第5章测量误差的基本知识

1、2021-7-17第5章测量误差的基本知识1测 量 学第第5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识2021-7-17第5章测量误差的基本知识2第第5 5章章 测量误差的基本知识 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 5.2 5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律 5.4 5.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 5.5 5.5 用观测值的改正数计算中误差用观测值的改正数计算中误差 2021-7-17第5章测量误差的基本知识35.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 一、一、 测量误差产生的原因测量误差产生的原因 测量误差的来源测量误差的来

2、源（1 1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2 2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3 3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等 三项又称为观测条件三项又称为观测条件 测量误差的表现形式测量误差的表现形式 测量误差（真误差测量误差（真误差 = =观测值观测值- -真值真值）Xl jiijllXl（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）2021-7-17第5章测量误差的基本知识4例：例： 误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差

3、l ld d 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 l lt t 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I I 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) ) 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 1.1.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。 ( (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校) )二、测量误差的分类二、测量误差的分类2021-7-17第5章

4、测量误差的基本知识52.2.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。 准确度准确度( (测量成果与真值的差异测量成果与真值的差异） 最或是值最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差测量平差（求解最或是值并评定精度）（求解最或是值并评定精度）几个概念几个概念: : 精（密）度精（密）度（观测值之间的离散程度）（观测值之间的离散程度）2021-7-17第5章测量

5、误差的基本知识6举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了9696个三角形的内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到100100个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。三、偶然误差的统计特性三、偶然误差的统计特性2021-7-17第5章测量误

6、差的基本知识7表表5-12021-7-17第5章测量误差的基本知识8用频率直方图表示的偶然误差统计：用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于逼近，对称于y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中各条形顶边中点连线经光滑后点连线经光滑后的曲线形状，表的曲线形状，表现出偶然误差的现出偶然误差的普遍规律普遍规律图5-1 误差统计直方图2021-7-17第5章测量误差的基本知

7、识9从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：然误差的四个特性： 特性特性(1)、(2)、(3)决定了特性决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性(1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多( (单峰性单峰性) )；(3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差

8、和负误差出现的机会相等( (对称性对称性) )；(4)(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 ( (抵偿性抵偿性) )： 0limlim21nnnnn2021-7-17第5章测量误差的基本知识10偶然误差的特性偶然误差的特性 1 1）有界性；）有界性； 2 2）单峰性；）单峰性； 3 3）对称性；）对称性； 4 4）抵偿性）抵偿性偶然误差是观测过程中各种偶然误差源偶然误差是观测过程中各种偶然误差源影响的总和。它是无法消除的：影响的总和。它是无法消除的：1 1）偶然误差的不可避免性；）偶然误差的不可避免性；2 2）偶然误差的随机

9、性；）偶然误差的随机性；3 3）观测次数的有限性。）观测次数的有限性。2021-7-17第5章测量误差的基本知识11一、中误差一、中误差5.2 5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准设对某一未知量设对某一未知量X X进行了进行了n n次等精度观测，其观次等精度观测，其观测值为测值为l l1, 1, l l2 2， l ln n，相应的真误差为，相应的真误差为1 1, ,2 2，n n i = li Xi = li X中误差的定义为：中误差的定义为：nm2021-7-17第5章测量误差的基本知识12例例 该段距离的真值为该段距离的真值为49.982m每个观测值的中误差都是每个观测值的中误差都是4.

10、7mm4.7mm2021-7-17第5章测量误差的基本知识13二、二、相对误差相对误差( (相对中误差相对中误差) ) 误差绝对值与观测量之比。误差绝对值与观测量之比。 当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。用分子为用分子为1 1的分数表示。的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 分母有效数字的取位及只舍不进规则分母有效数字的取位及只舍不进规则 K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较高。例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得：用钢尺丈量两段距离分别得S S1

11、1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：当观测误差与观测量的大小无关时就不当观测误差与观测量的大小无关时就不能采用相对误差。能采用相对误差。2021-7-17第5章测量误差的基本知识14三、容许误差三、容许误差( (极限误差极限误差) ) 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d 内的概内的概率

12、为：率为：demdfPm22221)()(误差出现在误差出现在K倍中误差区间内的倍中误差区间内的概率为：概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| | m)=0.683=68.3 P(| | 2m)=0.954=95.4 P(| | 3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍或三倍中误差作为容许误差，也称为限差：测量中，一般取两倍或三倍中误差作为容许误差，也称为限差：| 容容|=2|m|或或| 容容|=3|m|2

13、021-7-17第5章测量误差的基本知识15 一、倍数函数的中误差一、倍数函数的中误差 设有函数式设有函数式 (x为观测值，为观测值，K为为x的系数的系数) 全微分全微分 得中误差式得中误差式xxZmkmkmnixkZkxZ ),2, 1( 22例：量得例：量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =76mm 0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离D和中误差和中误差mD：d500:1m1 . 0m38m1 . 0mm100500 500 500 SmmddDlDD解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式5.3 误差传播定律误差传播定律 2021-7-17第5章

14、测量误差的基本知识16二、和或差函数的中误差二、和或差函数的中误差 函数式：函数式： 全微分：全微分： 中误差式：中误差式：yxZn),1,2,(i iiiyxz222ymxmZm0limnyxn顾及了，2021-7-17第5章测量误差的基本知识17特殊的，设特殊的，设 函数式：函数式： 全微分：全微分： 中误差式：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：当等精度观测时： 上式可写成：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定例：测定A、B间的高差间的高差 ，共连续测了，共连续测了9站。设测量站。设测量 每站高差的中误差每站高差的中误差 ，求总高

15、差，求总高差 的中的中 误差误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh2021-7-17第5章测量误差的基本知识18三、一般线性函数的中误差三、一般线性函数的中误差 设有函数式设有函数式 全微分全微分 中误差式中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数例：设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求求Z的中误差的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm3

16xdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：解：对上式全微分：由中误差式得：由中误差式得：2021-7-17第5章测量误差的基本知识19四、一般函数的中误差四、一般函数的中误差令令 的系数为的系数为 ，用观测值代入偏导数式，用观测值代入偏导数式， f fi i 为常量，为常量， (c)式为：式为：ixiixFf由于由于 和和 是一个很小的量，可代替上式中的是一个很小的量，可代替上式中的 和和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入代入(b)得得对对(a)全微分：全微分：nndxx

17、FdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：设有函数：),(21nxxxFZ为独立观测值为独立观测值ix设设 有真误差有真误差 ，函数，函数 也产生真误差也产生真误差ixixZ(a)5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律2021-7-17第5章测量误差的基本知识20)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对对Z观测观测了了k次，次，有有k个式个式(d)对对(d)式中的一个式子取平方：（式中的一个式子取平方：（i，j=1n且且ij）jijinnxxffxxffxxffxfx

18、fxf2223131212122222221212(e)对对K个个(e)式取总和：式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2021-7-17第5章测量误差的基本知识21njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以式两边除以K，得，得(g)式：式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：可忽略不计，则：前面各项前面各项Kx

19、fKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2021-7-17第5章测量误差的基本知识2222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(5-17)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。2021-7-17第5章测量误差的基本知识23 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤可以总结出求观测值函数中

20、误差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分（合并误差的同类对函数式求全微分（合并误差的同类项）；项）； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 2021-7-17第5章测量误差的基本知识24例：设测得圆的半径例：设测得圆的半径r r =1.465m，已知其，已知其中误差中误差m=0.002m，求其周长，求其周长l l及其中误及其中误差。差。解：解： l = 2rr=2*3.14*1.165 = 9.205m求全微分：求全微分：dl = 2dr f = 2应用误差传播定律应用误差传播定律 ml =2m r = 0.013m最后结果写成：最后结果

21、写成：l = 9.205m 0.013m误差传播定律的应用误差传播定律的应用2021-7-17第5章测量误差的基本知识25例例 在在ABC中直接观测中直接观测A、B，其中误，其中误差分别为差分别为mA=3，mB=4，求，求mC解：解：1列函数式列函数式 C = 180-A - B 2求全微分求全微分 dC = - dA dB即即f1 = -1，f2 = -13应用误差传播定律应用误差传播定律 mC =5 254)(3)(mmm222B2A2C2021-7-17第5章测量误差的基本知识26例例 已知倾斜距离及其中误差为已知倾斜距离及其中误差为L=500.05m,倾斜角及其中误差为倾斜角及其中误差

22、为=1530求水平距离求水平距离D及其中误差及其中误差mD0.048m )206265/30()1550(05. 015 )()()(m 1550 15 30.48* 22222222SinCosmDmLDSinLSinDCosCosLDmCosLDL，解2021-7-17第5章测量误差的基本知识27 观测值的算术平均值观测值的算术平均值( (最或是值最或是值) ) 用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即即:白塞尔公式白塞尔公式)5.4 5.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差2021-7-17第5章测量误差的基本知识28 一一. . 算术平

23、均值算术平均值 证明算术平均值为该量的最或是值：证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为设该量的真值为X，则各观测值的真误差为，则各观测值的真误差为 1 1= = 1 1- - X X 2 2= = 2 2- - X X n= = n- - X X对某未知量进行了对某未知量进行了n 次观测，得次观测，得n个观测值个观测值 1 1, , 2 2, n n, ,则该量的算术平均值为：则该量的算术平均值为：x= = 1 1+ + 2 2+ n n nn上式等号两边分别相加得和：上式等号两边分别相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 2021-7-17第5章测量误差的基本知识2

24、9当观测无限多次时：当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得得Xnlnlim两边除以两边除以n n：由由 lnX nlXn 当当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；量的真值；当当观测次数有限时，观测值的算术平均观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn2021-7-17第5章测量误差的基本知识30 函数式函数式 全微分全微分 中误差式中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1

25、211121221211222nnnnxmmmm二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差 由于等精度观测时，由于等精度观测时， ，代入上式：，代入上式： 得得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了差缩小了 倍。倍。 对某观测量进行多次观测对某观测量进行多次观测(多余观测多余观测)取平均，取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。是提高观测成果精度最有效的方法。2021-7-17第5章测量误差的基本知识31 式（式（5-195-19）表明，在相同的观测条件下，算术）表明，在相同的观测条件下，算术平均值

26、的中误差与观测次数的平方根成反比。平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。设当观测值的中误差设当观测值的中误差m m=1=1时，则算术平均值的中时，则算术平均值的中误差误差m mL L与观测次数与观测次数n n的关系如图的关系如图5.15.1所示。由图所示。由图中可以看出，随着观测次数的增加算术平均值中可以看出，随着观测次数的增加算术平均值的精度随之提高，的精度随之提高， 但当观测次数增加到一定但当观测次数增加到一定数值后算术平均值的精度数值后算术平均值的精度提高是很微小的。因此，提高是很微小的。因此，不能单靠增加观测次数来不能单靠增加观测次数来提高观测成果的精度，还提高观测成果的精度，还应设

27、法提高观测本身的精应设法提高观测本身的精度。度。2021-7-17第5章测量误差的基本知识325.5 5.5 用观测值的改正数计算中误差用观测值的改正数计算中误差 以算术平均以算术平均值为最或是值，值为最或是值，并据此计算各观并据此计算各观测值的改正数测值的改正数 v ，符合符合vv=min 的的“最小二乘原最小二乘原则则”。V Vi i = = L -L - i i (i=1,2,n)(i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：对上式取和：以以 代入：代入：通常用于计算检核通常用于计算检核L=L= n v v = =nL- - n n v v =n -=n - =0=0 v v = =0 0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则则即即 vvvv = = (x-(x- ) )2 2 =min=min=2=2 (x-(x- ) ) =0=0d d vvvv dx dx (x-(x- ) ) =0=0nx x- - =0=0 x x= = n2021-7-17第5章测量误差的基本知识33精度评定精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内