稳定球面腔的光束传播特

1、3.4 稳定球面腔的光束传播特性 共焦腔模式理论不仅能定量说明共焦腔震荡模本身的特性，更重要的是它能够被推广到一般稳定球面腔系统。本节将证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，而任何一个球面腔唯一地等价于一个共焦腔。处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。3.4.1 稳定球面腔的等价共焦腔一、一、将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由1 1、任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。等价的含义：二者有相同的行波场。以共焦腔模式空间分布，等价的含义：二

2、者有相同的行波场。以共焦腔模式空间分布，尤其是其等相面的分布规律为依据。尤其是其等相面的分布规律为依据。在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共焦场分布不受影响。原共焦场分布不受影响。由于任一共焦腔有无穷多个等相位面，由于任一共焦腔有无穷多个等相位面，因此可以用这种方法因此可以用这种方法逻辑地建立起逻辑地建立起无穷多个无穷多个新的谐振腔新的谐振腔稳定稳定腔腔。理解：若有焦理解：若有焦距为距为 f 的共焦的共焦腔腔, ,则其任意则其任意两等相面可构两等相面可构 成稳定腔成稳定腔. .共焦腔与稳定球面腔的等价性共焦腔与稳定球面

3、腔的等价性 证明证明任一对称共焦腔任一对称共焦腔( ( f )等价于无穷多个稳定球面腔等价于无穷多个稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价性共焦腔与稳定球面腔的等价性 焦距焦距f、中心在中心在z=0的对称共焦腔的对称共焦腔( (r， r ，l ）21,zzlrr,21 ( )的等价稳的等价稳定球面腔参数定球面腔参数( )为为rl122222212111)()()()(zzlzfzzrrzfzzrr f对称共焦腔焦距对称共焦腔焦距(唯一参数唯一参数) (因因 ) 等价稳定球面腔参数等价稳定球面腔参数, 等价稳定球面腔二镜至等价稳定球面腔二镜至z原点原点 (对称共焦腔中心对称共焦腔中心)距离距离(含符

4、号含符号). frrl2 21 lrr,2121,zzlr1r2共焦腔与稳定球面腔的等价性共焦腔与稳定球面腔的等价性 rllr1r2122222212111)()()()(zzlzfzzrrzfzzrr221212111fzzzfrlg222212221fzzzfrlg1021gg即放置在即放置在c c1 1、c c2 2处的反射镜构成稳定腔处的反射镜构成稳定腔利用类似的方法可以证明，放置在图中利用类似的方法可以证明，放置在图中c，c处或处或c，c处的的反射镜都将构成稳定腔即不同的处的的反射镜都将构成稳定腔即不同的z z1 1 对应着不同的对应着不同的 r(z1),不同的不同的 z2对应着不同

5、的对应着不同的 r(z2);曲率半径和腔长可变曲率半径和腔长可变, ,但作用不变但作用不变. . 2 2、 由任一稳定球面腔求等价对称共焦腔由任一稳定球面腔求等价对称共焦腔: : 如果一个球面满足稳定条件如果一个球面满足稳定条件, ,则可以找到则可以找到一个一个, ,而且也只而且也只能找到能找到一个共焦腔一个共焦腔, ,其行波场的某两个等相位面与给定球面腔其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两个镜面相重合的两个镜面相重合, ,从而从而, ,这两个腔的模式完全相同这两个腔的模式完全相同(1) 任一稳定球面腔（任一稳定球面腔（r1，r2 ， l）r2r1l等价于唯一的一个对称共焦腔等价于唯一的一

6、个对称共焦腔f. .r2r1lf =2l(2)(2)由稳定球面腔的由稳定球面腔的( ), ( ), 求出求出 ( ) ( )及等价对称共焦腔参及等价对称共焦腔参数数( ( f ) )为为 lrr,2121,zzlzzzfzrzfzr2122222111)(1 )(1 lrrlrlz22121lrrlrlz22112lrrlrrlrlrlf2212121(3-48)有了上述的等价性，对于任意的稳定球面有了上述的等价性，对于任意的稳定球面腔，我们可以通过研究与其对应的共焦腔腔，我们可以通过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。的特征模来研究它的模的性质。 可以证明，当可以证明，当 满足稳

7、定腔条件满足稳定腔条件 时，时，lrr,21 1021gg 0 z 0 0 212，则有zf3 3、对称稳定球面腔所等价的共焦腔参数、对称稳定球面腔所等价的共焦腔参数221lrrr稳定条件2)2(4)2()(4)(2(2)(2)(2)(2)(22221lrlflrlrllrlrlflrllrlzlrllrlz(3-48)变成对其它各种稳定球面腔,都可以用类似的方法来证明其等价共焦腔的存在.当z1、z2和f 求出后,等价共焦腔就唯一地确定下来了。4 4、平、平凹稳定腔等价的共焦腔参数凹稳定腔等价的共焦腔参数以r1 ，r2=r 代入（3-48），可得)(021lrlflzz说明平凹稳定腔等价的共焦

8、腔的中心就在平面镜上，当r=2l时，其等价的共焦腔的一个反射面与凹面镜重合。3.4.2 稳定球面腔的光束传播特性一、等效共焦腔的束腰半径和原球面腔镜面的基横模光束有一、等效共焦腔的束腰半径和原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径效截面半径 1、思路思路：由：由 r1 , r2 , l z1 , z2 , f ( 从而知道从而知道 )0 201fzz21,ss21ss非对称非对称(1) (1) 等效共焦腔的束腰半径等效共焦腔的束腰半径flllrrlrrlrlrlf2220212121并且412212121202lrrlrrlrlrl(2)(2)原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径原球面腔镜面的基横

9、模光束有效截面半径 220021122121212121)(1)(222zzlrrlrlzlrrlrlzlrrlrrlrlrlf412121222412112211)()()()(lrrlrllrrllrrlrllrrlss21ss非对称非对称共焦腔与稳定球面腔的等价性共焦腔与稳定球面腔的等价性 rllr1r2思路思路：将：将z1、z2、f代入等价代入等价共焦腔的单程相移函数共焦腔的单程相移函数谐振条件谐振条件谐振频率谐振频率mnq二、二、 谐振频率谐振频率 (1)方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的位相因子分别为：11111211, 0 , 0zfzftgnmfzkfz22122211

10、, 0 , 0zfzftgnmfzkfz(2)按谐振条件，单程总相移必须满足 ，则有： qzz12, 0 , 0, 0 , 0 qzfzftgzfzftgnmzzk221111211qzzffltgnml212112qggnml211cos12211cos112ggnmqlccmnq)2)(1(1)1 (2),(222nmlyxlkzyx(3) 圆形镜一般稳定腔的谐振频率 211cos112ggnmqlcmnq令 则 于是 021 gg2cos211gg124nmqlcmnq由此可见,共焦腔是一般稳定球面腔的一种特例. 解解:(1) 所求位置为所求位置为(1,0.8) 稳定 , 18 . 00

11、 8 . 01 , 11212211ggrlgrlgg1 g2 0.8 0 1 (1, 0.8) 5.例例: 平凹腔平凹腔 , , l=1m. (1)证明此腔稳定证明此腔稳定, 指出它在稳定图中位置指出它在稳定图中位置; (2)求等价对称共焦腔参数求等价对称共焦腔参数( ); (3)作平凹腔与等价对称共焦腔相对位置图作平凹腔与等价对称共焦腔相对位置图. 1rmr52 , , 21lrr (2)由由(3-48)得得 , 故故mfmzz2,1, 021 mflrr42 21 (3) 由可知由可知, 平凹腔平面镜平凹腔平面镜 位于等价共焦腔中心位于等价共焦腔中心.01 z1r01m-1m2m-2mz

12、r2 r2 r1 r1 l=2f l例例有一凹凸腔，腔长l30cm,两个反射镜的曲率半径大小分别为r150cm,r230cm,见下图。使用he-ne做激光工作物质。求:利用稳定性条件证明此腔为稳定腔；此腔产生的高斯光束焦参数；此腔产生的高斯光束的腰斑半径及腰位置此腔产生的高斯光束的远场发散角。解解: :共轴球面谐振腔的稳定性条件为：共轴球面谐振腔的稳定性条件为： 1021gg对于凹凸腔，由已知条件有：r150cm,r230cm2303011525030112211rlgrlg故 可见此腔为稳定腔154021gg此腔产生的高斯光束焦参数；其等价共焦腔的焦参数为：lrrlrrlrlrlf2212121代入各数值得 f = 15cm此腔产生的高斯光束的腰斑半径及腰位置he-ne激光器的波长cm4106328. 0腰斑半径 cmfw240107