函数思想应用教学案例研究

1、摘 要为了适应现代社会发展对于人才培养理念的转变，教育课程改革一直在持续不断的进行。数学课程作为重要的课程之一，属于重点的改革对象之一。故新一轮的数学课程改革从内容到实施，和之前的高中数学课程改革相比有很大的不同。那么要想有效的实现当前教育教学改革的目标，教学实施是主要的实现渠道，教学案例设计是当前较好实现教学目的和教学课程的重要前提，教学案例关系到教学活动的有效性。新课程实施需要通过教学案例设计来落实到课堂的教学之中。函数思想是数学思想之中最为基本的数学思想之一，该思想不仅是教学的重点，也是一些数学问题的重要思想。高中生进入高中阶段就要对函数知识进行学习，因函数知识结构具有抽象性，使得学生对

2、函数的学习是比较吃力的。然而又因为函数板块是高考之中的热点及难点所在，所以对于函数思想的学习、掌握和应用是非常重要的。随着新课标的普及及实施，高中数学课堂教学之中函数思想方法教学的重要性日渐突出。虽然函数思想抽象导致学生理解困难，但是因初中阶段的时候学生对函数已经有了一定认知，所以为了帮助学生们较好的去理解、掌握和应用函数思想，教师们必须重视函数思想在教学中的渗透和应用。因而，根据新课程教学理念的要求，让函数思想应用教学应激发学生的学习兴趣，让学生们意识到函数思想应用意识及能力的形成是重要的数学素养，基于上述教学意义，本文结构分成四个部分。第一部分，对于当前函数思想应用的背景及研究函数思想应用

3、的意义进行阐述，并通过对国内外学者们对函数思想的研究来把握函数思想研究的最新研究动态，进而发现对本文研究有价值的学术成果，从而为本文的研究奠定坚实的基础；第二部分，主要是对函数思想应用之中所需要明晰的概念及研究所建立的理论进行阐述，进而为下文的撰写提供思路和方法；第三部分，通过问卷调查法和进行分析后，发现当前教师们和学生们虽然意识到函数思想的重要性，但是对于教师们函数思想如何渗透和应用并不是非常清晰，导致函数思想并未被学生所掌握及积极去应用；第四部分，通过当前函数思想应用现状的分析，对自2017新课标实施以后的全国卷2的数学试卷发现函数思想考察的比例趋势上升，指出当前函数思想渗透的原则及有效途

4、径；第五部分，在结合上述的原则和途径对函数思想应用上设计具体的案例并进行实践检测测试该策略的效果，为教师们以后函数思想教学提供有益经验，进而实现函数思想被学生们充分应用的目标。关键词：函数思想；教学案例；高中函数；有效途径AbstractIn order to adapt to the development of modern society and change the concept of talent training， the reform of education curriculum has been continuously carried out. As one of the

5、 important courses， the mathematics curriculum is one of the key reform objects. Therefore， the new round of mathematics curriculum reform from content to implementation is very different from the previous high school mathematics curriculum reform. In order to effectively achieve the goals of the cu

6、rrent education and teaching reform， teaching implementation is the main channel of implementation， and teaching case design is an important prerequisite for achieving better teaching goals and teaching courses. Teaching cases are related to the effectiveness of teaching activities. The implementati

7、on of the new curriculum needs to be implemented into classroom teaching through teaching case design.Function thought is one of the most basic mathematical thoughts in mathematical thought. This thought is not only the focus of teaching， but also an important thought of some mathematical problems.

8、High school students need to learn about function knowledge when they enter the high school stage. Because the function knowledge structure is abstract， it makes students learning of functions more difficult. However， because the function block is the hot and difficult point in the college entrance

9、examination， it is very important to study， master and apply the function idea. With the popularization and implementation of the new curriculum standard， the importance of functional thinking method teaching in high school mathematics classroom teaching has become increasingly prominent. Although t

10、he abstraction of functional thoughts makes it difficult for students to understand， because students already have a certain understanding of functions when they are in junior high school， in order to help students better understand， master and apply functional thoughts， teachers must attach importa

11、nce to functional thoughts in teaching. Penetration and application. Therefore， according to the requirements of the new curriculum teaching philosophy， the application of functional thought teaching should stimulate students learning interest， and make students realize that the formation of functio

12、nal thought application consciousness and ability is an important mathematical literacy.Based on the above teaching significance， the structure of this article is divided into four parts. The first part expounds the current background of the application of functional thought and the significance of

13、studying the application of functional thought， and grasps the latest research trends of functional thought research through the study of functional thought by scholars at home and abroad， and then finds valuable research in this article. The academic achievements thus lay a solid foundation for the

14、 research of this article; the second part is mainly to explain the clear concepts and theories established in the research of the application of functional thought， and then to provide ideas and methods for the following writing; In the third part， after questionnaire survey and analysis， it is fou

15、nd that although teachers and students are aware of the importance of functional thinking， it is not very clear to teachers how to infiltrate and apply functional thinking， leading to the fact that functional thinking has not been adopted by students. Mastery and active application; In the fourth pa

16、rt， through the analysis of the current application status of function ideas， the proportion of the examination of function ideas in the national mathematics papers of Volume 2 after the implementation of the new curriculum standard in 2017 has increased. Principles and Effective Approaches; Part Fi

17、ve The above-mentioned principles and approaches to design specific case the function of ideological and practical application test to detect the effect of the policy， provide useful experience for the future teachers thought teaching function， so as to realize the objective function thought to be s

18、tudents of the full application.Key words: Function thought，Teaching case，High school function，Approach目 录摘 要IAbstractIII目 录V第一章 绪论11.1 研究背景11.2 研究意义21.3 国内外研究现状21.3.1国外研究现状21.3.2国内研究现状31.4 研究思路与研究方法3第二章 核心概念和理论基础52.1核心概念52.1.1函数52.1.2函数思想62.2 理论基础72.2.1认知主义学习理论72.2.2建构主义学习理论72.2.3 APOS理论8第三章 函数思想在高

19、中数学应用现状调查与分析113.1调查实施113.1.1 调查对象与目的113.1.2 调查方法113.2调查结果与分析123.2.1学生调查问卷分析123.2.2教师调查问卷分析163.3现状调查结果总结21第四章 高考试题分析与函数思想应用教学的有效途径224.1近年高考试题中函数思想考察的调查分析224.1.1高考大纲函数说明对比224.1.2 近年高考数学试题中的函数思想234.2 高中课堂教学中函数思想应用教学的有效途径244.2.1在教学中应用函数思想的原则244.2.2在教学中渗透函数思想的有效途径26第五章 函数思想渗透与应用的实验教学研究325.1函数思想应用的教学案例设计3

20、25.1.1教学前准备325.1.2教学过程展示335.2 函数思想应用的实践教学研究355.2.1 实验目的355.2.2 实验准备355.2.3 实验设计355.2.4 实验变量365.2.5 实验过程365.2.6 结果分析36第六章 结论与展望38参考文献40附 录42附录1 函数思想学习情况调查问卷（学生调查问卷）42附录2 函数思想教学情况调查问卷（教师调查问卷）44附录3 实验班成绩测试表46附录4 对照班成绩测试表47攻读硕士学位期间发表的主要科研成果48后 记49VII第一章 绪论1.1 研究背景伴随着我国新课改的深入实施与应用，传统化的教学理念和方式已经远远不能满足当下学生

21、自主的学习需求，更不能彰显出时代的发展特点，这样就对教师队伍的教学模式提出了新的挑战，广大教师也要在新的课改过程中，逐渐转变教学观念。在教学观念的转型上，主要包括了下面几个方面重要内容：（1）通过以高中的发展方向为目标，用就业的目标作为教学的实施基础；（2）大力发挥学生的主动性和能动性，不断提高其学习和实践动手能力，能够引领学生很好参与到教学实践，并通过角色的扮演，使得学生可以主动积极的加入到数学的知识学习，并且深入探究，从而提高高中数学课堂的质量1。数学思想是当今人类思想文化宝库之中的瑰宝，对于数学教育具有指导意义2。新课程改革的目的之一就是推行素质教育，素质教育就是强调学生不仅要掌握好自己

22、的所学的知识，更要从中获取一定的能力，那么通过数学思想的学习及应用，能够培养出严谨的理性思维能力。故在教育部门撰写新课标的要求上，提出教学要能够依托学生为主体。特别是初中升入高中阶段的学生，大多数在数学基础方面都比较薄弱，这是使得高中教师在教学的质量上要有新的目标与要求，并在教学的过程中，要能够对学生的自信心加强和创新思维能力提高做到很好的培养，在实际中，为学生开拓出新课标形式下的高中教学思路，从根本上达到高中数学的教学目的。 作为基础性的重要学科，数学知识的掌握是每一个人必需所具有的技能，不可缺少3。这种不可缺失的表现，不仅仅是每一个人对数学知识的掌握内容多少，更重要的是一个人从数学知识学习

23、过程中汲取的数学思想方法有多少，从而在思维上进行不断地强化，使得自己成为新时期的全能人才。在新课标下，高考作为选拔考试，在考察的内容上，一方面要能够对学生的数学认识能力进行全方位考察，另一方面，更要去考察学生对于数学本质认识、应用程度，包括了数学的应用思想内容。在新课标的背景下，高考的命题考察在核心上已经转变为能力考察。数学核心内容之一就是函数，这也是中学阶段的重要学习内容之一，要能够让学生从本质上了解函数，从而寻找出方程的指导思想，进一步提升实际解决能力。1.2 研究意义通过对高中阶段函数思想方法教学现状的调查及结果分析，发现其教学过程中现状，针对现状，结合具体教学案例，提出切实可行的教学建

24、议，提高教师对函数思想方法的重视程度，丰富教师与函数与方程思想方法部分相关的教学理论知识，提高教师对其进行有效渗透的教学技能，提高涉及函数思想方法的相关课程的授课效率，为师生全面且深入地理解、学习和掌握函数思想方法提供参考。 理论意义：本研究是对普通高中数学函数思想方法教学进行的一次深层次研究，丰富了函数思想方法在教学方面的理论研究，也丰富了数学思想方法教学的理论研究。能够引发更多学者对函数思想方法以及其他数学思想方法在教学方面的思考，从更多角度对其进行深入研究。实践意义：本研究有助于加强教师对函数思想方法教学的重视程度，帮助教师明确函数思想方法教学过程中存在的问题。通过有效的教学途径部分参考

25、案例帮助教师优化教学设计，增强高中数学教学中函数思想方法的渗透程度，提高相关课程的课堂授课效率。同时也有助于教师帮助学生提高运用函数思想方法的意识与能力，完善对函数思想方法以及数学学科的整体认知结构，在学习过程中提高数学素养，训练理性思维。1.3 国内外研究现状1.3.1国外研究现状历史表明，经历了数学家们近百年的倡导和努力，在克莱因和贝利倡导的数学教育改革运动后，函数概念才成了当今各国学生必学的数学内容。全美数学教师理事会（2000）在制定代数部分的标准时，就已经提出“理解模式、关系以及函数”，该标准中提出从学前阶段都有对函数的要求。足以显示美国在课程安排上对函数部分的重视程度4。德赖弗斯和

26、维纳（Vinner，S.&Dreyfus）对一些大学生和教师进行调查，最后结论显示当把函数定义传授给学生时，多数学生能够从函数性质中得到一些经验，这些经验促使学生形成各自独有的函数概念表象5。日本学者矶田认为学生在学习函数概念时，可以划分为日常语言、算法、代数与几何、微积分以及分析五个水平。在第一个水平他提到学生接触函数概念是从现实生活中获取，并且可以用简单的语言解释变量之间的关系6。国外研究表明，函数是一直以来受到数学家所钟爱的概念内容，在其形成之后，就进入到了中学的教材。因为函数有着很厚实的历史发展性，这就使得在大多数的自然学科上，都要通过函数进行分配，在国外关于函数的研究主要体现在一些教

27、学过程中，大多数的学生对变量的认识是变化的，常量的认识也是经常的，变量也会有受到制约，常量也会变这个问题会有一定的疑惑，所以要能够研究常量和变量的道理。这也正是唯物论中的发展观7。1.3.2国内研究现状高青提出了在数列方向对函数观点的认识，然后从函数的视角进行了对数列前n项和的增减性探讨，包括了最值和一些周期性问题8。申军浩则对函数和数列之间进行了系列的转化，从中分析了关于数列的周期和单调性等9。肖浩春则是先对数列的定义和通项公式与各种函数之间的密切联系进行了研究，找出来相关教学方式10。崔竞分析到：对于函数的思想来说，存在整个的中学教学内容，有着很重要的指导作用，主要就是从函数的基本思想进行

28、对课改前后的知识进行了研究，并且分析了怎样去掌握方法。还对函数的思想进行了横向研究，与其他进行了结合11。张静指出了在高中阶段，函数是学习的重点内容，在教学学家看来，函数以及函数的思想是整个数学教学的标准，在高中阶段的数学思想是一个重要的部分内容，对于函数思想来说，有着很重要的枢纽作用，在实践中，函数的思想要融入到数学的模型中来，让学生更加学会函数思想和其他内容的有效结合，提升解决问题能力12。王卫生指出，高中时期的数学函数思想学习是整个学习阶段的主线内容，在内容上也比较广泛，在文中，通过用变量去构建一种数学模型，使其有了函数思想，进而能够形成新的思维方式理念；在函数模型下提高创新与独立性13

29、。廖佛成提出，数列的定义，是正整数的集合函数，通过函数的性质和思想方法能够有效解决数列的一些突出性问题14。李红保提出，在中学的学习阶段，函数的学习要放在突出的位置，函数思想不仅仅是数学的学习方法，同样也能够和其他学科做到联系，比如生物学裂变，物理中的自由落体章节，函数都和这些有着很密切的知识联系，所以函数的学习是非常重要的内容15。1.4 研究思路与研究方法本文的研究方向就是在理论和实践的基础下进行的相结合方法，主要的目的就是不断对高中生的函数运用思想进行探究分析，从而对目前的现状以及存在的各种问题进行研究，在国内外现状研究的基础上通过问卷调查得出解决措施，进而把数学思想能够有效运用到实践教

30、学之中，做到理论和实践相结合。故在研究的过程中采用了文献分析方法和问卷调查方法，具体如下：文献分析方法。主要就是在万维与中国知网等网站、维普与电子文献库等资源进行检索，找出相关的函数思想研究的文献，为论文的写作与构思提供了有效的支持。与此同时，在学校的图书馆等借阅了相关的书籍进行了参考，主要的书籍就是函数思想的应用和高中数学函数思想的应用，相关的学术杂刊和图书等。通过阅读了相关的书籍，并且亲自抄写与摘录，形成了笔记等大纲内容。问卷调查方法。该方法主要就是能够保证在数据问卷的客观真实性，降低学生的心理负担，在问卷上通过不记名实施。在问卷的内容上，主要就是教材中的各项内容以及相关的研究目的，形成系

31、列的问卷题目内容。长春市NA县第十中学高三年级的学生及及教师进行问卷调查，根据学生问卷填写结果对高中数学当中的函数思想及其应用加以了解。第二章 核心概念和理论基础2.1核心概念2.1.1函数Function一词是由来自于德国的数学家Leibniz在1673年编写的手稿中提出的，指的是只要曲线上发生任意一点的变化便能够引起横纵坐标之上的其它切线上的变量发生变化16。贝努力（1718）重新定义了函数的概念，其表示函数指的是变量X与常数同时存在于一个式子中。欧拉（1755）首次对函数变量的定义进行了解释，其表示函数变量指的是由于一些变量的影响导致某一产量产生了改变，且自身也发生了一系列改变，那么后者

32、便可称之为前者函数，该定义得到了大众的认可，我国初中数学至今为止依然沿用的是该定义17。学者黎曼于1851年解释了函数的概念，在其看来函数指的是若一个变量Z的任意一个值发生变化，就会有一个未知变量W因其变化而变化，那么就可认定为W与Z为函数关系18。我国高中数学阶段定义函数仍然使用的是此概念。到了1939年在布尔巴基学派提出在描述函数的定义时需突出关系的地位，因此以笛卡儿积理论为基础，即如果有两个集合，分别用X、Y来表示，两个合集的笛卡尔儿积可用集合（x，y）xX，yY）来表示，其中笛卡儿积的子集F叫做X与Y之间的一种关系。若关系F满足以下关系：若任意一个xX，那么就会存在唯一的一个Y，并且（

33、x，y）F，此种情况下F就是一个函数19，该定义适用于我国高校教材与美国部分中学教材。普遍来说，上述定义可界定为变量说、对应该说以及关系说。在东北师范大学学者史宁中看来，可用“研究关系”四个字来高度概括函数的中心思想，函数本质上主要对数量关系、随机关系以及图形关系等展开研究20。函数属于数学模型的重要组成部分，其体现了变量之间相互依存的关系。若细化函数定义，其属于在某种特定法则的影响下，一个变量因另一变量的改变而发生了变化。函数分类依据为变量变化的具体特征。数学研究中函数属于热门问题之一，存在于众多数学问题当中，常见的有随机变量、方程式以及算法等等。2.1.2函数思想思想的具体含义。站在哲学的

34、角度，可从两个方面理解思想，分别是观念和与感性认知相对的理性认知结果。概念联系并不是思想的唯一体现，其能够表明存在事物的本质、规律的产生原理以及观点理论等21。对于数学思想，学者们的认识都不统一，钱佩玲认为，研究数学思想必须建立在掌握数学知识本质的基础之上，在深入认识某些特定的数学内容与数学知识的基础上对数学观点进行提炼与总结，人们在认识过程中能够多次应用，它的指导意义是普遍的，可以通过数学思想更好地解决数学问题22。学者涂荣豹提出，数学思想实际上是需要本质性与概括性地认识数学对象、概念、结构以及方法等。23在众多的数学思想中，函数思想是最基础的，对于数学学科而言，函数思想通常被用于研究和分析

35、生活中因运动而产生变化的数量关系，对研究对象抽象化，从而找到或构建起函数关系或建立起函数，以函数的图像与性质对问题进行分析与转化，将问题简单化后便于处理。史宁中教授认为函数思想的本质为在不同变量之间搭建起关联性，并对此关联性进行探讨，而后其还将该观点发表至其文章义务教育数学课程标准解读（2011）当中。刘加霞学者指出函数思想中具有多种思想类型，包括结构化思想、有序思想和预测思想等等。函数思想能够准确地提炼出事物运动与变化的内在规律，并将不同事物之间的相互联系总结出来24。整体而言，函数思想需要在纷繁复杂的变化中找到“不变”，并在纷繁复杂的变化中总结出规律。函数思想的本质是对数学问题中的联系与变

36、化进行总结，从而使被研究的数学对象变得明确，在系统的总结数学对象的数学特征之后，搭建起了数学对象之间的函数关系。我国教育机构要求高中阶段学习必须掌握有关函数的相关知识，包括一次函数、三角函数和指数函数等等，与之相关的单调性、周期性和奇偶性等函数特征也必须全面的掌握，由此可以看出，高中阶段学生必须掌握有关函数思想的相关知识，这在高中数学学习中占有非常重要的地位。函数思想的主要表现包括：第一，通过函数思想需认识到联系的普遍性，不同变量之间是相互依赖、密不可分的。第二，函数思想具有模式化的特征，需在纷繁复杂的变化中总结出规律。第三，通过总结出的规律提炼出有序、结构化以及对称的思想。第四，要认识到变化

37、的节奏时快时慢，在某些时候变化的节奏是一成不变，而有些时候变化的节奏并不稳定。第五，依托规律对未来的发展态势进行预测，也就是说函数思想具有预测的功能。2.2 理论基础2.2.1认知主义学习理论此理论主要研究的是内部在受到个体环境刺激后产生的变化，外部变化并不在此研究范围当中。由于不同理论的哲学观点切入点存在差异，因此该理论与行为学主义理论提出的观点往往存在差异，时常还会形成对立关系。可将认知学习理论按照研究者、研究办法以及时间等因素划分为两部分：第一部分为早期认知理论，代表学说主要有“顿悟说”和“期待说”；第二部分为现代认知理论，代表学说主要有“发现说”和认知学习理论25。在认知派学习理论者看

38、来，学习并不能一蹴而就，是个体对知识结构认知并改组的一个缓慢过程。也是有机体在现有认知知识的基础之上充分认识和了解事物之间的关联，并将重点放在知识结构的理解和拓展之上，让学员能够主动且积极的参加学习，从而提高学习效率。2.2.2建构主义学习理论来自瑞士的具有知名度的心理学家让皮亚杰在认识发展领域取得了显著的成绩，构建主义理论是由其率先提出来的，在他看来，周围环境对人对外界认识的形成极为重要，该过程并非一蹴而就，而是需要一个过程，这样才能在自身结构与层面的认识上有所突破26。“顺应”与“同化”是两大基本过程，能够促使认知个体与周边环境建立起平衡的关系，从而对人与环境之间的相互作用产生影响。有机体

39、对现掌握的图式进行拆解和重新组合，便可以达到全新认知平衡的目的。如果现有的图式无法与新掌握的知识进行同化，那么认知平衡便会被打破，只有对原有的图式进行改变或生成新的图式，新的平衡才会形成。人类在建立知识结构过程中的部分动力主要来自同化与顺应，建立平衡，而后将其打破后再次建立，本身是一个循环的认知过程。基于此，人的认知结构得以不断发展和完善。鉴于此，应将搭建学习环境和理论的数学模型进行总结，也就是教师主导课堂，担任教学主体讲解知识，调解课堂氛围，让学生能够在学习过程中做到相互配合，在良好的环境中主动学习，并明白学习的重要性和必要性。按照架构主义学习理论的核心思想，学习的关键在于学习主体与学习材料

40、之间频繁互动，发挥自身的主观能动性，进而完成知识的构建。学习过程的特征包括：经验性：学习主体依托自己已建立的学习结构对新知识进行加工，并非把来自外界的知识直接接入大脑。探究性：学习者在学习过程中积极发挥自身的主观能动性，采取主动观察、亲自动手操作、交流探讨等多种形式，以比对、分类等多种方式完成知识的构建，从而建立起属于自己的知识架构，此种方法需要学习者发挥自身的积极性，如果只是被动学习，将无法学到知识。情景性学习：建立起相应的问题情境，从而完成所学内容的意义构建，在一定的情境中，学习者能够获得一种身临其境的感觉，使学习变得更加真实，从而调动学习者积极探究的个性，并且学习者通过自己的努力与探究，

41、针对外部环境积极反应，更好地完成新知识的意义构建，也能进一步改造与升级现有的知识。数学的抽象性特征决定了学习数学本身属于建构过程，在学习数学概念时，从纵向角度出发可发现该过程分为多级，初级为无定义或以现实模型为依据的初级，经过发展之后，在初级概念的基础上得出来多层次概念结构的具体含义；从横向的角度出发理解数学抽象性，可发现在数学概念的学习中可借助“同态”和“对立”等方法，并在此基础上延伸学习。学习数学的基础为理解数学概念，是建构活动的初级，也可将其理解为认知个体的一种办法和认知事实结构的固定点，并在此基础上建立与其它认知结构的关系。认知过程中的同化阶段和顺应阶段是形成和发展内部网络的必经过程，

42、也就是说必须要经过认知建构这一阶段。相对来说，在建构知识过程中，解决问题属于高级知识建构，解决数学问题要求个体必须具有独立认知结构的基本能力，并在此基础上对问题进行表征、选取解决问题办法、思维调整，最后构建出全新的图式，培养解决问题的能力，也就是用自己的方式来搭建全新的认知结构27。2.2.3 APOS理论美国大部分高校在20世纪末期开始了对课堂教学模式的改革之路，先后建立起范例教学、交互式教学以及小组合作学习等多种课堂教学模式，在师生、学习伙伴与学习资源充分交互的基础上，为学生更好地培养知识发展能力提供帮助。后来的事实表明，重在培养学生创新能力的课程教学模式使教学目标、学习方式变得更加丰富，

43、学习过程也更有个性，能够促使学生利用自己所掌握的知识解决实际问题，对培养团队协作能力、提高学习者主动学习与独立研究能力也有一定的促进作用。基于此，APOS理论的由来自于美国的杜宾斯基等教育学家提出的，知名度较高。杜宾斯基在发表的著作高等数学思维当中，解释了该理论的具体含义。其表示，个人独自学习数学概念并对其进行了解难度较大，如果个人在数学概念学习方面理解能力较强，则就能学习到数学概念。反之，若一个人的心智结构还未构建起来，则这个人将无法正常学习数学概念，所以老师开展教学活动是为了促使学生建立起相应的心智结构。据此，杜宾斯基为高校学生学习微积分、离散数学知识、抽象群、子群、陪集、商群等代数概念提

44、供了较大的帮助28。杜宾斯基提出的观点实质上是指一个数学教育理论需重点关注学生以什么样的方式展开学习以及老师采用何种教学计划才能为学生学习提供更大的帮助，而不是局限于阐述部分简单的事务。APOS理论中提到的一项基本假设，即个体在解决数学问题过程中往往会掌握与其相关的数学知识，首先个体需从心理活动、解决问题过程以及数学对象等方面构建起数学结构，而后在对问题进行理解时以图式的方式将问题一一呈现。杜宾斯基等教育学家表示，APOS理论是建立在皮亚杰提出的“反思性抽象”理论的基础之上的，是该理论的延伸29。APOS理论中认为构建心智机构是个体学习数学概念的前提条件，要搭建起心智结构往往需要经历以下几个阶

45、段：第一阶段，活动、操作。前者指的是学者对学习过程中循序渐进地发布外显性指令的基础上对一个实际存在的数学对象进行改变。数学教学主要涉及数学活动，数学认识的前提与基础是操作运算。学生与数学家都需要投入一定的精力，在亲自实践的基础上掌握知识，对比生物、化学等需要进行观察的学科而言在实践性方面存在差异，然而学习数学同样需要实际和内心的操作，内心操作也就是思想实验，一旦缺乏物力与心理操作，数学概念将不复存在。反省抽象是绝大部分数学概念形成的基础，而操作活动是反省与被反省的重要前提条件。第二阶段：过程。此阶段当中个体历经了多次重复学习而对知识十分熟悉，因此可将物理操作过程理解为从心理上认知过程的一类操作

46、，个体经历过此阶段之后便可将其与之前的活动产生关联，在外部刺激作用下，个体在不需要具体操作的情况下在大脑中即可完成整个任务，若掌握足够熟练，个体还能够在大脑中将该操作与其它操作联系起来或者进行逆转等等。第三阶段：对象。若个体将该过程视为一个整体加以操作和转换，则该过程将成为个体的一种心理对象，此时个体能够在操控对象的基础上开展多种形式的数学运算。如果需要，看对对象包含的过程步骤进行全面呈现。举例来说，把正弦函数的对应过程视为整体后，以此为基础创建正弦函数对象的心理结构，便可将定义域、值域等多种性质进行指明，也能将其作为具体的对象全面参与函数的运算过程。因此就对象的概念而言，其将某个层次与更高一

47、级的层次有机地联系在一起，它不仅可以对其他对象进行操作，也能成为高层次运算的操作对象。只要将概念视为对象，便能够以静态结构关系呈现出具体的过程，随后再生成为一个实体，便于对其性质进行全面把握，最终形成了一个完成的理解过程。第四阶段：图式。此阶段当中个体整合了三类学习常态即活动、对象和过程以及与其相关的图式，并在此基础上精准的衍生出全新的图式结构，能够将其运用到实际的解决问题当中。因此，可将数学概念“图式”理解为认知对象、活动、过程以及与三个常态相关图式并组合成一个框架的过程，图式表现出来的特征以及作用能够决定刺激源与该图式之间的关系以及后期发生的反应。从图2.1可以看出，在杜宾斯基看来，学习数

48、学过程中应认识到活动、对象和过程属于三类数学常态，图2.1正是以三类常态为基础而搭建出的认知结构。表面上看四者属于不同等级，实质上认知和理解数学概念是循环的，并不是呈线性的。过 程活 动对 象协 调反 演图2.1 APOS循环图第三章 函数思想在高中数学应用现状调查与分析3.1调查实施3.1.1 调查对象与目的为方便调查，且保证调查的时效性和准确性。本文中的调查对象就选择了笔者当前执教的长春市农安县第十中学的教师和学生，该校是一所县级重点中学，在本区域内具有较强的影响力，生源相对其他的中学好很多，因而学生的学习成绩及能力相对其他中学学生学习成绩及能力方面比较高，那么作为样本也具有较强的说服力和

49、代表性。为了确保调查的真实性，在调查对象之中重点选择了高中三个年级之中每个班级的学习成绩排名在10名到60名的学生，分别从三个年级任意选择两个年级共6个班级300名学生作为调查对象。此外，选择本校高中三个年级各6名数据教师，共计18名教师作为调查的教师对象。之所以这样的进行调查，主要是为最大程度上确保本次的调查样本符合调查问卷方法的基本要求，最大程度上确保调查的真实性和有效性，根据本文的研究思路，本次调查的目的有两个：第一，采用问卷形式让所有调查对象采用填写问卷，通过问卷反映的情况了解到当前高中生应用函数思想的现状；第二，简单依靠学生们的问卷反映情况不能全面对学生函数思想掌握、应用方面的真实情

50、况，故通过教师们问卷了解到在教师们教学之中对函数思想的渗透情况，及学生对函数思想掌握、应用的情况。3.1.2 调查方法本次采用的调查问卷方法，调查问卷结合人教版教材的内容设计及教学内容进度进行安排，以学生们的实际为基础，为实现调查目的所自行编制。此次调查问卷形式分为两类：第一类是针对学生的问卷调查，调查项目包括了对数学课程喜欢程度调查、对函数思想理解程度调查、对教学方式的调查、对学习函数学习规律的调查和对函数思想解决数学问题的能力等，问题一共有14个，其中12个封闭式问题，2个开放性问题。第二类是针对教师问卷，调查项目包括了函数思想应用的范围、学生掌握函数思想情况、教师对函数思想认识程度及平时

51、开展函数思想研究的情况等，共有12个封闭式问题。问卷详情参加附录1和附录2。本次调查活动选用匿名制模式开展，并利用学生自习时间段15分钟内完成调查问卷。问卷调查表回收率100%。问卷调查卷（学生版）发放了300份，回收300份，回收率100%，但是通过对调查表进行详细查阅和筛选，将调查表中未全面解答或者选择题任意解答的，发现有效调查问卷为290份数。问卷调查表（教师版）发放了18份，回收17份。通过引入SPSS20.0工具推演统计结果，将其列入到表3.1之中：表3.1问卷调查表发放回收情况统计表对象发放问卷数量（份）回收问卷数量（份）废卷数量（份）有效问卷数量（份）有效率学生300290102

52、9096.67%教师181711794.45%从表3.1中的数据显示我们发现本次回收问卷有效率是达标的，问卷的数量及质量也是符合要求的。3.2调查结果与分析3.2.1学生调查问卷分析（1）学生对数学课程喜欢程度表3.2学生对数学课程喜欢程度表问题选项人数比例%1A.非常喜欢16356.2B.比较喜欢9131.3C.不太喜欢3211D.不清楚41.37根据上述数据分析，有一半以上的学生对数学课程是非常喜欢的，其中比较喜欢占比是31.3%；不太喜欢学生的占比是31.3%；不清楚学生的占比是1.37%。足以说明多数高中生对数学学科是比较喜欢，也有一个比较良好的学习态度。（2） 函数思想认识程度情况表

53、3.3学生对函数思想方法认识程度表问题选项人数比例%2A.非常清楚5318.27B.比较清楚4114.13C.一般清楚3411.72D.不知道16255.863.A.特别清楚10034.48B.一般清楚8629.66C.不清楚10435.864.A.非常重要14750.68B.比较重要6723.10C.一般重要4515.51D.不重要3110.695A.特别清楚12643.49B.比较清楚7927.24C.一般了解6121.03D.不知道248.27通过对2-4题的数据进行统计发现，有大约55.86的学生对于考试大纲的函数思想要求是不知道，仅有18.27%知道考试大纲对函数思想的要求，说明在数

54、学课堂上很多教师对于函数思想重视程度不够，使得很多学生对函数思想的考试位置不清楚。但是值得庆幸的是，有50.68%的学生函数思想在知识体系及考试之中占据非常重要的位置，有34.48%的学生对函数概念是特别清楚，同时也有43.49%对于函数思想方法的应用条件、应用类型和方式是特别清楚的。通过数据上的统计分析，我们可以发现当前的高中生都是能够认识到函数思想方法的重要性，对于函数概念、应用条件、类型和方式等方面的掌握程度基本普遍处于比较低水平。说明加强函数思想应用势在必行。（3） 函数思想方法的学习情况表3.4学生对函数思想方法学习情况表问题选项人数比例%6A.较好15252.41B.一般9231.

55、72C.不好279.31D.不知道196.557A.一般3913.44B.很简单3110.68C.比较难13145.17D.特别难8930.68从6和7题的统计来看，有52.41%的学生认为自己在初中阶段对函数思想方法的掌握程度是较好的，有31.72%的学生认为自己掌握的一般。在高中阶段对函数思想难易来看，45.17%的学生提出自己在学习高中函数思想方法学习比较困难，30.68%的学生认为自己学习高中函数思想方法学习特别困难。从上述的数据分析来看，结合学生的学习规律来看，多数的学生都认为自己在初中阶段对函数思想方法的掌握程度处于中等的水平，但是在高中阶段对此思想方法学习就比较困难或者特别困难，

56、说明对于高中阶段的函数思想学习需要要结合学生的实际，教师要及时调整教学模式或者方式，要让学生易于理解的方式去教授函数思想。（4）函数思想教学开展情况表3.5函数教学开展情况表问题选项人数比例%8A.经常渗透12342.41B.一般渗透7726.55C.很少渗透6521.38D.从不渗透289.659A.老师全程详细讲解思想、步骤4013.79B.老师给思路后自主探究11840.68C.自己在课堂上主动学习12041.37D.无所谓124.110A.经常联系9833.79B.一般联系11640C.极少联系5418.62D.从不联系227.58通过对第8题的统计来看，42.41%学生认为教师在课堂上教学能够经常渗透数学思想，然一般渗透、很少渗透和从不渗透的占比却有一半多以上。在新课标要求下，教材上的数学思想并不是单独成块，需要教师在平时教学中国要不断渗透，因为比较数学知识的学习，数学思想及方法的学习更为重要。那么以上的数据说明我们的数学教师大多都知道给学生渗透数学思想，但是21.38%的学会说呢过认为老师很少渗透数学思想，说明我们的教师需要在课堂教学中应有意识去强化数学思想的意识。通过对的9题的统计来看，该题重点是对学生