第4章 弯曲内力

1、 材料力学材料力学授课教师：池维超授课教师：池维超联系联系方式：方式：Northeastern UniversityPAG 2材材 料料 力力 学学第四章第四章 弯曲内力弯曲内力Northeastern UniversityPAG 34-1弯曲的概念和实例4-2剪力和弯矩4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图4-4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系4-5叠加原理作弯矩图4-6平面刚架和曲杆的内力第四章第四章 弯曲内力弯曲内力Northeastern UniversityPAG 4一、弯曲的概念1、弯曲：杆受垂直于轴线的外力或外力偶的作用时，轴 线变成曲线的变形。4-14-1 工程实际的弯曲问题工

2、程实际的弯曲问题2、梁：以弯曲变形为主的构件。 如工程中常见的梁（其横截面均有对称轴）Northeastern UniversityPAG 54-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题二、弯曲的工程实例Northeastern UniversityPAG 6FaMeAB二、弯曲的工程实例aAB阳台梁栏杆FqF4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 7轴线(平面弯曲)三、对称弯曲纵向对称面挠曲线(弯曲后梁的轴线)FqM纵向对称面：通过梁轴线和截面对称轴的平面对称弯曲：梁的挠曲线与载荷作用面(纵向对称面)共面非对称弯曲：梁无纵

3、向对称面或载荷不在纵向对称面内4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 8四、梁的计算简图1、构件本身的简化2、载荷简化(通常取梁的轴线来代替梁) 均匀分布载荷线性(非均匀)分布载荷分布载荷Me集中力偶集中力4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 93、支座简化 固定铰支座2个约束，1个自由度桥梁下的固定支座；止推滚珠轴承等。 可动铰支座1个约束，2个自由度桥梁下的辊轴支座；滚珠轴承等。xFyFyF四、梁的计算简图4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Nor

4、theastern UniversityPAG 10 固定端3个约束，0个自由度游泳池跳水板支座；木桩下端支座等。xFyFM3、支座简化四、梁的计算简图4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 114、梁的分类 简支梁 悬臂梁 外伸梁M)(xqqF四、梁的计算简图 静定梁：由静力学方程可求出全部未知力的梁4-14-1 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 12静定组合梁FF四、梁的计算简图4、梁的分类 超静定梁：由静力学方程不能求出或不能全部求出 未知力的梁。4-14-1 工程实际

5、的弯曲问题工程实际的弯曲问题Northeastern UniversityPAG 13一、弯曲内力如图所示，已知F，a，l。求：距A端x处截面上内力。解: 求支反力FAxFAyFBF0, 0AxxFF0, 0BAyyFFFF0)(FMA0,aFlFB; 0AxFlFaFlalFFBAy;)(alFABCABC4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩Northeastern UniversityPAG 14x 截面法求内力FAyFBFABCmmAmmSFM0, 0SAyyFFF.)(;)(lxalFMlalFFSlFaFlalFFFBAyAx;)(; 0一、弯曲内力如图所示，已知F，a，l。求：距A端

6、x处截面上内力。AyF弯曲构件内力：剪力，弯矩D0)(FMD0,xFMAy4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩Northeastern UniversityPAG 15x 截面法求内力FAyFBFABCmm0, 0BSyFFFFlFaFlalFFFBAyAx;)(; 0一、弯曲内力如图所示，已知F，a，l。求：距A端x处截面上内力。0)(FMD0)( )(,xaFMxlFBFBFSFMBCmmD4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩.)(;)(lxalFMlalFFSNortheastern UniversityPAG 161、剪力Fs构件受弯时,横截面上其作用线平行于截面的内力。正负规定:绕研究对

7、象顺时针转为正;反之为负左上右下剪力为正)(SF)(SF)(SF)(SF一、弯曲内力4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩Northeastern UniversityPAG 17构件受弯时,横截面上其作用面与截面垂直的内力偶矩。2、弯矩M一、弯曲内力正负规定:使梁变形凸向下的为正;反之为负)(M)(M)(M)(M左顺右逆弯矩为正4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩Northeastern UniversityPAG 18例例4-1 求图示梁求图示梁AB中点、中点、BC中点截面处的内力。中点截面处的内力。解解: :截面法求内力截面法求内力ab1截面截面qqlql1SF1M0yF0,1SFql0)(1

8、FM02,1aqlMqlaMqlFS21;11ABCa/2A12Aa+b/22截面截面2SF2M0yF02,2SFbqql0)(2FM0)2()2q(21,22baqlbM)2(81;21222baqlqbMqlqbFSql4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩qNortheastern UniversityPAG 19解解: :求支座反力求支座反力例例4-2 一简支梁受力如图所示，试求一简支梁受力如图所示，试求1 6截面的内力。截面的内力。a4qa2AB3q424qaM AFBF0yF042,BAFaqqaF0)(FMB0432 2)4( ,2aFaqaMaqAqaFqaFBA5;AF1SF1M

9、0, 01SAyFFF0, 0)(11aFMFMA211;qaMqaFS4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩aaa2165aA1AF2SF2MAa2qa202, 01SAyFqaFF0, 0)(22aFMFMA222;qaMqaFS集中力作用处剪力突变，弯矩不突变Northeastern UniversityPAG 20qaFqaFBA5;AF3SF3M4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩a4qa2AB3q424qaM AFBFaaa2165aA3aqa202, 03SAyFqaFF02, 0)(33aFaqaMFMA233;qaMqaFSAF4SF4MaA4aqa202, 04SAyFqaFF0

10、2, 0)(44MaFaqaMFMA2443;qaMqaFSM集中力偶作用处剪力不突变，弯矩突变Northeastern UniversityPAG 21qaFqaFBA5;4-24-2 剪力和弯矩剪力和弯矩a4qa2AB3q424qaM AFBFaaa216502, 06ASyFqaFF052)4(, 0)(266aqaaqMFM2663;qaMqaFS6SF6Ma6Bq4BF5SF5Ma5Bq4BF2553;qaMqaFS均布力起止点处，剪力、弯矩均无突变Northeastern UniversityPAG 221、内力方程(描述内力与截面位置坐标x间的) 剪力方程)(xFFSS 弯矩方程

11、)(xMM 2、剪力图和弯矩图剪力图 的图线表示)(xFFSS弯矩图 的图线表示)(xMM 正值剪力画在x 轴上侧；正值弯矩画在梁的受压侧。4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 23解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程 根据方程画内力图根据方程画内力图Fs(x)xM(x)xFFlF例例4-3 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。lAM0, 0FFFAy0)(FMA0,FlMA;FFAFlMAABCAFxACAMAFSCFCM0)(, 0 xFFFSCAy0)(FMC0)(,xFMxMAAC)

12、0( )(lxFxFSC)0( )()(lxlxFxMC+-4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 244-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图注意：3，规范画图，使用工具。2，标注坐标轴、段值、极值、正负号；1，载荷、剪力、弯矩图要对齐；Northeastern UniversityPAG 25q 写出内力方程写出内力方程Fs(x)x例例4-4 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。lABxACSCFCM0)(, 0 xFqxFSCy02)(, 0)(2qxxMFMCC)0( )(lxqxxFSC)0( 2)

13、(2lxqxxMC-qCM(x)x-221qlqlBMBF0, 0qlFFBy22BBFql;Mql 2020BBM (F ),Mql4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图解解: : 求支反力求支反力 根据方程画内力图根据方程画内力图Northeastern UniversityPAG 26 设 f (x)在a, ,b上连续,在(a, ,b)内可导,那么,根据方程画内力图 若在(a, ,b)内 f (x)0，则 f (x)在a, ,b上单调增加； 若在(a, ,b)内 f (x)0,则 f (x)在a, ,b上的图形是凹的； 若在(a, ,b)内 f (x)0,则 f (x)在a, ,b上

14、的图形是凸的。 设 f (x)在a, ,b上连续,在(a, ,b)上有一阶和二阶导数,那么,4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 27l0qABCAFBF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程 根据方程画内力图根据方程画内力图02, 00lqFFFBAy0) 32()2(, 0)(0llqlFFMBA6;300lqFlqFAB0)( ; 0FMFCy)0( 26)(200lxlxqlqxFSC)0( 66)(300lxlxqlxqxMClxq0 xACAFSCFCMM(x)x33l60lq30lq27320lqFs(x)

15、x+-+例例4-5 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 28lABCAFBF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程0, 0FFFFBAy0, 0)(FalFFMBAlFaFlFbFBA;)(0 )(axlFbxFS)0( )(axxlFbxMClFblFalFababFAC 段段)( )(lxaFlFbxFS)( )()(lxaxllFaxMCCB 段段 根据方程画内力图根据方程画内力图-+Fs(x)xM(x)x例例4-6 求图示梁的内力方程并画出内力图。

16、求图示梁的内力方程并画出内力图。4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 29lABCAF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程0, 0BAyFFF0, 0)(lFMFMBeAlMFFeBA)(0 )(lxlMxFeS)0( )(axlxMxMeClMelaMeBFabeMAC 段段)( )()(lxallxMxMeCCB 段段 根据方程画内力图根据方程画内力图+lbMe-例例4-7 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。M(x)xFs(x)x4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northea

17、stern UniversityPAG 30 载荷无突变的杆段上,各截面内力变化规律相同。 对于外力规律发生变化的截面(集中力、集中力 偶作用点,分布载荷的起点和终点处的横截面), 必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。 在集中力F 作用处,剪力图发生突变,突变的方向、 大小与所作用的集中力F 相同;弯矩图斜率发生变 化,变化形成的尖角与集中力F 的箭头是反向。 在集中力偶M 作用处,剪力图无变化，弯矩图发生 突变,逆下顺上,大小与作用的集中力偶M 相同。内力方程和内力图规律(从左向右)4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 31例例4-8

18、 一一简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载 F 的作用如的作用如图图所示所示.试求梁的最大弯试求梁的最大弯矩为极大时荷载矩为极大时荷载 F 的位置的位置.ABFlx解解 先设先设 F 在距左支座在距左支座 A 为为 x 的任意的任意位置位置.求此情况下梁的最大求此情况下梁的最大弯矩为极弯矩为极大大.荷载荷载在在距左支座为距左支座为 x 的的任意任意位置时，位置时，支反力为支反力为lxlFRA)( lFxRB梁梁的的弯矩为弯矩为xlxlFxRMAC)( 令令0ddxMC0)2(xllF2lx 4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 32此结果说

19、明，当移动荷载此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大矩为极大.得最大弯矩值得最大弯矩值代入式代入式将将2lx xlxlFxRMAC)( FlM41max4-34-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Northeastern UniversityPAG 33一、剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系设梁上作用有任意分布荷载其集度q = q (x)其中x 轴的坐标原点取在梁的左端，并规定 q (x)向上为正.用坐标为 x 和 x+dx的两个假想的横截面m-m和n-n从梁中取

20、出dx 一段.l0qABxdxNortheastern UniversityPAG 34n-n截面上内力则分别为 FS(x)+dFS(x) , M(x)+dM(x) .由于dx很小，忽略q(x)沿dx的变化.m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x)l0qABxdx)(xq)()(xdFxFSS)()(xdMxM)(xFS)(xMdxC对dx 段进行平衡分析0yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS)()(xqdxxdFS4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 350CM( )( )( )2(

21、 )( )0SdxF x dxM xq x dxM xdM x )()(xFdxxdMS4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系略去二阶无穷小量即得l0qABxdx)(xq)()(xdFxFSS)()(xdMxM)(xFS)(xMdxCNortheastern UniversityPAG 36 剪力图上某点的切线斜率等于该点荷载集度的大小; d( )d( )( ) ; ( )ddSSF xM xq xF xxx 弯矩图上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。 dxxdFS)( 弯矩与荷载集度的关系)(xq)()(22xqdxxdMl0qABxdx)(xq)(

22、)(xdFxFSS)()(xdMxM)(xFS)(xMdxC22)(dxxdM4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系几何意义：Northeastern UniversityPAG 374-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系二、q(x)、FS(x)图、 M(x)图三者间的关系M(x)图为一向上凸的二次抛物线.FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.xFs(x)O1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0 时，向右上方倾斜.当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x)(d)(dSxqxxF)(d)(d

23、SxFxxM)(d)(d22xqxxM4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 394-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.)(d)(dSxqxx

24、F)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMNortheastern UniversityPAG 40外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶F图图特特征征M图图特特征征水平直线水平直线斜直线斜直线x增函数增函数FS自左向右突变自左向右突变无变化无变化斜直线斜直线x下斜下斜x上升上升二次曲线二次曲线下凸下凸x上凸上凸x有尖角有尖角逆降顺升逆降顺升x尖角与尖角与F反向反向0qFSx+0SFxFS-0SF0q0qx降函数降函数FSFxFS1SF2SFFFFSS21+-eMFSx+ xeMMM121M2M4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩

25、与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 41三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 A，B 间无集中力则Sd( )( )dF xq xx2211Sd( )( )xxxxF xq x dx21S2S1()( )( )xxF xF xq x dx2211SS( )xxxxFFq x dxNortheastern UniversityPAG 42等号右边积分的几何意义是，上述 A,B 两横截面间分布荷载图的面积.式中，FSx1 ，FSx2

26、分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面上的剪力.2211SS( )xxxxFFq x dxSd( )( )dM xF xx若横截面 A,B 间无集中力偶作用则得S( )bBAaF x dxMM式中 MA, MB分别为在x = a , x = b 处两个横截面A及B上的弯矩.4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 43驻点：使导数为0的点（即方程 f (x)=0的实根） 叫做函数 f (x)的驻点。 利用剪力、弯矩与荷载集度间的关系以及特殊点（端点、驻点和分区点即外力变化点等）的内力值来作图的方

27、法。极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系四、内力图的简易画法Northeastern UniversityPAG 44Northeastern UniversityPAG 451、内力方程(描述内力与截面位置坐标x间的) 剪力方程)(xFFSS 弯矩方程)(xMM 2、剪力图和弯矩图剪力图 的图线表示)(xFFSS弯矩图 的图线表示)(xMM 正值剪力画在x 轴上侧；正值弯矩画在梁的受压侧。上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 46 剪力图上某点的切线斜率等于该点荷载集度的大小; d(

28、 )d( )( ) ; ( )ddSSF xM xq xF xxx 弯矩图上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。 dxxdFS)( 弯矩与荷载集度的关系)(xq)()(22xqdxxdMl0qABxdx)(xq)()(xdFxFSS)()(xdMxM)(xFS)(xMdxC22)(dxxdM几何意义：上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 47外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶F图图特特征征M图图特特征征水平直线水平直线斜直线斜直线x增函数增函数FS自左向右突变自左向右突变无变化无变化斜直线斜直线x下斜下斜x上升上升二次曲线二

29、次曲线下凸下凸x上凸上凸x有尖角有尖角逆降顺升逆降顺升x尖角与尖角与F反向反向0qFSx+0SFxFS-0SF0q0qx降函数降函数FSFxFS1SF2SFFFFSS21+-eMFSx+ xeMMM121M2M上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 482211SS( )xxxxFFq x dxS( )bBAaF x dxMM分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系上节回顾上节回顾适用条件、几何意义？Northeastern UniversityPAG 49l0qABCAFBF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程 根据方程画内力图根据方程画内力图0

30、2, 00lqFFFBAy0) 32()2(, 0)(0llqlFFMBA6;300lqFlqFAB0)( ; 0FMFCy)0( 26)(200lxlxqlqxFSC)0( 66)(300lxlxqlxqxMClxq0 xACAFSCFCMM(x)x33l60lq30lq27320lqFs(x)x+-+例例4-5 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 50lABCAFBF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程0, 0FFFFBAy0, 0)(FalFFMBAlFaFlFbFBA;)

31、(0 )(axlFbxFS)0( )(axxlFbxMClFblFalFababFAC 段段)( )(lxaFlFbxFS)( )()(lxaxllFaxMCCB 段段 根据方程画内力图根据方程画内力图-+Fs(x)xM(x)x例例4-6 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 51lABCAF解解: : 求支反力求支反力 写出内力方程写出内力方程0, 0BAyFFF0, 0)(lFMFMBeAlMFFeBA)(0 )(lxlMxFeS)0( )(axlxMxMeClMelaMeBFabeMAC 段段

32、)( )()(lxallxMxMeCCB 段段 根据方程画内力图根据方程画内力图+lbMe-例例4-7 求图示梁的内力方程并画出内力图。求图示梁的内力方程并画出内力图。M(x)xFs(x)x上节回顾上节回顾Northeastern UniversityPAG 524-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 例例4-9 一简支梁受两个力一简支梁受两个力F作用，如图所示。已知作用，如图所示。已知 F= 25.3kN， 有关尺寸如图所示有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图.解解 (1)求梁的支反力求梁的支反

33、力23 6kA.R27 kNBR将梁分为将梁分为 AC,CD,DB 三段三段.每一段均属无载荷区段每一段均属无载荷区段.BACD2001151265FFRARB231Northeastern University23.61.727+BRBACD2001151265FFRA231DB段段S27kNBDFR 右S0kNBF右最大剪力发生在最大剪力发生在DB段中的任一横截面上段中的任一横截面上Smax27kNFCD段段S1 7kNACFRF. 右4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(2)剪力图剪力图每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线AC段段

34、S23 6kNAAFR.右xFSNortheastern UniversityPAG 544.723.11+BACD2001151265FFRARB2310 1153 11kN mDB.MR0BM最大弯矩发生在最大弯矩发生在 C 截面截面4 72kN mmax.M0 24 72kN mCA.MR0AM4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(3)弯矩图弯矩图梁上无集中梁上无集中力偶，每力偶，每段梁的弯矩段梁的弯矩图均为斜直线图均为斜直线。xFSNortheastern UniversityPAG 55(4)对图形进行校核对图形进行校核在集中力作用的在集中力

35、作用的C,D 两点剪力图发生两点剪力图发生突变突变,突变突变P=25.3kN.而弯矩图有尖角而弯矩图有尖角.在在AC段剪力为正值段剪力为正值,弯矩图为向上倾弯矩图为向上倾斜的直线斜的直线.BACD2001151265FFRARB2314.723.11+23.61.727+在在CD和和DB段段,剪力为负值剪力为负值,弯矩图为弯矩图为向下倾斜的直线向下倾斜的直线.最大弯矩发生在剪力改变正、负号最大弯矩发生在剪力改变正、负号的的 C截面处截面处.说明剪力图和弯矩图是说明剪力图和弯矩图是正确的正确的.4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern

36、 UniversityPAG 56例例4-10 一一简支梁受均布荷载作用，其集度简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图如图 所示所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解解 (1) 计算梁的支反力计算梁的支反力RARBEqABCD0.21.6120 5 100 1 680kNABRR 将梁分为将梁分为 AC、CD、DB 三段三段.AC和和DB上无荷载上无荷载,CD 段有向下的均段有向下的均布荷载布荷载.4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 57(2)

37、剪力图剪力图+80kN80kNAC段段 水平直线水平直线S80kNAAFR右CD段段 向右下方的斜直线向右下方的斜直线S80kNCAFRS80kNDBFR DB段段 水平直线水平直线S80kNBBFR左S0kNBF右最大剪力发生在最大剪力发生在 AC 和和 DB 段的任一横截面上段的任一横截面上.S80kN ()max,F RARBEqABCD0.21.6124-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern University(3) 弯矩图弯矩图AC段段 向上倾斜的直线向上倾斜的直线CD段段 向上凸的二次抛物线向上凸的二次抛物线0AM0

38、216kN.mCA.MR0 216kN mDBMR 其极值点在其极值点在 FS = 0 的中点的中点E处的处的横截面上横截面上.2148kN m1 0 22EAq()MR DB段段 向下倾斜的直线向下倾斜的直线 MB = 0+161648单位：单位：kN.m全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中 E点的横截面上点的横截面上.48kN mmaxMRARBEqABCD0.21.6124-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 59例例4-11 作作梁的内力图梁的内力图.解解 (1)支座反力为支座反力为3m4m

39、ABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN7kNAR5kNBR将梁分为将梁分为 AC、CD、 DB、BE 四段四段.(2)剪力图剪力图AC 向下斜的直线向下斜的直线( )S7kNAAFR右S43kNACFqR左CD 向下斜的直线向下斜的直线 ( )1S41kNACFqPR右S23kNDBFPR 4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 60 DB 水平直线水平直线 ()EB 水平直线水平直线 ()3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN

40、.mF2=2kNS23kNBFFR 2S2kNBFP右AC 向下斜的直线向下斜的直线( )S7kNAF右S3kNCF左 CD 向下斜的直线向下斜的直线 ( )S1kNCF右S3kNDF F点剪力为零点剪力为零,令其距令其距 A点为点为x1S0AxFqxRF7kN1kN+3kN3kN2kNx=5mx = 5m4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern University(3)弯矩图弯矩图CDAC0AM242042CAqMR27164DBmMFR 左20 5maxF.MMDB2674DBPMR右263BPM BE0EM3m4mABCDE

41、4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN201666+20.54-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 62解解 支座反力为支座反力为RA = 81 kNRB = 29 kNmA = 96.5 kN.m例例4-12 用用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m将梁分为将梁分为 AE，EC， CD，DK，KB 五段。五段。4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩

42、与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 63(1)剪力图剪力图AE段段 水平直线水平直线FSA右右 = FSE左左 = RA = 81kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/mED 段段 水平直线水平直线DK 段段 向右下方倾斜的直线向右下方倾斜的直线FSK= -RB = - 29kNFSE右右 = RA - F = 31kNKB 段段 水平直线水平直线FSB左左= - RB = - 29 kN81kN31kN29kN+4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeaste

43、rn UniversityPAG 64设距设距K截面为截面为 x 的截面上的截面上剪力剪力 FS = 0.即即10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m0SxBqxFR 1 45mBRx.qx=1.4581kN31kN29kN+4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 65(2)弯矩图弯矩图AE，EC，CD 梁段均为向梁段均为向上倾斜的直线上倾斜的直线B10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m96 5kN mAA.mM 右81 1

44、15 5kN mEA.MM 31 0 50CE.MM31 131kN mDCMM 96.515.5314-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityKB 段段 向下倾斜的直线向下倾斜的直线B10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/mDK段段向上凸的二次抛物线向上凸的二次抛物线1KBmMR 29 1 534kN m 在在 FS= 0 的截面上弯矩有极值的截面上弯矩有极值2 45BmaxM.mR255kN m1 452q.5kN mBmM左0BM右96.53115.5x+553454-

45、44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 67中间铰链传递剪力中间铰链传递剪力(铰链铰链左，右两侧的剪力相等左，右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩但不传递弯矩(铰链处弯矩铰链处弯矩必为零必为零).F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m+4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 68 例例4-13 已知简支梁的剪力图已知简支梁的剪力图.作作梁的弯矩图和荷载图梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没已知梁上没有

46、集中力偶作用有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解解(1)画荷载图画荷载图AB 段段 没有荷载，在没有荷载，在B处处有集中力，有集中力，F=20kN. 因为因为所以所以F=20kN 方向向下方向向下d s( )dFq xxS18kNBF左S2kNBF 右CABDF=20kN4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 69BC 段段 无荷载无荷载CD 段段 有均布荷载有均布荷载 q ( )d( )dSFq xxSS( )6dDCcq x dxqFF( 14)(2)2kN6q abcd1

47、8kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 70(2)弯矩图弯矩图AB段段 向右上倾斜的直线向右上倾斜的直线Sd( )( )dM xF xxS( )bBAaMMF x dx0 18 354kN m BC段段 向右下倾斜的直线向右下倾斜的直线.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+( )dcCBSbF xxMM54(2) 348 kN.m CD段段 向上凸的二次抛物线向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值该段内弯矩没有极值.0dM48dab

48、54c+4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 71 例例4-14 已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图.AB段段 因为因为 M(x) = 常量，常量，剪力图为水剪力图为水平直线，且平直线，且 FS(x ) = 0 .40kN.mabcd2m2m2m+解：解： (1)作剪力图作剪力图)(d)(dSxFxxMBC段段 F S(x) = 常量常量 , 剪力图为水平直线剪力图为水平直线SS( )2cCBbF x dxFMMS040M20kN22CBMF CD段段

49、 剪力图为水平直线剪力图为水平直线且且F S(x) = 0abcd20kN4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityAB段段 无荷载无荷载.m= 40kN.m ( )m在在A处有集中力偶处有集中力偶.(2)作荷载图作荷载图)(ddxqxFS0AM左40kN mAM右40KN.mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF = 20kN ( )B 处有集中力处有集中力.集中力集中力S0BF左S20kNBF 右BC段段 无荷载无荷载.C处有集中力处有集中力.S20kNCF左S0CF右集中力集中力 : F = 20

50、kN ( )CD段段 无荷载无荷载.FF4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系Northeastern UniversityPAG 734-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图一、叠加原理 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 作用于结构而引起的内力的代数和.二、适用条件S1S12S112Sn()()()()nnF F ,F ,FFFFFFF121122nn(,)(F )()()nM F FFMMFMF 所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足虎克定律.Northeastern UniversityP

51、AG 744-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图三、步骤 (1)分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； (2)将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）. xF=ql/3ql例例4-15 悬悬臂梁受集中臂梁受集中荷载荷载 F 和均和均布荷载布荷载 q 共同作用，试按叠加原共同作用，试按叠加原理作此梁的弯矩图理作此梁的弯矩图Northeastern UniversityPAG 754-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图xF=ql/3ql 解解 悬悬臂梁受集中臂梁受集中荷载荷载 F 和均布荷载和均布荷载 q 共同作用，共同作用， 在距左端为在距左端为 x 的任一横

52、截面上的弯矩为的任一横截面上的弯矩为2( )2qxM xFxFxqxF 单独作用单独作用( )FxFxMq单独作用单独作用2( )2qqxxM F,q 作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作单独作用该截面上的弯矩的代数和用该截面上的弯矩的代数和2( )2qxM xFxNortheastern UniversityPAG 764-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图FxFqxlqx+( )FxFxMFl2( )2qqxxM 22ql+-62ql62ql812qlNortheastern University4-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图例例4-

53、16 图示一外伸梁，图示一外伸梁，a = 425mm , F1、 F2 、 F3 分别为分别为 685 kN，575 kN，506 kN.试按叠加原理作此梁的弯矩试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的最大弯矩图，求梁的最大弯矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上荷载分开解：将梁上荷载分开F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaaNortheastern UniversityPAG 784-54-5 用叠加原理画弯矩图用叠加原理画弯矩图291acebd11(291) 122(215)131kN m22CM BCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd215ace

54、bd291215131acebdNortheastern UniversityPAG 79一、平面刚架的内力1、平面刚架内力 受力后，刚节点处的夹角保持不变。 同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而成的结构。aACBqa刚节点轴力FN剪力FS弯矩M4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 802、平面刚架内力图画法 弯矩的数值标在受压一侧，不需注明正、负号； 轴力，剪力可画在任一侧，标出正负(一般正值画在外侧) 无需建立坐标系 找出特殊截面，写出内力方程SFMSFNFNFM000MMFFFFSNSN 注意刚节点处的平

55、衡关系。4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 81解解: : 求支座反力求支座反力 求求1 1、2 2、3 3、4 4截面内力截面内力qaACBa例例4-17 作图示平面刚架的内力图。作图示平面刚架的内力图。AxFAyFBF0, 0qaFFAxx0)(FMA02,2qaaFB2;2;qaFqaFqaFBAyAx0, 0BAyyFFF2AAxFAyF11SF1NF1M0;2;111MqaFqaFNS0, 01SAxxFFF0, 0)(11MFM0, 01NAyyFFF1 截面截面4314-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架

56、和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 82qaACBaAxFAyFBF2431A22SF2NF2M2;2; 02222qaMqaFFNS0, 02SAxxFqaFF02, 0)(222aFqaMFMAx0, 02NAyyFFF2 截面截面2;2;qaFqaFqaFBAyAxqAxFAyF例例4-17 作图示平面刚架的内力图。作图示平面刚架的内力图。4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 833 截面截面2;2;qaFqaFqaFBAyAx例例4-17 作图示平面刚架的内力图。作图示平面刚架的内力图。

57、qAxFAyFAC33SF3M3NF2;2; 02333qaMqaFFSN0, 03NAxxFqaFF02, 0)(233aFqaMFMAx0, 03SAyyFFFqaACBaAxFAyFBF24314 截面截面BFB44SF4M4NF0;2; 0444MqaFFSN0, 04NxFF0, 0)(44MFM0, 04SByFFF4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 840;2; 02;2; 02; 0;20;22;2;44423332222111MqaFFqaMqaFFqaMFqaFMqaFqaFqaFqaFqaFSNSNS

58、NSNBAyAxACB轴力图轴力图剪力图剪力图ACBqaACBaAxFAyFBF2431弯矩图弯矩图ACB+2qaqa+2qa-22qa22qa4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 85二、平面曲杆轴力：引起拉伸的轴力为正；弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动 趋势的剪力为正；1、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。2、内力符号的确定4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Northeastern UniversityPAG 86例例4-18 已知已知:如图所示如图所示,F及及R .试绘制试绘制FS、M、FN图图.解：建立极坐标解：建立极坐标,O为极点为极点,OB极轴极轴,q表示截面表示截面mm的位置。的位置。qmmxOFRAB4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力( )(cos )(1 cos ) (0)MFxF RRFRS