《理论力学》第十三章-达朗贝尔原理

1、HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS达朗贝尔原理达朗贝尔原理第十三章第十三章 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS达朗贝尔原理可将达朗贝尔原理可将动力学问题从形式上转动力学问题从形式上转化为静力学问题化为静力学问题，根据平衡的理论来求解。，根据平衡的理论来求解。也称动静法。适用于非自由质点、质点系、也称动静法。适用于非自由质点、质点系、刚体、变形体刚体、变形体HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING ME

2、CHANICSRFam 在惯性系中在惯性系中：此时物体的运动是绝对运动，质点此时物体的运动是绝对运动，质点系的绝对运动方程为系的绝对运动方程为惯性系中：惯性系中：IRRFFamF 0WFaam aHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS达朗贝尔原理将动力学加速度问题达朗贝尔原理将动力学加速度问题形形式上式上转换成静力学中的平衡问题，也转换成静力学中的平衡问题，也叫动静法叫动静法惯性系中：惯性系中：IRRFFamF 0WFaam 一、质点的达朗贝尔原理一、质点的达朗贝尔原理 NRmaFFF N0FFma 记记 amFI 称为质点

3、的惯性力，称为质点的惯性力，与加速度方向相反与加速度方向相反 则有则有 N0IFFFIF F NF RF M a HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS在质点运动的每一瞬时，如果在在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力质点上加上惯性力，则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。此此为达朗贝尔原理为达朗贝尔原理N0IFFF质点实际上做加速运动质点实际上做加速运动，平衡是指数学形式上的平衡。，平衡是指数学形式上的平衡。这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。这样可根据静力学

4、的平衡理论来求解动力学问题。采用直角坐标系采用直角坐标系，xmFIx ymFIy zmFIz 采用自然轴系采用自然轴系nInIamFamF HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSRFaamFR IF0 amFRamFI 0 IRFF如在质点上加上惯性力，则作用于质点上的如在质点上加上惯性力，则作用于质点上的“外力外力( (包括主动力与约束力包括主动力与约束力)+)+惯性力惯性力”构成平衡构成平衡力系力系 意义意义 加上惯性力后，将动力学问题转化为静力学问题加上惯性力后，将动力学问题转化为静力学问题注意注意 惯性力只是一个工具

5、。人为地加给质点，目惯性力只是一个工具。人为地加给质点，目的用静力学方法解决动力学问题的用静力学方法解决动力学问题1 1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 惯性力惯性力HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 iiiIamF 对任意一个质点对任意一个质点i 在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。 iRiiFam 0 iIiRFF则则显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。 对于一个质点系，对于一个质点系，

6、其上每一个质点加上惯性其上每一个质点加上惯性力力后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。解法同静力学一样。解法同静力学一样。平平衡衡条条件件 00000 IiNiiIiNiiFMFMFMFFFHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOAzy例例1 1：质量质量m、长度、长度l的均质杆，以匀角速度的均质杆，以匀角速度绕绕z轴轴转动，试求转动，试求角。角。 sinmldmaFdyI2 020 lIOxidFcossinlmgM d dF FI Img解：解：1. 1. 受力分析（画上杆所受外

7、力）；受力分析（画上杆所受外力）；2. 2. 运动分析（画上惯性力）；运动分析（画上惯性力）；为简便起见，取杆在为简便起见，取杆在yz平面内平面内 lgarccos223 3. 3. 建立平衡方程：建立平衡方程：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS2 2 刚体动力学中的达朗贝尔原理刚体动力学中的达朗贝尔原理 刚体为一个质点系，其上每一个刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性力后，成为一个分布力质点加上惯性力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外力构成平系，此力系应与刚体所受外力构成平衡力系。衡力系。 对于刚体，不必每

8、点列平衡方程，对于刚体，不必每点列平衡方程，而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩），），用简化后的惯性力系与外力构成平用简化后的惯性力系与外力构成平衡力系。衡力系。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSxyzriFIimioa一、刚体平动一、刚体平动aFIiim对任意质点对任意质点i 合力合力CimmaaFI合力作用位置合力作用位置arFrFriiiimIIrFI结论结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心 的惯性力的惯性力CmaFIIFrararCC

9、iimmHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS一、平动刚体惯性力系的简化一、平动刚体惯性力系的简化 amFiIi对任意质点对任意质点i 为同向平行力系为同向平行力系 因此惯性力的合力为因此惯性力的合力为过质心、大小过质心、大小为为 iCm ama 方向方向与加速度方向相反与加速度方向相反 amamamFFiiIiI质点系的惯性力质点系的惯性力设合力通过坐标为设合力通过坐标为x,y，z的点则的点则 ciiiiiiIiiIixmxmamaxmFxFxHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEE

10、RING MECHANICS二、刚体定轴转动二、刚体定轴转动( (一）刚体有与转一）刚体有与转轴垂直的对称面轴垂直的对称面 结论：可将空间可将空间惯性力系简化为惯性力系简化为在对称平面内的在对称平面内的力系（相当于将力系（相当于将刚体压扁到对称刚体压扁到对称平面内）平面内）xyzOFIin FIit FIjn FIjt ijllxyzOHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS二、定轴转动刚体惯性力系的简化二、定轴转动刚体惯性力系的简化 ( (转轴与刚体转轴与刚体质量质量对称面垂直对称面垂直) ) 可将空间惯性力系简化为在对称平

11、面内的力系可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系（相当于将刚体压扁到对称平面内）（相当于将刚体压扁到对称平面内）刚体质量刚体质量m, ,质心加速度质心加速度aC, ,角速度角速度, ,角加速度角加速度在垂直于对称面任一直线在垂直于对称面任一直线AB上的各点上的各点的加速度相等，它们的惯性力可以合的加速度相等，它们的惯性力可以合成为在对称面内的一个力成为在对称面内的一个力FIi，niIiIiIiFFamFMi是直线是直线AB上所有各点的质量之和。上所有各点的质量之和。这样，原来由刚体各质点的惯性力组这样，原来由刚体各质点的惯性力组成的成的空间力系空间力系，就可，就可简化为简化为在对称面在对称面

12、内的内的平面力系平面力系FIFIHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOii在对称面内向在对称面内向O点简化点简化主矢主矢IIiiiCFFm ama 主矩主矩 )(IiOIOFMMIiFIinF2iiOmJ 故定轴转动刚体惯性力系简化为：故定轴转动刚体惯性力系简化为：在对称平面内，转向在对称平面内，转向与角加速度方与角加速度方向相反向相反的惯性力偶的惯性力偶MIO=JO作用在转轴上，且与作用在转轴上，且与质心加速质心加速度方向相反度方向相反的惯性力的惯性力FI=maCCaIFMIOCOCaIFMIOCIiOFMiiiiiiO

13、mmM主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处点处HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS在对称面内向在对称面内向质心质心C简化简化主矢主矢ICFma 主矩主矩2OJm OC 2()OCJm OCJ ICIOIcFMMMOCaCInF IFMIOIFnCCOIIFMFMJ0ocFJIOocamJcO主矢和主矩作用在形心位置主矢和主矩作用在形心位置IFMICCCaHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS三、平面运动刚体惯

14、性力系的简化三、平面运动刚体惯性力系的简化 （运动平面与刚体对称平面平行）（运动平面与刚体对称平面平行）iiIiamF对质点对质点i 主矢主矢: :IiiCFmama 主矩主矩: :iCtiCnCiaaaaCaIitIinIicIiFFFF以以C为基点为基点iCIiFIinFIicFCaiCnaiCa iiiIitCICrrmFMM )(CJHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSICFma 惯性力系的简化：惯性力系的简化： 1.1.平动刚体平动刚体2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体( (转轴与刚体对称面垂直转轴与刚体对称面垂直

15、) ) OCaCInF ItF IFMIOICFma IOOMJ 主矢主矢: :主矩主矩: :ICFma ICCMJ 主矢主矢: :主矩主矩: :3.3.平面运动刚体平面运动刚体（运动平面与刚体对称平面平行）（运动平面与刚体对称平面平行）ICFma ICCMJ 主矢主矢: :主矩主矩: :或或惯性力通过刚体的质心惯性力通过刚体的质心注意质心加速度有法向与切向注意质心加速度有法向与切向HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS( (二）平面刚体二）平面刚体OiriFIinFIit向向O O点简化点简化主矢主矢CiiIamamF 主

16、矩主矩OiiiiOOJrrmFMM)(IIOFIMIO 若转轴过质心，则惯性力系若转轴过质心，则惯性力系简化的结果仅为一力偶，其矩简化的结果仅为一力偶，其矩与与角加速度方向相反角加速度方向相反，MIC=JCHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSaC三、刚体平面运动三、刚体平面运动 只考虑有对称平面，且对只考虑有对称平面，且对称平面与运动平面平行的情况称平面与运动平面平行的情况aC主矢主矢 CiiImaamF主矩主矩 CCIJM MICFIMICFI 另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此另外，定轴转动是平面运动的一个特例，

17、因此也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。CHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS练习：质量为质量为m，长，长l的均质杆的均质杆OA该瞬时角速度为零，该瞬时角速度为零，角加速度为角加速度为 ，试求将杆的惯性力系向，试求将杆的惯性力系向A点简化的结点简化的结果。果。O ACaCFIMICFIMIA向质心向质心C简化的结果简化的结果： 231mlJA CImaF CICJM 向杆端向杆端A简化的结果简化的结果：CImaF 226122mllmJlFMMCIICIA HOHAI UNIVERS

18、ITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例2: 约束均质杆（约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试端的绳索突然被剪断，试求此时杆的角加速度求此时杆的角加速度及及O处约束力。处约束力。COACOAac c1.1.运动分析运动分析2.2.受力分析受力分析CImaF CCIJM 注意加惯性力及惯性力偶注意加惯性力及惯性力偶FImgMICFOyFOx解：解：惯性力向质心简化惯性力向质心简化HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS3.3.平衡方程平衡方程）（2 0 mgmaFFCOyiy）

19、（3 0 OxixFFlg;mgF;FOyOx23410 COAMICFOyFOxFImg2/laC 4.4.补充方程补充方程 ）（ 1 02 lmgmaJMCCOi HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOA C例例3:3: 约束均质杆约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转端的绳索突然被剪断，试求杆转到任一位置时的角加速度到任一位置时的角加速度 、角速度角速度 及及O处约束力处约束力1.1.运动分析运动分析2.2.受力分析受力分析3.3.平衡方程平衡方程0cos22tlmglmaJMCCOi0cosmgmaFFCtOyi

20、y0sinmgmaFFCnOxixOA CaC aCnFImgMCIFOyFOxFInCCJMItt ICmaFnnICmaF 2l 2l22 l4.4.由动能定理计算由动能定理计算sin20212lmgJO解：解：外力只有重力外力只有重力HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例4:4: OB质量不计，质量不计，AB长长l、质量、质量m。试求绳。试求绳OA剪剪断瞬时断瞬时OB杆的内力杆的内力。COA450B1.运动分析FIymgMIFOBFIxCxxmaFICJM ICyymaFI2.受力分析主要是加惯性力及惯性力偶主要是

21、加惯性力及惯性力偶3.平衡方程02IIlmgFMMyBi045sinI0mgFFFyOBiy045cosI0 xOBixFFFacyCOA450BaCxaBaCBaB2222222 laaCyCx 4.补充方程解：解：联立可解。联立可解。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSABOC练习练习1：均质杆均质杆AB(m, l), A端被一个小环约束在半径为端被一个小环约束在半径为r的固的固定半圆形轨道上定半圆形轨道上,OA与水平线夹角与水平线夹角45,试求突然去掉试求突然去掉B处支座处支座瞬时瞬时,AB杆的角加速度及杆的角加速度

22、及A端受到的约束反力（不计摩擦）。端受到的约束反力（不计摩擦）。AOCaCxaCy aAaA CAa45cos45cos45costCACxCyaaamgFNFIyFIxMIC045sin045cos02NINIIIFFFmgFFFMlmgFMxixyiyCyAi解：解：联立可解。联立可解。4545HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例5:5: 已知均质圆柱形滚轮已知均质圆柱形滚轮重重P，半径为，半径为R，物块重，物块重W。试求作纯滚动的轮子中心的加速度。试求作纯滚动的轮子中心的加速度。gPWWaC384解：解：滚轮滚轮

23、 0202III RFRFMMC重物重物 001I1 WFFFy联立解得：联立解得：RaCI为基点则为基点则A122aaRaCA 滚轮与绳子切点滚轮与绳子切点处处A的加速度为的加速度为补充方程补充方程.F1=FHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS练习练习2 2： 质量质量m1、半径、半径r的均质圆的均质圆轮在质量轮在质量m2的楔块上纯滚动，楔的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度求楔块的加速度和圆轮的角加速度。解一：动力学方法解一：动力学方法CF F N

24、1m1gFFN1FN2m2gCAaAaCxaCy1.受力分析2.运动分析3.动力学方程cossin1N2FFamArFJFFgmamFFamCCyCxsincoscossin1N111N1HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSaear4.补充方程：raaaaACyCx 以以C为动点，动系固定在为动点，动系固定在A上上rarsincosraaraCyACx则而故投影练习练习2 2： 质量质量m1、半径、半径r的均质圆轮在质量的均质圆轮在质量m2的的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平

25、面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。解一：动力学方法解一：动力学方法CAaAaCxaCyCF F N1m1gFFN1FN2m2g以以I为基点为基点HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSm1gFI1rFI1eMIFN1FECC0 iEMCAaAaAar练习2： 质量质量m1、半径、半径r的均质圆轮在的均质圆轮在质量质量m2的楔块上纯滚动，楔块则被搁置的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。和圆轮的角加速度。解二：动静

26、法解二：动静法讨论：讨论：0cos11 rFrFMrIeIIC 2121mrJMCI AIeamF1 mramFrIr 1其中其中HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS整体受力图整体受力图0 ixFCAm1gFI1rFI1eMIm2gFN2FI20121 rIIeIFFF其中其中AIAeIamFamF2211 cos111rmamFrrI 0cos121 rmamamAAHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例6:6: 涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距

27、涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距e=0.5=0.5mm，已知轮重，已知轮重2 2kN，并以，并以60006000r/min的匀角速转的匀角速转动。设动。设h=1=1m，转动轴垂直于对称面，如图所示。试，转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。求止推轴承及环轴承处的反力。解：解：gWeF2I 为了简化计算，取质心为了简化计算，取质心C在在yz平面内，平面内，0BxAxixFFF0IFFFFByAyiy0WFFAziz02IFheWhFMByix0BxiyhFMHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS0BxA

28、xFFPAzFF)21(2gheFFPAy)21(2gheFFPBy解：解：kNFkNFkNFByAyAz20202例例6:6: 涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距e=0.5=0.5mm，已知轮重，已知轮重2 2kN，并以，并以60006000r/min的匀角速转的匀角速转动。设动。设h=1=1m，转动轴垂直于对称面，如图所示。试，转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。求止推轴承及环轴承处的反力。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 刚体对通过刚体对通过O点的两个互相垂直的轴的惯点的两个互相垂直的轴的惯性积定义为：性积定义为： iiizxxziiizyyziiiyxxyzxmIIyzmIIyxmII惯性主轴：如Ixy= = Ixz= 0= 0，称x轴为刚体在O点的一根主轴结论：1.刚体内任意一点，必存在三根相互垂直的主轴； 对称轴是轴上任意一点的一根主轴。 与对称面垂直的轴是“轴和面相交点”的主轴；2.称过质心的三根主轴为中心惯性主轴xyzyixiziM