第四章人工智能不确定与非单调推理

1、人工智能Artificial Intelligence主讲：杨利英主讲：杨利英西安电子科技大学西安电子科技大学E_mail：第五章 不确定与非单调推理4.1 基本概念基本概念4.2 概率方法概率方法4.3 主观主观Bayes方法方法4.4 可信度方法可信度方法4.5 证据理论证据理论4.6 模糊推理模糊推理4.7 非单调推理非单调推理4.1 基本概念4.1.1 不确定性推理不确定性推理是建立在非经典逻辑基础上的一不确定性推理是建立在非经典逻辑基础上的一种推理，它是对不确定性知识的运用与处理。种推理，它是对不确定性知识的运用与处理。不确定性推理就是从不确定性的初始证据（即不确定性推理就是从不确定

2、性的初始证据（即事实）出发，通过运用不确定性的知识，最终事实）出发，通过运用不确定性的知识，最终推出具有一定程度不确定性的结论。推出具有一定程度不确定性的结论。1. 不确定性的表示与度量不确定性的表示与度量2. 不确定性匹配算法及阈值的选择不确定性匹配算法及阈值的选择3. 组合证据不确定性的计算方法组合证据不确定性的计算方法4. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法5. 结论不确定性的合成结论不确定性的合成4.1.2 不确定性推理中的基本问题4.1.2 不确定性推理中的基本问题1. 不确定性的表示与度量不确定性的表示与度量不确定性推理中的不确定性推理中的“不确定性不确定性”一般分为一般分为两类

3、两类：一：一是知识的不确定性，一是证据的不确定性。是知识的不确定性，一是证据的不确定性。n知识不确定性知识不确定性的表示：目前在专家系统中知识的不确定性一般是由领域专家给出的，通常用一个数值表示，它表示相应知识的不确定性程度，称为知识的静态强度静态强度。n证据不确定性证据不确定性的表示：证据不确定性的表示方法与知识不确定性的表示方法一致，通常也用一个数值表示，代表相应证据的不确定性程度，称之为动态强度动态强度。4.1.2 不确定性推理中的基本问题2. 不确定性匹配算法及阈值的选择不确定性匹配算法及阈值的选择n设计一个不确定性匹配算法：用来计算匹配双设计一个不确定性匹配算法：用来计算匹配双方相似

4、程度。方相似程度。n指定一个匹配阈值。指定一个匹配阈值。4.1.2 不确定性推理中的基本问题3. 组合证据不确定性的计算方法组合证据不确定性的计算方法n最大最小法：最大最小法：T(E1 AND E2)=minT(E1),T(E2)T(E1 OR E2)=maxT(E1),T(E2)n概率法：概率法：T(E1 AND E2)=T(E1)T(E2)T(E1 OR E2)=T(E1)T(E2)T(E1)T(E2)n有界法：有界法：T(E1 AND E2)=max0,T(E1)T(E2)1T(E1 OR E2)=min1,T(E1)T(E2)其中，其中，T(E)表示证据表示证据E为真的程度（动态强度）

5、，为真的程度（动态强度），如可信度、概率等。如可信度、概率等。4.1.2 不确定性推理中的基本问题4. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法 在每一步推理中，如何把证据及知识的在每一步推理中，如何把证据及知识的不确定性传递给结论，即如何计算结论不确定性传递给结论，即如何计算结论的不确定性。的不确定性。4.1.2 不确定性推理中的基本问题5. 结论不确定性的合成结论不确定性的合成用不同知识进行推理得到了相同结论，用不同知识进行推理得到了相同结论，但所得结论的不确定性却不同。此时，但所得结论的不确定性却不同。此时，需要用合适的算法对结论的不确定性进需要用合适的算法对结论的不确定性进行合成。行合成。

6、4.1.3 不确定性推理方法的分类不确定性推理方法主要可分为不确定性推理方法主要可分为模型法模型法与控制法。与控制法。模型法模型法：在推理一级对确定性推理进行扩展，引：在推理一级对确定性推理进行扩展，引入证据的不确定性及知识的不确定性。入证据的不确定性及知识的不确定性。模型方法又分为模型方法又分为数值方法数值方法和非数值方法两类。数和非数值方法两类。数值方法对不确定性进行定量的描述，按其所依据值方法对不确定性进行定量的描述，按其所依据的理论又可分为基于概率的方法的理论又可分为基于概率的方法(概率方法、主观概率方法、主观Bayes方法、可信度方法、证据理论方法、可信度方法、证据理论)和基于模糊和

7、基于模糊理论的方法（理论的方法（模糊推理模糊推理）。）。4.2 概率方法4.2.1 经典概率方法（1）设有如下产生式规则：IFE THEN H其中，E为前提条件，H为结论。条件概率P(H|E)可以作为在证据E出现时结论H的确定性程度，即规则的静态强度。（2）对于复合条件E=E1 AND E2 AND AND En当已知条件概率P(H|E1,E2,En)时，就可把它作为在证据E1,E2,En出现时结论H的确定性程度。（3）先验概率： P(H) 后验概率： P(H|E)若A1,A2,An是彼此独立的事件，对于事件B，则有其中，P(Ai)是事件Ai的先验概率；P(B|Ai)是在事件Ai发生条件下事件

8、B的条件概率。对于一组产生式规则对于一组产生式规则IFETHENHi同样有后验概率如下（ Hi 确定性的程度，或规则的静态强度）：4.2.2 逆概率方法1()(|)(|),1,2,.,()(|)iiinjjjP AP B AP A BinP AP B A1()(|)(|),1,2,.,()(|)iiinjjjP HP E HP HEinP HP E H对于多个证据1212121(|)()(|)(|)(|)()(|)(|)(|),1,2,.,imiiiminjjjmjjP HE EEP HP EHP EHP EHP HP EHP EHP EHin逆概率方法举例例例 设H1,H2,H3分别是三个结

9、论，E是支持这些结论的证据。已知：P(H1)=0.3, P(H2)=0.4, P(H3)=0.5P(E|H1)=0.5, P(E|H2)=0.3, P(E|H3)=0.4求P(H1|E),P(H2|E)及P(H3|E)的值各是多少？解解：同理可得同理可得： P(H2|E)=0.26, P(H3|E)=0.43111112233()( |)(| )()( |)()( |)()( |)0.150.15 0.12 0.20.32P HP E HP H EP HP E HP HP E HP HP E H对应的产生式规则：对应的产生式规则：IFETHENH1IFETHENH2IFETHENH3 规则的静

10、态强度规则的静态强度(Hi为真的程度、或不确定性程度为真的程度、或不确定性程度)P(H1|E)=0.32P(H2|E)=0.26P(H3|E)=0.43逆概率法的特点优点优点：逆概率法有较强的理论背景和良好的数学特性，逆概率法有较强的理论背景和良好的数学特性，当证据彼此独立时计算的复杂度比较低。当证据彼此独立时计算的复杂度比较低。缺点缺点：逆概率法要求给出结论逆概率法要求给出结论Hi的先验概率的先验概率P(Hi)及条及条件概率件概率P(Ej|Hi)。4.3 主观Bayes方法4.3.1 知识不确定性的表示在主观Bayes方法中，知识是用产生式规则表示的，具体形式为：IFE THEN (LS,L

11、N) H (P(H)其中，P(H)是结论H的先验概率，由专家根据经验给出。LS称为充分性度量，用于指出E对H的支持程度，取值范围为0,)，其定义为：LS=P(E|H)/P(E|H)。LN称为必要性度量，用于指出 E对H的支持程度，取值范围为0,)，其定义为：LN=P(E|H)/P(E|H)=(1-P(E|H)/(1-P(E|H)。LS和LN的值由领域专家给出，相当于知识的静态强度。4.3.2 证据不确定性的表示主观Bayes方法中，证据的不确定性也用概率表示。对于证据E，由用户根据观察S给出P(E|S)，即动态强度。用P(E|S)描述证据的不确定性 （证据E不是可以直接观测的）。由于主观给定P

12、(E|S)有所困难，所以实际中可以用可信度C(E|S)代替P(E|S)。在探矿专家系统PROSPECTOR中C(E|S)取整数：-5，.5 C(E|S)=-5表示在观测S下证据E肯定不存在P(E|S)=0 C(E|S)= 5表示在观测S下证据E肯定存在P(E|S)=1 C(E|S)= 0表示S与E无关,即P(E|S)= P(E) 给定给定C(E|S)后，后，P(E|S)可近似计算如下（分段可近似计算如下（分段线性插值）：线性插值）：( | )( ) (5( | ),0( | ) 55( | )( ) (5( | ), 5( | ) 05C ESP EC ESC ESP E SP EC ESC

13、ES 采用主观采用主观Bayes方法方法 IF E THEN (LS,LN) H (P(H) 时要解决的主要问题：时要解决的主要问题：（1）证据肯定存在时，如何计算证据肯定存在时，如何计算P(H|E)？ 此时此时P(E|S)=1。（2）证据肯定不存在时，如何计算证据肯定不存在时，如何计算P(H| E)？ 此时此时P(E|S)=0。（3）证据具有不确定性时，如何计算证据具有不确定性时，如何计算P(H|S)？ 此时此时0P(E|S)1。4.3.3 组合证据不确定性的算法（1）最大最小法）最大最小法当组合证据是多个单一证据的合取时当组合证据是多个单一证据的合取时，即E=E1 AND E2 AND A

14、ND En则：P(E|S)=minP(E1|S),P(E2|S),P(En|S)当组合证据是多个单一证据的析取时当组合证据是多个单一证据的析取时，即E=E1 OR E2 OR OR En则：P(E|S)=maxP(E1|S),P(E2|S),P(En|S)（2）对于）对于“”运算运算：P(E|S)=1-P(E|S)4.3.4 不确定性的传递算法（1）根据证据根据证据E的条件概率的条件概率P(E|S) 及及LS、LN的值，把的值，把H的的先验概率先验概率P(H)更新为后验概率更新为后验概率P(H|E) 。（2） 分以下分以下3种情况讨论：种情况讨论： 证据肯定存在：证据肯定存在： P(E|S)=

15、1，即，即P(E)=1 证据肯定不存在：证据肯定不存在： P(E|S)=0，即，即P(E)=0 证据不确定：证据不确定： 0P(E|S)1时，时，(H|E)=LS(H)(H)，相应有，相应有P(H|E)P(H)，表明由于证据表明由于证据E的存在，可增强的存在，可增强H为真的程度（为真的程度（有利证据有利证据）。）。一般情况下一般情况下LS1。当当LS1时，时，(H|E)=LS(H)(H)，表明，表明E与与H无关无关（无关证据无关证据）。）。当当LS1时，时，(H|E)=LS(H)(H)，表明由于证据，表明由于证据E的存的存在，减小了在，减小了H为真的程度（为真的程度（不利证据不利证据）。）。当

16、当LS0时，时，(H|E)=LS(H)0，表明由于证据，表明由于证据E的存在，的存在，导致导致H为假（为假（否定性的证据否定性的证据）。）。证据肯定不存在时在证据肯定不存在时，在证据肯定不存在时，P(E)=P(E|S)=0， P(E)=1。由由Bayes公式得：公式得：P(H|E)=P(E|H)P(H)/P(E)(1)P(H|E)=P(E|H)P(H)/P(E)(2)(1)式除以式除以(2)式得：式得：P(H|E)/P(H|E)=P(E|H)/P(E|H)P(H)/P(H)根据必要性度量根据必要性度量LN和几率函数的定义，可得：和几率函数的定义，可得：(H|E)=LN(H)即即P(H|E)=L

17、NP(H)/(LN-1)P(H)+1必要性度量LN的意义对于知识：对于知识： IF E THEN (LS,LN) H (P(H) 在证据在证据E肯定不存在时，可以根据肯定不存在时，可以根据LN给出结论给出结论H的可信度的可信度P(H|E) 。当当LN1时，时，(H|E)=LN(H)(H)，表明由于证据，表明由于证据E不存在，减小了不存在，减小了H为真的程度（为真的程度（ E 为不利证据为不利证据）。）。 一般情况下一般情况下LN1时，时，(H|E)=LN(H)(H)，相应有，相应有P(H|E)P(H)，表明由于证据，表明由于证据E不存在，增强了不存在，增强了H为真为真的程度（的程度（ E 为有

18、利证据为有利证据）。）。对LS 和 LN 的说明LS1: 表明证据表明证据 E是对是对H有利的证据。有利的证据。 LN1：表明证据：表明证据E是对是对H有利的证据。有利的证据。所以：所以： 不能出现不能出现LS1且且LN1的取值。的取值。LS1: 表明证据表明证据 E是对是对H不利的证据。不利的证据。 LN1：表明证据：表明证据E是对是对H不利的证据。不利的证据。所以：所以： 不能出现不能出现LS1且且LN1， LN1。证据不确定时当当0P(E|S)0P(H1|S1)=P(H1)+P(H1|E1)-P(H1)1/5C(E1|S1) =0.122(H1|S1)=P(H1|S1)/(1- P(H1

19、|S1)=0.14R1:IF E1THEN(2, 0.001) H1R2:IF E2THEN(100, 0.001) H1R3:IF H1THEN(200, 0.01 ) H22. 计算计算(H1|S2)P(H1|E2)=(H1|E2)/(1+(H1|E2)= LS2(H1)/(1+LS2(H1)=0.91C(E2|S2)=10P(H1|S2)=P(H1)+P(H1|E2)-P(H1)1/5C(E2|S2) =0.254(H1|S2)=P(H1|S2)/(1- P(H1|S2)=0.34R1:IF E1THEN(2, 0.001) H1R2:IF E2THEN(100, 0.001) H1R3

20、:IF H1THEN(200, 0.01 ) H23. 计算计算(H1|S1S2)(H1|S1S2)=(H1|S1)/(H1)(H1|S2)/(H1)(H1) =0.4764. 计算计算(H2|S1S2)(H1|S1S2)=0.476(H1)=0.1P(H2|S1S2)=P(H2)+ P(H2|H1)-P(H2) /1-P(H1) P(H1|S1S2)-P(H1)=0.175(H2|S1S2)=P(H2|S1S2)/(1- P(H2|S1S2)=0.212优点优点：主观主观Bayes方法中的计算公式大多是在概率论的方法中的计算公式大多是在概率论的基础上推导出来的，具有较坚实的理论基础。基础上推

21、导出来的，具有较坚实的理论基础。知识的静态强度知识的静态强度LS及及LN是由领域专家给出，避免是由领域专家给出，避免了大量的数据统计工作。了大量的数据统计工作。主观主观Bayes方法不仅给出了证据肯定存在、肯定方法不仅给出了证据肯定存在、肯定不存在时更新后验概率的方法，还给出了证据不不存在时更新后验概率的方法，还给出了证据不确定时的更新方法，实现了不确定性的逐级传递。确定时的更新方法，实现了不确定性的逐级传递。主观主观Bayes方法的特点方法的特点主观主观Bayes方法的特点方法的特点缺点：缺点：它要求领域专家在给出知识时，同时给它要求领域专家在给出知识时，同时给出出H的先验概率的先验概率P(

22、H)，这比较困难。，这比较困难。Bayes定理要求事件间独立，使其应用定理要求事件间独立，使其应用受限制。受限制。4.4 可信度方法4.4.1 可信度的概念可信度的概念根据经验对一个事物和现象为真的相信程度称为根据经验对一个事物和现象为真的相信程度称为可信度。可信度。在可信度方法中，由专家给出规则或知识的可信在可信度方法中，由专家给出规则或知识的可信度，从而可避免对先验概率、条件概率的要求。度，从而可避免对先验概率、条件概率的要求。可信度方法首先在专家系统可信度方法首先在专家系统MYCINMYCIN中得到了成功的中得到了成功的应用。应用。4.4.2 C-F模型C-F模型是基于可信度表示的不确定

23、推理的基本方法。模型是基于可信度表示的不确定推理的基本方法。1、C-F模型中知识不确定性的表示模型中知识不确定性的表示知识是用产生式规则表示的，其一般形式为：IFETHENH(CF(H,E)其中，CF(H,E)是该知识的可信度，称为可信度因子或规则强度，即静态强度。一般情况下，CF(H,E)-1,1。 CF(H,E)0对应于P(H|E)P(H); CF(H,E)0对应于P(H|E)P(H)时： 信任增长度MB(H,E)0， 不信任增长度MD(H,E)=0 。当P(H|E)0， 信任增长度MB(H,E) =0。MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的： 当MB(H,E)0时，MD(H,E)0 当M

24、D(H,E)0时，MB(H,E)01, () 1(, )max ( | ), ()(),1()P HMB H EP H E P HP HP H否则1, () 0(, )min (| ), ()(),()P HMD H EP H E P HP HP H否则CF(H,E)的计算公式根据定义CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)，及MB(H,E)与MD(H,E)的互斥性，可得:从上式可看出从上式可看出：CF(H,E)0对应于P(H|E)P(H);CF(H,E)0对应于P(H|E)0:表示证据以某种程度为真。表示证据以某种程度为真。 CF(E)0:表示证据以某种程度为假。表示证据以某种程度为假

25、。CF(E)表示证据的强度，即动态强度。表示证据的强度，即动态强度。3. C-F模型中组合证据不确定性的算法模型中组合证据不确定性的算法可采用最大最小法。可采用最大最小法。若 E=E1 AND E2 ANDAND En, 则CF(E)=minCF(E1),CF(E2),CF(En)若 E=E1 OR E2 OROR En, 则CF(E)=maxCF(E1),CF(E2),CF(En)4. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法IFETHENH(CF(H,E)结论H的可信度由下式计算：CF(H)=CF(H,E)max0,CF(E)可以看出可以看出：(1)若证据为假，即CF(E)0。4.4.3 带有

26、阈值限度的不确定性推理1. 知识不确定性的表示知识不确定性的表示知识用下述形式表示：IFETHENH(CF(H,E),)其中：E为知识的前提条件，可以是简单条件，也可以是复合条件。CF(H,E)为知识的可信度，取值范围为（0,1， CF(H,E) 的值越大，表示相应知识的可信度越高。 是阈值，明确规定了知识运用的条件：只有当CF(E)时，该知识才能够被应用。的取值范围为(0,1。 IFETHENH(CF(H,E),)2. 证据不确定性的表示证据不确定性的表示证据证据E的可信度仍为的可信度仍为CF(E)，其取值范围为：，其取值范围为：0，1 CF(E)=1 对应于对应于 P(E)=1 (证据绝对

27、存在证据绝对存在) ; CF(E)=0 对应于对应于 P(E)=0; (证据绝对不存在证据绝对不存在)3.组合证据不确定性的算法组合证据不确定性的算法 取大取小原则取大取小原则4. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法当当CF(E)时，时，CF(H)=CF(H,E)CF(E)5. 结论不确定性的合成算法结论不确定性的合成算法设有多条规则有相同的结论，即设有多条规则有相同的结论，即IFE1THEN H(CF(H,E1),1)IFE2THEN H(CF(H,E2),2)IFEnTHEN H(CF(H,En),n)如果这如果这n条规则都满足：条规则都满足：CF(Ei)i，i=1,2,n且都被启用，则

28、首先分别对每条知识求出它对且都被启用，则首先分别对每条知识求出它对CFi(H)；然后求结论然后求结论H的综合可信度的综合可信度CF(H)。求综合可信度的几种方法求综合可信度的几种方法极大值法极大值法：CF(H)=maxCF1(H),CF2(H),CFn(H)加权求和法加权求和法：有限和法有限和法：递推法递推法：C1=CF(H,E1)CF(E1)Ck=Ck-1+(1-Ck-1)CF(H,Ek)CF(Ek)1111()(,)()(,)(,)1()niniiinniiiiiCF HCF H ECF ECF H ECF H ECF H1()() min,1niiCF HCF H4.4.4 加权的不确定

29、性推理加权的不确定性推理1. 1. 知识不确定性的表示知识不确定性的表示IFE1(1) AND E2(2) ANDAND En(n) THEN H (CF(H,E),)其中其中i(i=1,2,n)(i=1,2,n)是加权因子，是加权因子，是阈值，其值均是阈值，其值均由专家给出。由专家给出。加权因子的取值范围一般为加权因子的取值范围一般为0,1,0,1,且应满足归一条件，即且应满足归一条件，即11,1,2, ,01niiiin4.4.4 加权的不确定性推理2. 2. 组合证据不确定性的算法组合证据不确定性的算法若有若有CF(CF(E1) )，CF(CF(E2) )，CF( En)，则组合证，则组

30、合证据的可信度为：据的可信度为：1()( )()niiiCF ECF E3. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法当一条知识的当一条知识的CF(E)满足如下条件时，满足如下条件时，CF(E)该知识就可被应用。结论该知识就可被应用。结论H的可信度为：的可信度为：CF(H)=CF(H,E)CF(E)加权因子的引入不仅可以区分不同证据的重要性，加权因子的引入不仅可以区分不同证据的重要性，同时还可以解决同时还可以解决证据不全证据不全时的推理问题。时的推理问题。加权不确定性推理举例(1)例（王永庆教材例（王永庆教材 P181） 设有如下知识：设有如下知识：R1: IF E1(0.6) AND E2(0.

31、4) THEN E6(0.8,0.75)R2: IF E3(0.5) AND E4(0.3) AND E5(0.2) THEN E7(0.7,0.6)R3: IF E6(0.7) AND E7(0.3) THEN H(0.75,0.6)已知：已知：CF(E1)=0.9, CF(E2)=0.8, CF(E3)=0.7,CF(E4)=0.6, CF(E5)=0.5求：求：CF(H)=?解解：由由R1得到得到：CF(E1(0.6) AND E2(0.4)=0.861=0.75R1可被应用。可被应用。加权不确定性推理举例(2)由由R2得到得到：CF(E3(0.5) AND E4(0.3) AND E5

32、(0.2)0.632 =0.6R2可被应用。可被应用。0.860.63 R1先被应用。先被应用。由由R1得到：得到：CF(E6)=0.69由由R2得到：得到：CF(E7)=0.44由由R3得到得到：CF(E6(0.7) AND E7(0.3)=0.6153 =0.6R3可被应用可被应用,得到：得到：CF(H)=0.46即最终得到的结论即最终得到的结论H可信度为可信度为0.464.4.5 前提条件中带有可信度因子的不确定推理前提条件中带有可信度因子的不确定推理1. 知识不确定性的表示知识不确定性的表示IF E1(cf1) AND E2(cf2) ANDAND En(cfn) THEN H (CF

33、(H,E),)其中，其中，cfi子条件子条件Ei(i=1,2,n）的可信度。）的可信度。cfi在在0,1上取值，其上取值，其值由专家给出。值由专家给出。核心思想核心思想：知识的前提条件不一定为真，只要前提条件满足一：知识的前提条件不一定为真，只要前提条件满足一定的可信度，或具备一定的为真的可能性，就可以推出结论定的可信度，或具备一定的为真的可能性，就可以推出结论H。加入加权因子后得到：加入加权因子后得到：IF E1(cf1,1) AND E2(cf2,2) ANDAND En(cfn,n) THEN H (CF(H,E),)2. 证据不确定性的表示证据不确定性的表示证据证据Ei的可信度记为的可

34、信度记为cfi,其取值范围在其取值范围在0,1上。上。3. 不确定性匹配算法不确定性匹配算法不带加权因子的不确定性匹配算法：不带加权因子的不确定性匹配算法：知识：知识：IFE1(cf1) AND E2(cf2) ANDAND En(cfn) THEN H (CF(H,E),)条件：条件：E1(cf1)，E2(cf2)， En(cfn)匹配算法匹配算法： max0,cf1-cf1+max0,cf2-cf2+ max0,cfn-cfn带加权因子的不确定性匹配算法：带加权因子的不确定性匹配算法：知识：知识：IFE1(cf1,1) AND E2(cf2,2) ANDAND En(cfn,n) THEN

35、 H (CF(H,E),)匹配算法匹配算法：(1max0,cf1-cf1)+(2max0,cf2-cf2)+(nmax0,cfn-cfn) 4. 不确定性的传递算法不确定性的传递算法 不带加权因子时不带加权因子时：CF(H)=(1-max0,cf1-cf1)(1-max0,cf2-cf2)(1-max0,cfn-cfn)CF(H,E) 带加权因子时带加权因子时：CF(H)=(1(1-max0,cf1-f1)(2(1-max0,cf2-cf2)(n(1-max0,cfn-cfn)CF(H,E)基于可信度的不确定性推理方法的特点基于可信度的不确定性推理方法的特点优点：优点：简单、直观简单、直观。缺

36、点：缺点：可信度因子依赖于专家主观指定，没有统一、客观的尺可信度因子依赖于专家主观指定，没有统一、客观的尺度，容易产生片面性。度，容易产生片面性。随着推理延伸，可信度越来越不可靠，误差越来越大。随着推理延伸，可信度越来越不可靠，误差越来越大。当推理深度达到一定深度时，有可能出现推出的结论不当推理深度达到一定深度时，有可能出现推出的结论不再可信的情况。再可信的情况。4.5 证据理论证据理论证据理论是证据理论是A.P.Dempster于于1967年研究统计问题时首年研究统计问题时首先提出的，他给出了上、下限概率的概念及其合成规则，先提出的，他给出了上、下限概率的概念及其合成规则，第一次明确给出了第

37、一次明确给出了不满足可加性的概率不满足可加性的概率。Dempster的的学生学生G.Shafer把证据理论推广到更加一般的情形，并使把证据理论推广到更加一般的情形，并使之系统化、理论化。因此证据理论又称为之系统化、理论化。因此证据理论又称为D-S证据理论证据理论(The D-S theory of evidence)。1981年年J.A.Barnett把该理论引入专家系统，同年把该理论引入专家系统，同年J.Garvey等人用它实现了不确定性推理。等人用它实现了不确定性推理。该理论满足比概率论弱的公理，能够区分该理论满足比概率论弱的公理，能够区分“不确定不确定”与与“不知道不知道”的差异，并的差

38、异，并能处理由能处理由“不知道不知道”引起的不确引起的不确定性定性，具有较大的灵活性。，具有较大的灵活性。4.5.1 D-S理论证据理论是建立在一个非空集合证据理论是建立在一个非空集合D上的理论。上的理论。D为辨别框架为辨别框架(the frame of discernment)，它是关于某个问题域中，它是关于某个问题域中所有可能的答案组成的有限集合，并且这些问题相互排斥，所有可能的答案组成的有限集合，并且这些问题相互排斥，对于问题的描述是完备的。对于问题的描述是完备的。由由D的所有子集组成的集类的所有子集组成的集类 ，表示判断该问题正确答案，表示判断该问题正确答案的所有命题构成的集合。的所有

39、命题构成的集合。为了描述和处理不确定性，引入了概率分配函数为了描述和处理不确定性，引入了概率分配函数 (BPA, Basic Probability Assignment)，信任函数，信任函数(Belief Function)以及似然函数以及似然函数(Plausibility Function)等概念。等概念。2D1.概率分配函数概率分配函数 设设D为样本空间，领域内的命题都用为样本空间，领域内的命题都用D的子集表示，则概率的子集表示，则概率分配函数定义如下：分配函数定义如下：定义定义 设函数设函数M： 0，1， 满足满足M()0， 则称则称M是是 上的概率分配函数，上的概率分配函数，M(A)

40、称为称为A的基本概率数。的基本概率数。若子集若子集A满足满足M(A)0，则称，则称A为为焦元焦元 (focal element)。( )1ADM A2D2D对概率分配函数的说明对概率分配函数的说明概率分配函数的作用是把概率分配函数的作用是把D的任意一个子集的任意一个子集A都映射为都映射为0，1上的一个数上的一个数M(A)。当当A是是D的真子集时，的真子集时，M(A)表示对相应命题的精确信表示对相应命题的精确信度度。当度度。当A由多个元素组成时，由多个元素组成时，M(A)不包括对不包括对A的子的子集的精确信任度，而且也不知道该如何进行分配。当集的精确信任度，而且也不知道该如何进行分配。当AD时，

41、时，M(A)是对是对D的各子集进行基本可信度分配后的各子集进行基本可信度分配后剩下的部分，表示不知道如何分配这部分。剩下的部分，表示不知道如何分配这部分。概率分配函数不是概率。概率分配函数不是概率。2. 信任函数（Belief Function）定义定义 命题的信任函数命题的信任函数Bel： 0，1， 且满足且满足Bel函数也称为下限函数，函数也称为下限函数，Bel(A)表示对命题表示对命题A为真为真的信任程度。的信任程度。由信任函数和概率分配函数的定义，可以推出：由信任函数和概率分配函数的定义，可以推出：2D( )( ),BABel AM BAD ()()0()( )1BDBelMBel D

42、M B 3.似然函数(Plausibility Function)似然度函数又称为不可驳斥函数或上限函数似然度函数又称为不可驳斥函数或上限函数.定义定义 似然函数似然函数Pl： 0，1， 且满足且满足由于由于Bel(A)表示对表示对A为真的信任程度，所以为真的信任程度，所以Bel(A)表示对表示对A为真，即为真，即A为假的信任程度，由此为假的信任程度，由此Pl(A)表示对表示对A为非假的信任程度。为非假的信任程度。 2D( )1(),Pl ABelAAD 似然函数Pl (A)的另一种表达形式( )( )ABPl AM B 证明过程：证明过程：()()1()()1()()1()()1()ABAB

43、ABCAABEDP lAMBB elAMBB elAMBMCMBME 0()()ABP lAMB D此 推 导 中 ， 注 意 ： CB = 24.Bel(A)与Pl(A)的关系( )( )BABel AM B( )( )ABPl AM B 由上面两个公式可以看出，由上面两个公式可以看出，Bel(A)AV(match(B,D)AV(match(C,D)所以所以R1是当前首先被选用的知识。是当前首先被选用的知识。3. 按广义顺序关系排序按广义顺序关系排序由上例可得：由上例可得：match(A,D)=0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4match(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0

44、.1/0.8match(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5下面以下面以match(A,D)与与match(B,D)为例说明广义顺序排序的方法为例说明广义顺序排序的方法：首先用首先用match(B,D)的每一项分别与的每一项分别与match(A,D)的每一项进行比较。比的每一项进行比较。比较时较时D(ui)与与D(uj)中取其小者，中取其小者， A(ui)与与B(uj)按如下规则取值：按如下规则取值：若若A(ui)B(uj)则取则取“1”；若；若A(ui)0 ，则就认为，则就认为match(A,D)优于优于match(B,D) ，记为，记为match(A,D) match(B,D)

45、 。按这种方法，对按这种方法，对match(A,D)与与match(B,D)可以得到：可以得到：0.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/0+0.1/0=0.8/1+0.1/0由于由于1=0.80=0.1，所以得到：，所以得到：match(A,D) match(B,D)同理可得：同理可得：match(A,D) match(C,D)match(B,D) match(C,D)最后得到：最后得到：match(A,D) match(B,D)match(C,D) 由此可知由此可知R1应该是首先被选用的知识。应该是首先被选用的知识。4.6.4 模糊推理的基

46、本模式1. 模糊假言推理模糊假言推理知识：知识：IF x is A THEN y is B证据：证据：x is A-结论：结论：y is B对于复合条件有：对于复合条件有：知识：知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B证据：证据： x1 is A1 ， x2 is A2 ， ， xn is An-结论：结论： y is B2. 模糊拒取式推理模糊拒取式推理知识：IF x is A THEN y is B证据：y is B-结论：x is A知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not B-结论：x

47、is not A3. 模糊三段论推理模糊三段论推理 IF x is A THEN y is B IF y is B THEN z is C - IF x is A THEN z is C关于模糊推理方法的说明如何由模糊知识和模糊证据具体的推出模糊结论，如何由模糊知识和模糊证据具体的推出模糊结论，目前已经提出了多种方法。目前已经提出了多种方法。我们主要讨论扎德提出的方法我们主要讨论扎德提出的方法基于模糊关系的合基于模糊关系的合成推理成推理。基于模糊关系合成推理的基本思想基于模糊关系合成推理的基本思想：（1）根据）根据 知识：知识：IF x is A THEN y is B求出求出A与与B之间的模

48、糊关系之间的模糊关系R（2）将）将R与证据进行合成，求出结论与证据进行合成，求出结论4.6.5 简单模糊推理知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理。合成推理规则（扎德等提出）：对于知识IF x is A THEN y is B首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合成求出结论。 如果已知证据是x is A且A与A可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B：B=A R 如果已知证据是y is B且B与B可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A：A=R B构造模糊关系R1. 扎德方法扎德方法扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称为条件命题的算

49、术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。 设AF(U),BF(V)，其表示分别为用， 分别表示模糊集的笛卡儿乘积、并、交、补及有界和运算，则扎德把Rm和Ra分别定义为：( )/,( )/ABUVAuuBuu()()( )( )(1( )/( , )()()1(1( )( )/( , )mABAU VaABU VRA BA Vuvuu vRA VUBuvu v 例如例如 IF x is A THEN y is B对于模糊假言推理，若已知证据为对于模糊假言推理，若已知证据为x is A则：则：Bm=A RmBa=A Ra对于模糊拒取式推理，若已知证据为对于模糊拒取式推理，若已知证据为y i

50、s B则：则：Am=Rm BAa=Ra B扎德法推理举例例例 设设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5并设模糊知识及模糊证据分别为：并设模糊知识及模糊证据分别为： IF x is A THEN y is B x is A其中，其中，A的模糊集为：的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3则由模糊知识可分别得到则由模糊知识可分别得到Rm与与Ra：000.40.61000.40.610.50.50.50.50.50.50.50.911,111111111111111111111111111111maRRBm=A Rm =1,0.4,0.2,

51、0,0 =0.4,0.4,0.4,0.6,1Ba=A Ra=0.4,0.4,0.4,0.6,1若已知证据为若已知证据为:y is B,且且B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.5/4+0.3/5,则：则：Am=Rm B Aa=Ra B=0.5,0.6,0.6,0.6,0.6000.40.610.50.50.50.50.51111111111111110.2000.40.610.40.50.50.50.50.50.60.5,0.5,0.6,0.6,0.6111110.5111110.311111 2. Mamdani方法方法 IF x is A THEN y is B对于模糊假言推理，对于

52、模糊假言推理，Bc= A Rc对于模糊拒取式推理，对于模糊拒取式推理，Ac=Rc B( )( )/( , )cABU VRA Buvu v构造模糊关系R构造模糊关系R3. Mizumoto方法方法米祖莫托等人根据多值逻辑中计算米祖莫托等人根据多值逻辑中计算T(A B)的定义，提出的定义，提出了一组构造模糊关系的方法，分别记为了一组构造模糊关系的方法，分别记为Rs,Rg,Rsg,Rgs,Rgg,Rss等等。其定义分别为：等等。其定义分别为：( )( )/( , )1,( )( )( )( )0,( )( )( )( )/( , )1,( )( )( )( )( ),( )( )sABsU VsA

53、BABsABgABgU VgABABgBABRA VUBuvu vuvuvuvRA VUBuvu vuvuvvuv 例：例：设设 U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5 模糊知识：模糊知识： IF x is A THEN y is B 模糊证据：模糊证据： x is A 其中，其中，A的模糊集为：的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3Bs=A Rs=0.2,0.2,0.2,0.4,1Bg=A Rg=0.2,0.2,0.4,0.6,100001000.40.6100011000.411,1111111111111111111111111

54、11111sgRR各种模糊关系的性能分析前面给出了多种模糊关系的构造方法。前面给出了多种模糊关系的构造方法。可以看出，对于相同的知识和证据，如果可以看出，对于相同的知识和证据，如果使用不同的模糊关系进行推理，得到的结使用不同的模糊关系进行推理，得到的结论一般是不同的。论一般是不同的。这说明这些模糊关系在性能上存在差异。这说明这些模糊关系在性能上存在差异。各种模糊关系的性能分析比较模糊关系性能所依据的基本原则：比较模糊关系性能所依据的基本原则：原则原则1：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is A-结论：y is B原则原则2：知识：IF x is A THEN y is

55、 B证据：x is very A-结论：y is very By is B各种模糊关系的性能分析原则原则3：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is more or less A-结论：y is more or less By is B原则原则4：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is not A-结论：y is unknowny is not B以上四条原则以上四条原则1、2、3、4是针对模糊假言推理的。是针对模糊假言推理的。各种模糊关系的性能分析原则原则5：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not B-结论：x i

56、s not A原则原则6：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not very B-结论：x is not very A各种模糊关系的性能分析原则原则7：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not more or less B-结论：x is not more or less A原则原则8：知识：IF x is A THEN y is B证据： y is B-结论：x is unknown x is A以上四条原则以上四条原则5、6、7、8是针对模糊拒取式推理的。是针对模糊拒取式推理的。模糊关系评测实例设U=V=1,2,3,4,5,6,7

57、,8,9,10A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 （小）B=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10 （大）0000.20.40.60.81110.20.20.20.20.40.60.80.80.80.80.40.40.40.40.40.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.80.80.80.80.80.80.80.80.80.811111111111111111111111111111111111111111111111111mR0000.20.40.60.81110000.20.40

58、.60.80.80.80.80000.20.40.60.60.60.60.60000.20.40.40.40.40.40.40000.20.20.20.20.20.20.200000000000000000000000000000000000000000000000000cR000000011100000010000000010.2000000010.40.200000010.60.40.20001110.80.60.40.20001110.80.60.40.20001110.80.60.40.20001110.80.60.40.20001110.80.60.40.2000sgR0000000

59、111000000100000000100000000100000000100000011100000001110000000111000000011100000001110000000ssR根据基本概念扩充法基本概念扩充法，由A可得：very A=1,0.64,0.36,0.16,0.04,0,0,0,0,0more or less A=1,0.89,0.77,0.63,0.45,0,0,0,0,0not A=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1,1,1,1not very A=0,0.36,0.64,0.84,0.96,1,1,1,1,1not more or less A=0,0.

60、11,0.23,0.37,0.55,1,1,1,1,12( )/AUuu0.5( )/AUuu1( )/AUuu21( )/AUuu0.51( )/AUuu由由B可得：可得：very B=0,0,0,0.04,0.16,0.36,0.64,1,1,1more or less B=0,0,0,0.45,0.63,0.77,0.89,1,1,1not B=1,1,1,0.8,0.6,0.4,0.2,0,0,0not very B=1,1,1,0.96,0.84,0.64,0.36,0,0,0not more or less B=1,1,1,0.55,0.37,0.23,0.11,0,0,02( )