仿射几何解析PPT学习教案

1、会计学1仿射几何解析仿射几何解析al一.两直线间的平行射影与仿射对应, a alllaa,A B C DaaaABCDaABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且 , ， ,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线的平行线交于，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为 T第1页/共32页ABCDa原象点： A,B,C,D 直线a上的点平行射影的方向：直线l透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射OlABCDa点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 )映象点：,A B C Da 直线上的点记透视仿射T： ,T AA T BB第2页/共32页2.仿射（或仿射变

2、换）：仿射是透视仿射链或平行射影链122 1nnTT TT T12,21,nnT TTT 表示透视仿射链，T表示仿射 （如图）1l2l1A3A2A1nAnA1B1C1D1a1na3a2ana3B2B1nBnB2C3C1nCnC2D3D1nDnD1nl第3页/共32页仿此，每一个对应点都可以这样表示。1122 111222nnnnnT AT TT TAT TTAA注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二 . 两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影： T aa T AA T BB T CC如图点A,B,C共

3、线a，则 共线,A B CagABCABCaal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴第4页/共32页平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透 视 仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：第5页/共32页定义1 仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点

4、的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：ACABCBC当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0第6页/共32页当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，当点 C 与点A重合时，当点 C 与点B重合时，当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1则点C称为分点，A,B 两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数ACACABCBCCB 例1经过点A(-3, 2)和B(6, 1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解:PBAP设)12,163(P(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在第7页/共32页定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线

5、段之比是仿射不变量.点P在直线x+3y-6=0上.11)( ABPABCABClAA =BB CC =CBBABCABCBCBBABCBCABCBCABCAC)()(CBAABC要证:DCBACDAB第8页/共32页ABCDABCEED证明:如图,作DE AC,=EDCA=DCEACDAE,则)(BEAEABAAEABCDAB)(AEBAEABEABADCBA简比是仿射不变量DCBACDAB定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数第9页/共32页gABCAB0A0A0B0B证明:设T为 到 的一个透视仿射,如图并且 AAT BBT则A

6、A =BB 01若AB g,=BAg,则显然成立.02若AB g,=BAg,=过A, , B , 分别引轴g的垂线AB垂足分别为,0A,0A,0B.0BCBAAB则由相似三角形得:CBCABBAA00BCACBBAA00BCACCBCA0000BBAABBAAKBBBBAAAA00000第10页/共32页定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形0102特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCCAB0C0Cg021CCABSABC002121CCABCCBASCBA kCCCCSSCBAABC00CBAABCkSS一般情形:如图C第11页/共32页对应三角形的三对

7、对应顶点都不在对应轴上,ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgABCXYZ由 的证明可得:01XZAYZBXYCCBASSSSAXZBYZCXYSkSkSk111)(1AXZBYZCXYSSSkABCSk1CBAABCkSSCBA第12页/共32页推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量第13页/共32页一.平面内的透视仿射设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .1T11l设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .2T12l则 11T BB21TAA 11TAA 2 1T TAA 2 1T

8、 T BB21TBBg1AA1BBAB1l2l设21TTTT将 上的点 A变换为其本身上的点AT将 上的点 B变换为其本身上的点Baa1a1第14页/共32页T将 上的点 变换为 上的点,将 上的直线 a 变换为 上的直线 ,即 T 保留同素性和接合性 .aT将 上的相交直线 a, b 变换为 上的相交直线 .,a bT将 上的平行直线 变换为 上的平行直线 . 和 的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性与不变量，称T为平面 到自身的透视仿射定理1平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定证明:设已知对应轴g与不在其上的一对对应点 为平面BAA,上任一已知点第15页/共32页定

9、理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形BAXABg 连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与 ,则AXAXA与 是一对对应直线过B引 的平行直线,与B对应的AA 点 就只能是这直线与 的交点.BXA 是唯一确定的.BAABgAB=ggoABBACC第16页/共32页证明:把ABC平移到 使顶点A落在 上,把平移看作A11CBA透视仿射的特例.记为1TABCA1B1CBC对应轴不存在,对应边互相平行再以直线 为透视轴,以1BACC1作为一对对应点确定一个透视仿射 .2T最后以 为对应轴 , 以 CABB1作为一对对应点确定一个透视仿射 3T111CBAAB

10、CTCBACBAT112CBACBAT13123TTTT 设T为仿射变换CBAABCT且第17页/共32页定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.任意三角形是仿射等价的.证明:存在性:设 是平面内不共线的任意三点.,1P,2P3P, 1P ,2P3P也是不共线的任意三点.存在一个仿射变换T使 3 , 2 , 1,iPPTii在平面内任意取一点P,设 交 于Q.PP132PP由定理2知.第18页/共32页1P2P3PQP1

11、P2P3PQQ P P唯一性:设存在另一个仿射 ,T 3 , 2 , 1iPPTii在平面内任意取一点P,设交PP132PP于Q PPT QQT PPT QQT TT,为仿射. 保持接合性且简比不变都在直线 上.QQ 与32PP且有:3232PQPQPP)(3232 PQPQPP)()(322 PQPPQPQQ 第19页/共32页对于平面上任意一点P,都有 )(PTPT完全相同和TTPQPQPP11 11PQPQPP)()(11PQPPQP PP QQ 作业:15P16. 1 ,15. 1第20页/共32页设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一

12、点 ，求 P的坐标（x,y）和 的坐标 之间的关系。 PP,x y仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为 T oo00,a bX轴上的单位点 的映象 的坐标为 11,0E11T EE11,a by轴上的单位点 的映象 的坐标为 20,1E22T EE22,a b设 P在坐标轴上 的正射影，且 ， 则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及 .由于T保留简比.则1,2P P22T PP11T PP12oE EE12oPPP12o E E E12o P P P第21页/共32页xyO1EE2EP(x,y)1P2P00(,)O a b111(,)Ea b222(,)Ea bE,Px y1P

13、2P1111OPO PxOEO E 2222OPO PyOEO E 11O PxO E 22O PyO E 第22页/共32页1112O PO PP PxO EyO E 0102001020 xax aay aaybx bby bb或者写为120120 xxyyxy 2121020110200aaaabbbb且因为 三点不共线， 三点不共线12,O E E12,O EE所以行列式不为O(1)(2)第23页/共32页定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系， 叫点 的仿射坐标，记为,x yP,Px y对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。例1求使点（0，0），（

14、1，1），（1，-1）分别变为点（2，3） ,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解: 7, 3,5 , 2,3 , 2,1, 1,1 , 1,0 , 0CBACBA分别代入仿射变换的代数表示式得:232221131211003002aaaaaa232221131211115112aaaaaa232221131211) 1(17) 1(13aaaaaa第24页/共32页, 2,21,21131211aaa3, 6, 4232221aaa仿射变换式为:36422121yxyyxx例2求仿射变换 的不变直线。71424xxyyxy 解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0cbaybaxbac

15、ybxa424701642121第25页/共32页ccbabbaaba424701402047cbababa）（或014121047631 ，不存在。但对应的直线，时，方程组恒有非零解当,001k022ba第26页/共32页032,23,3yxbcba不变直线为：时，方程组有非零解，当仿射变换的特例:000),0( ,. 12aaaaayyaxx位似变换：(3)0001),0( ,. 2aaaayyxxx轴上的均匀伸缩变换：04, 0,46yxcba不变直线为：时，方程组有非零解，当(4)第27页/共32页当a=1时,(4)式是恒同变换.01cossinsincos,cossin,sincos. 300yxyyxx动。运动变换：移与旋转之积统称为运运动：平移，旋转或平11001,. 4yyxxx轴的轴反射变换：关于(1,-2)(1,2)1ABOC第28页/共32页求使直线x=0, y=0, x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习:解:设所求的仿射变换为222111cybxaycybxax则有:)()(