34 地球椭球面是不可展开的面地球椭球面是不可展开的面. .无论如何无论如何 展开都会产生褶皱展开都会产生褶皱

20、, ,拉伸或断裂等无规律变形拉伸或断裂等无规律变形, , 无法绘制科学、准确的地图无法绘制科学、准确的地图. .因此解决因此解决 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 将地球椭球面上的点转换成平面上的点。将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 大与小的矛盾大与小的矛盾 地图投影地图投影 比例尺比例尺 35 （格陵兰）（格陵兰） 36 37 二、地图投影实质二、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标 表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表 示）之间的函数关系，用数学式表达这种关示）之间的函数关系，用数学

21、式表达这种关 系，就是：系，就是： ),( ),( 2 1 fy fx 38 三、投影方式：三、投影方式： 1.垂直投影垂直投影 39 通过测量的方法获得地形图，这一过程，通过测量的方法获得地形图，这一过程， 可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一 个地形模型，然后将其上的一些特征点（测个地形模型，然后将其上的一些特征点（测 量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的 方法投影到图纸。方法投影到图纸。 因为测量的可观测范围是个很小的区域，因为测量的可观测范围是个很小的区域， 此范围内的地表面可视为平面，所以投影没此范围内的

22、地表面可视为平面，所以投影没 有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、 全球，这种投影就不适合。全球，这种投影就不适合。 40 2.2.几何透视投影几何透视投影 利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面 上的一种投影方法。上的一种投影方法。 假设地球按比例缩小成一个透明的地假设地球按比例缩小成一个透明的地 球仪般球体，在其球心、球面或球外球仪般球体，在其球心、球面或球外 安置光源，将透明球体上的经纬线、安置光源，将透明球体上的经纬线、 地物和地貌投影到球外的一个平面上，地物和地貌投影到球外的一个平面上， 所 形

23、 成 的 图 形 ， 即 为 地 图 。所 形 成 的 图 形 ， 即 为 地 图 。 41 3. 3. 数学解析法数学解析法 在球面与投影平面之间建立点与点的函数在球面与投影平面之间建立点与点的函数 关系（数学投影公式），已知球面上点位的地关系（数学投影公式），已知球面上点位的地 理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对 应坐标的一种投影方法。应坐标的一种投影方法。 42 四、地图比例尺四、地图比例尺 解决大与小解决大与小 的矛盾的矛盾. 43 44 一、地图比例尺的定义一、地图比例尺的定义 在制图之前必须明确制定制图区域缩小的比在制图之前必须明确制定

24、制图区域缩小的比 例，在制成的图上也应明确表示出缩小的比例。例，在制成的图上也应明确表示出缩小的比例。 制图区域较小时，景物缩小比率也较小，图制图区域较小时，景物缩小比率也较小，图 面上各处长度缩小的比例可以看成是相等的。此面上各处长度缩小的比例可以看成是相等的。此 时，时，地图比例尺是指图上某线段的长度地图比例尺是指图上某线段的长度L L与其相应与其相应 的实地长度的实地长度D D之比。之比。 1/M=L/D1/M=L/D 其中，其中，M M是地图比例尺的分母；是地图比例尺的分母；L L是地图上线段的是地图上线段的 长度；长度；D D为相应线段在实地的长度。为相应线段在实地的长度。 45 4

25、6 在传统地图上所标明的缩小比率，都是指长度缩小的比率。在传统地图上所标明的缩小比率，都是指长度缩小的比率。 地图上注记的比例尺称之为主比例尺。地图上注记的比例尺称之为主比例尺。 由于地图投影的原因，会造成地图上各处由于地图投影的原因，会造成地图上各处 的缩小比例的不同，地图投影时，应考虑地图的缩小比例的不同，地图投影时，应考虑地图 投影对地图比例尺的影响。投影对地图比例尺的影响。 由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投 影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例 尺大，就是比主比例尺小。尺大，就是

26、比主比例尺小。 大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 47 在地图投影中，切点、切线和割线上是没在地图投影中，切点、切线和割线上是没 有任何变形的，这些地方的比例尺皆为有任何变形的，这些地方的比例尺皆为主比例主比例 尺尺。 切线或割线长度与球面上相应直线距离水切线或割线长度与球面上相应直线距离水 平投影长度的比值即为地面实际缩小的倍数。平投影长度的比值即为地面实际缩小的倍数。 因此，通常以切点、切线和割线缩小的倍数表因此，通常以切点、切线和割线缩小的倍数表 示地面缩小的程度；示地面缩小的程度；在各种地图上通常所标注在各种地图上通常所标注 的都是此种比例尺，故又称

27、普通比例尺。的都是此种比例尺，故又称普通比例尺。 主比例尺主要用于分析或确定地面实际缩主比例尺主要用于分析或确定地面实际缩 小的程度。小的程度。 48 地图比例尺在地图上的表现形式地图比例尺在地图上的表现形式 数字式数字式 比例尺比例尺 如如 1:10000 特殊比例尺特殊比例尺 变比例尺变比例尺 无级别比例尺无级别比例尺 文字式比文字式比 例尺例尺 如如 百万分之一百万分之一 图解式图解式 比例尺比例尺 直线比例尺直线比例尺 复式比例尺复式比例尺 斜分比例尺斜分比例尺 二、地图比例尺的表现形式二、地图比例尺的表现形式 49 （1 1）数字式比例尺：写成比的形式）数字式比例尺：写成比的形式 R

28、epresentative fraction (RF): a simple ratio 。 eg.1eg.1：1000010000，1/100001/10000 （2 2）文字式比例尺（）文字式比例尺（Verbal statement）： “一万分之一一万分之一”，“图上图上1 1厘米等于实地厘米等于实地1 1公里公里” （3 3）图解比例尺）图解比例尺( (Graphical or bar scale (scale bar) )： 直线比例尺直线比例尺 斜分比例尺斜分比例尺 复式比例尺复式比例尺 50 直线比例尺：直线比例尺： 以直线线段形式标明图上线段长度对所以直线线段形式标明图上线段长度

29、对所 对应的地面距离。对应的地面距离。 51 直线比例尺：系以直线比例尺：系以1cm1cm为一基本尺为一基本尺 段，呈直线图形的比例尺。段，呈直线图形的比例尺。 整个比例尺分主副尺两部分，主尺整个比例尺分主副尺两部分，主尺 包括若干尺段，从第一尺段分点处注包括若干尺段，从第一尺段分点处注0 0起，起， 向右计数；向右计数； 副尺占一个尺段；细分副尺占一个尺段；细分1010小格，从小格，从 0 0处向左计数，每小格为处向左计数，每小格为0.10.1基本尺段，基本尺段， 读数时可估读到读数时可估读到0.010.01基本尺段。每一基基本尺段。每一基 本尺段相当于实地的长度随某地图的比本尺段相当于实地

30、的长度随某地图的比 例尺大小而定。例尺大小而定。 52 斜分比例尺（微分比例尺）：斜分比例尺（微分比例尺）： 根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长 度单位的百分之一。度单位的百分之一。 53 复式比例尺复式比例尺 由由主比例尺主比例尺的尺线与若干条的尺线与若干条局部比例尺局部比例尺的尺的尺 线构成，分经线比例尺和纬线比例尺两种。线构成，分经线比例尺和纬线比例尺两种。 以经线长度比计算基本尺段相应实地长度所以经线长度比计算基本尺段相应实地长度所 作出的复式比例尺，称经线比例尺，用于量测沿作出的复式比例尺，称经线比例尺，用于量测沿 经线或近似经线

31、方向某线段的长度；经线或近似经线方向某线段的长度； 以纬线长度比计算基本尺段相应实地长度所以纬线长度比计算基本尺段相应实地长度所 作出的复式比例尺，称纬线比例尺，用于量测沿作出的复式比例尺，称纬线比例尺，用于量测沿 纬线或近似纬线方向某线段的长度。纬线或近似纬线方向某线段的长度。 54 55 （4 4）特殊比例尺）特殊比例尺 变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离较变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离较 远时，为了突出主区和节省图面，将主区以外部分远时，为了突出主区和节省图面，将主区以外部分 的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的 比例表示。比例表示。 例如旅游景区比较分散的旅游图，或街区有飞例如旅游景区比较分散的旅游图，或街区有飞 地的城市交通图等。地的城市交通图等。 无级别