02高数第04讲#

1、1考研数学辅导班2证明：证明：时时当当,20, 1 yxa4. 证明不等式证明不等式三、中值定理的应用及辅助函数解题法三、中值定理的应用及辅助函数解题法(续续) 第二部分第二部分 一元函数微分学一元函数微分学( (续续) ).ln)cos(cosaayxaaxxy 例例28证证 中值定理中值定理(Taylor公式公式)、单调性、凹凸性、单调性、凹凸性最大小值是证明不等式的四大方法，此题最大小值是证明不等式的四大方法，此题用中值定理证明属首选。做必要的变形用中值定理证明属首选。做必要的变形,20, 1 yxa当当等价地只要证等价地只要证3aayxaaxxylncoscos 记记,cos)(,)(

2、ttgatft 则因则因),2, 0(, yxCgf,),(,上上可可导导在在yxgf, 0sin)()2, 0( ttg上上且且在在 于是应用于是应用Cauchy中值定理中值定理 ：,),(使使yx sinlncoscosaayxaaxy aa ln )1sin0( ,1 ayx，且且这这是是因因为为 aaxln .xaa 4.)()()(, 00, 0)0(0,)(212121xfxfxxfxxfxf 有有：，证证明明对对任任何何设设例例29证法证法1,)(,0)(严严格格单单调调下下降降xfxf 0)()()()(11 xxfxfxfxH取辅助函数取辅助函数,只须证只须证，可先固定一个可

3、先固定一个对任何正数对任何正数121,xxx,1xxx 0)()()(1 xxfxfxH严严格格单单调调上上升升，这这说说明明)(xH, 0 x, 0) 0()() 0() 0()(11 xfxffHxH. 0)()()()(21122 xxfxfxfxH, 02 xx特特别别对对用导数作研究用导数作研究5证法证法2 用用Lagrange中值定理和中值定理和 的单减性，的单减性，)(xf 并并注注意意到到条条件件且且无无妨妨设设,012xx , 0)0( f)()()(2121xfxfxxf 右右左左 )0()()()(2121fxfxfxxf 2221)()(xfxf 中中值值定定理理)()

4、(212 ffx ,02112xxxx 由由于于2 1 ,2112xxxx 02 1 )()(212 ffx )()()(2121xfxfxxf . 0 6证证明明：且且上上二二阶阶可可导导在在设设), 2 , 1(),(, 0)(,),()(nkbaxxfbaxfk 例例30. )()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn 证证 此题即前面所讲的此题即前面所讲的凸函数凸函数的性质。由条件，的性质。由条件，应想到用应想到用Taylor公式，以下用一阶公式，以下用一阶Taylor展开展开20000)(!2)()()()(xxfxxxfxfxf )()(000 xxxfxf 0)(),(

5、xfbax此题的难点在于如何处理要证结果中的此题的难点在于如何处理要证结果中的 及及kx上述不等式中的上述不等式中的 ，0 x注意到上述不等式注意到上述不等式7), 2 , 1( ,),(nkbaxk 都都成成立立的的是是对对一一切切 再再相相加加故故可可以以依依次次令令), 2 , 1(nkxxk)()()(21nxfxfxf )()(02100 xnxxxxfxfnn ，于于是是只只需需取取nxxxxn 210则则)()()(21nxfxfxf )(21nxxxfnn 立即得到要证的结论立即得到要证的结论. )()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn 8，使使证证明明：且且上上二

6、二阶阶可可导导在在设设),(, 0)()(,)(babfafbaxf .)()()(4)(2afbfabf 例例31s若若 f(x)为上凸函数为上凸函数,更一般地有更一般地有, 1), 2 , 1( , 101 nkkknk 非非必必要要0)( xf nkkknkkkxfxf11)( 证法证法1 反证法请见赵书上反证法请见赵书上P.97-例例2.29.证法证法2 使用一阶使用一阶Taylor 公式公式, 分别在区间分别在区间9两端点展开，两端点展开，的的与与babbabaa,22, )2(baf 4)(! 2)(2)()(22bafbabfbf 4)(! 2)(2)()(21abfabafaf

7、 22)2(! 2)()2)()(bbafbbabfbf 0)(),2,(1 afbaa 4)(! 2)()(21abfaf 4)(! 2)()(22bafbf 0)(),2(2 bfbba 21)2(! 2)()2)()(abafabaafaf )2(baf 10 ! 2)(! 2)(4)()()(212 ffabafbf! 2)(! 2)(4)()()(212 ffabafbf 2)()(4)(212 ffab )(, )(max4)(212 ffab )( f 记记作作2)(4)(),(abfba 使使即即. )()(afbf ( 证法证法2具有一般性具有一般性 )11证法证法3 转化为

8、转化为定积分定积分证证. 具体想法是充分利用具体想法是充分利用 积分与导数的关系积分与导数的关系, 把把 f (x)的二阶导数问题转的二阶导数问题转 化成化成 g(x)的一阶导数的一阶导数, 用用Lagrange中值定理证中值定理证.，则则记记)()(),()(xfxgxfxg )(,)(:xgbaCxg 于于是是所所给给条条件件转转化化为为可可导导，在在),(ba因此问题转化为只要证因此问题转化为只要证:.)()(4)(2 badxxgabg 应用应用Lagrange中值定理中值定理 ，且且0)()( bgag12),)()()()(1axgagxgxg ),)()()()(2bxgbgxg

9、xg xa 1 bx 2 将将g(x)在在a,b积分积分,再取绝对值再取绝对值,利用利用 babadxxgdxxg)()( bbabaadxxgdxxg22)()( bbabaadxxbgdxaxg2221)()()()( iibax 改改写写为为相相应应将将此此处处因因,2/)( 2)(2)()(, )(max2221xbaxgg aba2 2bab 13 8)(8)()(, )(max2221ababgg 4)()(2abg 记记大大者者为为于是得到于是得到.)()(4)(2 badxxgabg badxxfabf)()(4)(2 即即)()()(42afbfab 也得到了我们要证的结果也

10、得到了我们要证的结果.例例32(96, 8分分)设设 f (x)在在0,1上具有二阶导数上具有二阶导数,且且且满足条件且满足条件:,)(,)(bxfaxf 其中其中a, b都是非负常数都是非负常数, c 是是(0,1)内任一点内任一点, 证明证明:.22)(bacf 证证 通过前面的讲解通过前面的讲解, 你应该知道你应该知道, 除了用除了用Taylor公式公式,别无选择别无选择, 而且显然要在而且显然要在 c 点展开点展开21)0(! 2)()0)()()0(cfccfcff 22)1(! 2)()1)()()1(cfccfcff 101 c 102 c15两式相减两式相减, 然后再取绝对值适

11、当放大然后再取绝对值适当放大)()1)(! 21)()0()1(2122cfcfcfff 2122)()1( )(! 21)0()1()(cfcfffcf 22)1(2ccbaa 22)1(),1 , 0(ccc 121)21(22 c.22)(bacf 一元微分学一元微分学部分完部分完16一、一元函数积分的计算一、一元函数积分的计算第三部分第三部分 一元函数积分学一元函数积分学1. 不定积分的计算不定积分的计算2. 定积分的计算定积分的计算3. 广义积分的计算广义积分的计算171. 不定积分的计算不定积分的计算重点重点：换元积分法、分部积分法：换元积分法、分部积分法难点难点：凑微分、换元及分

12、部积分的各种技巧：凑微分、换元及分部积分的各种技巧l赵书赵书P.109P.114(公式公式1416应该记；第应该记；第7项项 不可积的应注意！不可积的应注意！ 灵活运用凑微分；灵活运用凑微分； 记住记住 第二换元法几种常用代换；第二换元法几种常用代换； 掌握能用分部掌握能用分部 积分法的被积函数的类型积分法的被积函数的类型 ) l辅导辅导P.9P.11。18 赵赵P.115-例例3.2不定积分有关概念不定积分有关概念 例例1,)()(,21102)(02 xtdtfxFxxxxxf记记设设函函数数.)(2,0 xFx则则当当21,223110,323 xxxxxAB21,226710,323

13、xxxxxC21,22310,3233 xxxxxxD21,2210,323 xxxxxB19赵赵P.115-例例3.3(6)凑微分凑微分例例2 dxxsin1求：求：解解 dxxsin1 dxxxxsin1sin1sin1 dxxxsin1cos xxdsin1sin xxdsin1)sin1(Cx sin12赵赵P.116-例例3.4(2)凑微分难度级加大凑微分难度级加大例例3.)ln(ln12 dxxxx求：求：20解解 不容易想到的是：不容易想到的是：2ln1lnxxxxd dxxxx2)ln(ln1 dxxxxx22)/(ln1ln1 2)1ln(lnxxxxd 2)1ln()1ln

14、(xxxxd1ln1 xxCxxx ln21赵赵P.117-例例3.5(2)拆项凑微分拆项凑微分例例4解解.1142 dxxxx求求： dxxxx4211 dxxxdxxx44111 dxxxxdx1111214342 )1(11121)1ln(212442xdxxx22Cxxxx 4242111ln21)1ln(21例例5 P.118-例例3.6(2)第二换元法及一题多解第二换元法及一题多解解解1.12 xxdx求求： 12xxdx dttttttansectansecsect x令令 dtCtdt Cx 1arccos? 解解2 12xxdx 211)/1(xxdCx 1arccos23解

15、解3 (倒数代换令倒数代换令 )tx1 12xxdx 11)1(22tdttt 21tdtCx 1arcsin 12xxdx )1(2tttdt解解4 (有理化代换令有理化代换令 ),12tx 221tx 21tdtCt arctanCx 1arctan224(01,6分分)分部积分法分部积分法+ 凑微分或换元凑微分或换元例例6dxeexx 2arctan求求：解解1dxeexx 2arctan xxdee2arctan21)1(arctan21222 xxxxxeedeee)1(1arctan2122222 xxxxxxxdeeeeeee1arctan21222 xxxxxxedeedeee

16、25Ceeeexxxx arctanarctan212dxeexx 2arctandtttt 2arctan解解2 (换元令换元令 , )tex txln 21arctan21tdt111arctan121222dttttt 1arctan121222 tdtdttdtttCeeeexxxx arctanarctan212例例7 P.121-例例3.9特殊问题特殊问题已知已知).(, 0)0(,110, 1)(lnxffxxxxf求求且且 解解 两种情况下两种情况下,1)(ln )(lnxxfxf 所以将所以将原式两边同除以原式两边同除以 x 再积分，再积分， dxxxf)(ln )(ln x

17、f xx110 ttcectt0021 )(tftx ln令令,100, 0)0(21ccf 21ln1cxdxxxcxdxx27 , 1, 021cc xxexx001 )(xf例例8 今年今年02-数学三数学三, 6分分特殊问题特殊问题,sin)s (2xxxinf 设设.)(1 dxxfxx求求：解解与例与例7类似，此题考察你对不定积分法的类似，此题考察你对不定积分法的综合运用的能力综合运用的能力. 做这个题绝对必要的是做这个题绝对必要的是用代换法先找到用代换法先找到 f (x)的表达式的表达式,sins2uxxinu ，则则令令,arcsin)(xxxf ,arcsinux 于是于是2

18、8 dxxfxx)(1 dxxxxxarcsin1 dxxxxxarcsin1 dxxx1arcsin )1(1arcsinxdxx xdx1arcsin2xdxxxx 112arcsin12Cxxx 2arcsin1229P.121-例例3.10(2)有理幂次高有理幂次高,尽量先凑微分尽量先凑微分例例9 dxxxx185求求：解解 dxxxx185 2841121dxxx凑凑t2 x令令 dttt112142 tdttttt)1()11(2122222 2)1()1(212ttttd凑凑Ctttt 2121ln22121Cxxxx 2121ln241222230P.123_例例3.12(2)

19、三角有理式多种解法三角有理式多种解法例例10 dxxxxcossinsin求求：解解1 (万能代换万能代换),2tantx 设设,11cos22ttx 则则,12sin2ttx ,12arctan22dtttddx dtttttttt2222212111212 dxxxxcossinsin31 dttttt)1)(12(422 dttttt)1(112121121212Ctttt arctan)1ln(2121ln2122)2(tan1ln(21)2(tan2tan21ln2122xxx Cx )2arctan(tan32解解2 (加一项减一项，凑微分、代数法加一项减一项，凑微分、代数法等等)

20、 dxxxxcossinsin dxxxxxxcossincoscossin dxxxxxxxcossinsinsincos dxxxxxxxxdxcossinsincossin)cos(sinI =xxxcossinln I所以所以 I= Cxxx cossinln212133解解3 (利用三角公式利用三角公式) dxxxxcossinsin dxxxx)4/sin(cos)4/cos(sinsin21 dxxx)4sin()44sin(21 dxxxx)4sin()4cos()4sin(21 Cxx )4sin(ln212 34P.125-例例3.13(2)根式的多种处置方法根式的多种处置

21、方法例例11 11xxdx求求：解解 有理化常常是必要的，但要配合多种方法。有理化常常是必要的，但要配合多种方法。 11xxdxdxxxx 21)1(dxxxxx 1212dxxxxx )1()1(1)1(2有有理理化化dxxxxxx 11212有有理理化化dxxxxxx 2111224凑凑微微分分配配方方用用公公式式35 41)21(41)(412222xdxxxxxdxxCxxxxxxx 2221ln41212P.126-例例3.14(2)方法综合灵活，难度大方法综合灵活，难度大例例12dxxxxx 22)sincos(求求：解解 此题应该用分部积分解，关键在选此题应该用分部积分解，关键在

22、选 ? 作作 d v. xxxdsincos1dxxxxxxxx2)sincos(cossincos 36 xxxdxxxsincos1sin2dxxxxx 22)sincos(xxdxxxxxxxxsinsincos1)sincos(sin dxxxxxxxxxxxxx2sincossinsincos1)sincos(sin dxxxxxxx2sin1)sincos(sinCxxxxxx cot)sincos(sin37P.127-例例3.16隐函数积分，方法独特隐函数积分，方法独特例例13解解22)()(xyxyxyy 是是由由设设.2 ydx求求所确定的隐函数，所确定的隐函数，通过第三个

23、变量而找到通过第三个变量而找到 y与与 x的关系的关系, 此积分此积分便可解决，因此设便可解决，因此设,txy 222)(xtxxxt 由由,)1(1:2ttx ,)1(122tty dttttdx23)1(32 2ydx于于是是 dtttttt232)1()23()1( dttt23Ctt ln23Cxyxy ln23382. 定积分的计算定积分的计算重点重点：定积分的换元法、分部积分法、：定积分的换元法、分部积分法、 Newton-Leibniz 公式的运用。公式的运用。难点难点：换元法、几种特殊公式、性质及方法：换元法、几种特殊公式、性质及方法 的灵活运用。的灵活运用。l赵书赵书P.13

24、3P.136之之5，注意变上限积分与不，注意变上限积分与不 定积分的联系；换元法的技巧；奇偶、周期定积分的联系；换元法的技巧；奇偶、周期 函数的积分特性；几个特殊结论。函数的积分特性；几个特殊结论。l辅导辅导P.12P.14(定积分与广义积分的概念定积分与广义积分的概念 性质定理、计算法及重要公式、结论。性质定理、计算法及重要公式、结论。)39P.139-例例3.20(2)含绝对值、根式含绝对值、根式(符号符号)例例14.:10tdxtt 求求解解 这叫含参变量的定积分这叫含参变量的定积分. 积分值是积分值是 x的函数，的函数， 依赖依赖 x, 且积分值直接依赖且积分值直接依赖 x 与与 (0

25、,1) 上的上的 t 的的 位置关系，位置关系，0, x当当tdxtt 10tdxtt 10)(231x 1,0 x当当tdxtt 10tdxtttdtxtxx 10)()(22331323333xxxxx 31233 xx401, x当当tdxtt 10tdtxt 10)(312 xtdxtt 10 0,231 xx当当10,31233 xxx当当1312 xx当当02(7分分)求作为变上限积分的函数求作为变上限积分的函数例例15设设 f(x) 10)1(0123222 xexexxxxx.)()(1的的表表达达式式求求tdtfxFx 41解解必须分步让必须分步让 x 遍历遍历 ，再通过变上限，再通过变上限定积分找出定积分找出F(x)的表达式的表达式,)1, 1( ,01时时当当 x,10时时当当 xtdtfxFx 1)()(tdttx 12)232(.212123 xxtdtfxFx 1)()(tdtftdtfx 001)()(tdetettxtt 020132)1()21()11(210 txedt42112100 txxted