数字信号处理题解及电子PPT学习教案

1、会计学1 数字信号处理题解及电子数字信号处理题解及电子 对同样一组数据，我们可以实现双向预测： ()x np(1)x n(1)x np ( )x n p k ff knxkanx 1 )()()( Forward Predictio n )()()(nxnxne ff 前向预测 误差序列 2 |( )| ff Een 误差功率 第1页/共56页 1 ( )( ) ( ) p bb k xnak x nk Backwar d Predictio n 2 |( )| bb Ee n 后向预测 误差功率 1 ( )( ) () p bb k xnpak x npk 对同一组数 据的后向预 测 ()(

2、)() ()( ) bb bb e npx npxnp e npe n 后向预测 误差序列 ( )()() bb e nx npe np 第2页/共56页 令： 0,1,2, ( ) b b kp ak 可以得到使 最小的 及 。当然也可使用正交原理得： b (1),( ) bb aap min b min 1 1 (0)( ) ( ) ( )( ) (),1,2,., p bb xx k p b xx k rak r k rmak r mkmp 后向预测的Wiener-Hopef Eq 第3页/共56页 fb minmin )()()( )()( * kakaka kaka ffb fb 可

3、以证明： 前、后向预 测对等关系 上述结果表明，使用已知的 p 个数据，我们 可以实现前向预测，也可以实现后向预测，两 种情况下可各自得到对等的Wiener-Hopf方程 。将它们单独使用，所得分辨率都不理想。可 以设想，如将二者结合起来，即同时使前向、 后向预测误差功率为最小，应能得到更好的分 辨率。人们在线性预测方面进行了大量的研究 。 第4页/共56页 11 * 11 ( )( )(1) ( )(1)( ) ffb mmm m bbf mmm m enenk en enenk en 前、后向预测误差序列有如下的关系： 00 ( )( )( ) fb ene nx n 1,2,mp 初始条

4、件 11 11 11 11 (1),( ) |(1)|*|(1)| cov(1),( ) var( ) var(1) bf mm m fb mm bf mm fb mm enen k enen enen enen 反射 系数 第5页/共56页 上述关系引出了线性预测中的Lattice结构。 这一结构在现代谱估计、语音信号处理中有 着重要的应用。 第6页/共56页 2 2 |( )| |( )| ff n bb n en e n 上述的关系还是集总平均。对实际的信号 ：单个样本有限长，求均值要简化，对 ( ),0,1,1x n nN 1 ( )( )( ) ( )( ) () ff p f k

5、enx nxn x nak x nk 2 2 |( )| |( )| ff bb Een Ee n 取代 的范围n 第7页/共56页 1 ( )( )( ) ( ) ( ) () ff p f k enx nxn x nak x nk (0)0 x (0)(0) f ex (1) (1) (0) f xax (1)(1)(1) f exx (1)x N ( 1)x Np ( )x p (0)x (1)x p ( 1)( ) (1) f x Npap x N (1)(1) ( ) (1) f f eNpx Np ap x N 第8页/共56页 (0) (0) (1)(0) (1) (1)(2)(

6、0) (1) ( )(1)(1)(0) ( ) (1)(2)()(1) (1) (1)(1) () () (1)(2) (1) f f f f f f f x e xx e x px px ep x px pxx ep x Nx Nx Npx Np eN x Nx Npx Np eN x Nx N eNp x 1 (1) (2) ( ) (1) f f f a a ap N N点数据，前向预测误差序列范围 第9页/共56页 3 X 2 X 1 X (0) (1)(0) (1)(2)(0) ( )(1)(1)(0) (1)(2)()(1) (1)(1) () (1)(2) (1) x xx x

7、px px x px pxx x Nx Nx Npx Np x Nx Npx Np x Nx N x N 0 :X 第10页/共56页 上三角+中间块+下三角：上、下加窗； (0)( )(1)(1) ffff eepeNeNP 0 :X 1 :X ( )(1) ff epeN 中间块：上、下不加窗； (0)( )(1) fff eepeN 2 :X 中间块+上三角：下不加窗、上加窗； ( )(1)(1) fff epeNeNp 3 :X 中间块+下三角：上不加窗、下加窗； 第11页/共56页 12.6 AR模型系数求解算法 AR模型系数求解算法很多，人们目前仍在探 讨新的求解算法。目前，常用的

8、算法是： 1. 自相关法 2. Burg算法 3. 协方差(covariance)方法； 4. 改进的协方差算法（modified ) , 又称：Marple 算法 5. 最大似然（Maximum Likelihood)估计 第12页/共56页 3. 递推算法：由 求 ，由 递 推，还是直接由 递推 )(nx )( mrx )( mrx )(nx 各算法之间的主要区别 ： 1. 的取值范围，即nne f ),( 10, X X 23 ,XX选择那一个？ 2. 仅用前向预测，还是前后向都预测？即 令 最小，还是 最小？ f fb 第13页/共56页 Tf p f p f p f p f p pN

9、epeeee)1(,),(,),1 (),0( 一、自相关法 (1),(2),( ) ffffT p aaaap f p f p a Xe 1 0 f p Hf p pN n f p f eene| )(| 1 0 2 p f f p H oa XX min 00 1 令： 使用 0 X 使用前 向预测 使最小，得 第14页/共56页 注意：矩阵 的结果 ，即是对有限长数据求出的自 相关函数，因此，上式等效于 ： p f f pp o aR min 1 00 H XXN 自相关法的特点： 1. 只用前向预测，且 等效前、后加窗 , 分辨率不好; )(ne f 2. 用 ，得到的 是Toepli

10、ts阵，才 可能用Levinson算法求解； 00 XX H 1p R 3. 实际上是我们前面讨论过的Yule-Walker 方 程。方法最简单。 第15页/共56页 1 2 1 2 1 |( )| 1 |( )| N ff pp n p N bb pp n p en Np en Np 11 * 11 00 ( )( )(1) ( )(1)( ) 1,2, ( )( )( ) ffb mmm m bbf mmmm fb enenk en enenk en mp ene nx n 二、Burg算 法 使用前、 后向预测 1 2 fbfb 前、后 都不加 窗 Lattice 结构， 递推算 法 第

11、16页/共56页 1 2 1 1 2 1 1 * 11 | ) 1(| )(| ) 1()(2 N mn b m N mn f m N mn b m f m m nene nene k 1 2 * 11 )| |1 ( 1, 2 , 1, )( )( )()( mmm mm mmmm k mkkma kmakkaka 先求： ( ) mm kam 令： 0 fb m k 得到 的求解公式 ： m k 再用 Levinso n 递推 求其它 第17页/共56页 递推步骤 1. 令： 求出 2. 求 时的参数 3. 求出 ，再求 4. 用Levinson算法，求 时的 5. 重复上述过程，直到 )

12、;()()( 00 nxnene bf 1 k 1m 1 111 (1),(1 |) (0) x akkr 11 ( )( ) fb ene n、 2 k 2m 22 (1),a pm Burg算法：一个公 认的较好的算法。 第18页/共56页 Burg 算法的特点： 11 22 11 |( )| ,|( )| NN ffbb pppp n pn p enen NpNp 1. 同时使用前向后后向预测，即使 1 2 fbfb 最小 2. 的选择保证前、后不加 窗，即 ( ),( ) fb pp en en 3. 在每一级， 仅对 最小，然后套用自 相关法的Levinson递推算法，影响分辨率；

13、fb m k 4. 直接用数据递推，方法简单。 第19页/共56页 三、改进的协方差法Marple方法 11 22 1 2 11 |( )| ,|( )| fbfb NN ffbb pppp n pn p enen NpNp 同Burg 算法 0 ( ) fb m ai 1,2, 1,2, im mp 注意：这是Marple 算法和Burg算法的最 大区别。Burg算法仅： /0,1, fb m kmp 第20页/共56页 (1,1)(1,2)(1, )(1,0)(1) (2,1)(2,2)(2, )(2,0)(2) ( ) ( ,1)( ,2)( , )( ,0) xxxx xxxx xxx

14、x cccpca cccpca a pcpcpcp pcp 上述最小化的结果是得到一个协方差方程： 注意：该矩阵不是Toeplitz矩阵，因此不能用 Levinson算法求解。Marple于1983年给出的 求解上式的快速递归算法。所以，该算法称 作“改进的协方差法，或Marple算法。该算 法的估计性能最好，但计算复杂。 第21页/共56页 （e）Burg算法 Burg算法 10, ( )pf 13p （g）Marple算法 Marple算法 10, ( )ph13p 第22页/共56页 12.7 MA模型 q k knukbnunx 1 )()()()( q k k zkbzH 1 )(1

15、)( 22 1 ()|1( )| q jjk x k P eb k e ( )( )H zB z )(nu )(nx (0)1b 第23页/共56页 1 0 ( ) ( ) () ( ) ()() ( ) ( )( ) x q k q xu k x n x nm b k u nmku nm x n b k r r mE E mk 0,1,mq 22 0 ( ) ()( ) () ( ) 0, qq m k mkx b k b kmb k b km r m mq 再推导一步，有： 非线性方程组 MA模型的正则方程 第24页/共56页 ()( ) q jj m BTx mq Per m e 2 2

16、 2 ()() ( ) jj MA q j m x mq PeB e r m e 从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中 的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型 用于谱估计无优势。但，MA模型： 1. 常用于系统辨识； 2. ARMA模型中包含了MA部分。 第25页/共56页 令其等效为 模 型 求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方 程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱分 解、基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的 方法。后者最好用，基础是Wold分解定理。 1 ( )( )1( ) q k q k HzHzb k z )MA(q 1 )(1 1 )( 1 )( k k zka zA

17、zH 对 建立 一个无穷阶 的AR模型 ( )x n ( ) ( )1Az B z 于是有： ( )( )a kb k 第26页/共56页 步骤： 1. 由 ,建立 得 ; 2. 对 建立 阶线性预测器，系数为 ,即建立两次AR模型。 1,.1 , 0),(Nnnxqpp),AR（ pkkap1),( )(kap q qkkb1),.,( 1 ( )( ) ()( ) q k a mb k a mkm 1,m 1,mp 1 2 ( )( )()( ) | ( )| q pp k MA m amb k amke m e m 近 似 第27页/共56页 12.8 ARMA(p,q)模型 2 10

18、1 ( ) ()( ) () ( ) ( ) (), pq m x kk x p x k a k r mkh k b mk r m a k r mkmq 0,1,kq ARMA模型 的正则方程 pm 对第二个式子， ( )(1)(1)(1)(1) (1)( )(2)(2)(2) (1)(2)( )()( ) xxxx xxxx xxxx r qr qr qpr qa r qr qr qpr qa r qpr qpr qr qpa p 第28页/共56页 ,RarrRae 可以先 求 ，然后再解第一个方程， 求出 ；但这样做的效果不好，一是 的性能不好，二是第一个方程也不好求解。首 先，建立一个

19、超定方程（方程个数未知数）： p aa 1 1 q bb ( )(1)(1)(1) (1) (2) (1)(2)( )() ( ) (1)(2)()() xxxx xxxx xxxx r qr qr qpr q a a r qpr qpr qr qp a p r Mr Mr Mpr M p aa 1 第29页/共56页 1 ( )( ) ()( ),1 p xx k r ma k r mke mmq 2 1 | ( )| M H n q e n e e 1 () HH aR RR r 用求伪逆的方法可求出 ；注意，伪逆可用 奇异值分解（SVD）的方法求解；求出 后， 剩下的工作是求 b a a

20、 第30页/共56页 p aaa,., 21 2. 用 对 滤波； 3. 滤波输出 相当于一 MA（q) 过程，按 上节MA模型的求解方法，可求 出 ARMA(p,q)模型 的 参数。 ( ) A z)(nx )(ny ARMA 模型系数求解的方法： 1. 先求出： ，它们可构成 ； ( ) A z ( ) ( ) B z A z ( )u n( )y n )(nx ( ) A z ( )u n ( )y n ( )B z 第31页/共56页 （a）MA(10) （b）MA(16) （c）ARMA(10,10) （d）ARMA(10,13) 第32页/共56页 12.10 基于矩阵特征分解的功

21、率谱估计 假定信号由 M 个复正弦加白噪声组成： 1 ( )exp( ) M kkk k X nAjnju n 2 1 ( )exp()( ) M xiiw i r kAjkk 2 1 ( )2() M xiiw i PA 第33页/共56页 已知：(0),(1),( ) xxx rrr p 不会 奇异 * * (0)(1)( ) (1)(0)(1) ( )(1)(0) xxx xxx p xxx rrr p rrr p R r pr pr (1) (1)pp 可构 成 目标：1. 由该矩阵估计 个正弦信号的频率和幅度 ； 2. 估计信号 的功率谱； ( )X n M 第34页/共56页 定义

22、 ： 1,exp(),exp() ,1,2, T iii jjpiMe 为信号向量，它包含了 个复正 弦，其频率和原信号的频率相同。 M 求解的关键是自相关矩阵的分解： 信号相 关阵的 表示 1 ( )exp()( ) M xiiw i r kAjkk 因为： 1 M H piiiw i A Re eI所以： 第35页/共56页 1 M H piiiw i A Re eI 1 M H piii i SA e e pw WI ppp RSW 相关矩阵的 分解：信号 部分和噪声 部分 秩是 秩为M 秩为 1p 再定义 第36页/共56页 1 1 p H piii i SV V 1, 0, H ij

23、 ij VV ij 特征 分解 121 :,det()0, 0,: p MMp Note ifpM thenSand so 1 M H piii i SV V 1 1 p H ii i IV V 借用特征向 量的特点 主特征向 量 1 M VV 第37页/共56页 构成的 p+1维 空间 11 p VV 构成的 M维信 号空间 1 M VV 构成的噪 声空间 11 Mp VV 1 11 () pM HH iwiiwii ii M VVVV 信号空 间特征 值 1 11 pM HH piiiwii ii RVVVV 第38页/共56页 基于噪声子空间的频率估计和功率谱估计： 11 1 M HH

24、piiiwMM i ifMpthen RVVVV 噪声 空间 只有 一个 特征 向量 可以证明： 1, 0,1,2, Mi iM Ve 和信号向量 正交 1M V 11 0 ( )exp()0 1,2, M H iMMi k e Vvkj k iM 即： 第39页/共56页 11 0 ( )exp()0 1,2, M H iMMi k e Vvkj k iM 求解上式，可得到 的 个根，它们都 在单位圆上，因此可求出 12 , M ( )V z 实现了频率估计 M 1 0 ()( )0 M jj k M k V evk e 1 0 ( )( )0 M k M k V zvk z M 阶多项式

25、第40页/共56页 方法： 1. 由 估计 ，由 构成 ，并假定 ； ( ),0,1x n nN ( ) x r m (0),( ) xx rr p p RMp 2. 对 作特征分解，找最小的 ，及 p R 1p 1p V 3. 代入上式，解出： 实现了频率估计。 12 , M 第41页/共56页 4. 由下式，求 12 , M A AA 121 122 12 (1)exp()exp()exp() (2)exp( 2)exp( 2)exp( 2) ()exp()exp()exp() xM xM xMM rjjjA rjjjA r MjMjMjMA 求出 5. 由 1 (0) M xiw i r

26、A w 按上述步骤，可求出正弦信号的参数 Pisarenko 谐波分解 第42页/共56页 若噪声空间向量不止一个，估计信号的频率 ，可应用谱估计的方法。 1 2 1 1 ( ) ( ) xp H kk k M P eV 1 1 1 ( ) ( ) MUSIC p HH kk k M P eV Ve 1. 若 1,11 k kMp MUSIC(Multiple Signal Classification)方 法 第43页/共56页 1 1 1 ( ) 1 ( ) EV p HH kk k M K P eV Ve 2. 若 1/,11 kk kMp EV(Eigenvector)方法 第44页/

27、共56页 用特征分解求出的功率谱曲线 第45页/共56页 与本章内容有关的MATLAB文件： 1. pyulear.m 用AR模型的自相关法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pyulear(x, order, Nfft, Fs) 2. pburg.m 用AR模型的Burg算法估计信 号的功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pburg(x, order, Nfft, Fs) （一） 有关功率谱估计的MATLAB文件 第46页/共56页 3. pcov.m 用AR模型方差方法估计信号的 功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pcov(x, order, Nfft

28、, Fs) 4. pmcov.m 用AR模型的改进的方差方法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pmcov(x, order, Nfft, Fs) 第47页/共56页 5. pmem.m 最大熵功率谱估计，其估计 性能类似pyulear, 其基本调用格式是： Px, F = pmem(x, order, Nfft, Fs) 6. pmusic.m 用自相关矩阵分解的MUSIC 算法估计信号的功率谱，其基本调用格 式是： Px, F = pmusic(x, order, Nfft, Fs) 第48页/共56页 7. peig.m 用自相关矩阵分解的特征向量 法估计信号的功率谱，其基本调用格式是： Px, F = peig(x, order, Nfft, Fs), Px, F，V, E = peig(x, order, Nfft, Fs), x :信号向量，order:模型的阶次，Fs:抽样频率 ，Nfft:对x作FFT时的长度。Px:估计出的功率谱 ，F是频率轴坐标。对peig, 输出的E 是由自相 关矩阵的特征值所组成的向量，V是由特征向 量组成的矩阵。V的列向量张成了噪声子空间 ，V的行数减去列数即是信号子空间的维数。 第49页/共56页 （二）有关（二）有关AR模型参数估计的文件：模型参数估计的文件： 包括：aryule, arb