概率论与数理统计数学期望与方差专项[共66页]

1、1 1关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章 随机变量的数字特征2 问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；31 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次数

2、1080108910乙次数20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100对于甲来说,、分别是 环、环、 环的概率；2065158910100100100对于乙来说,、分别是 环、环、 环的概率；数学若用期望它们相应的概率表示，就得到了，也称为均值(加权均值)。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。4定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学

3、期记望为即 敛， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx设连续型随机变量 的概率概率为若积分(即)则称积分 的值为随机变量 的，记为 数学期望 即 绝对收敛 数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。5 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函数221 0( )1 (1( )0 0

4、xminexFxF xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指数分布的密度函数12,Nmin XXN串联情况下，故 的分布函数为：问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).202 ()xE Nxedx()2E N从而6 例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。4812()012545459E X 解：X的分布律为：01282 82 11010 910 9kXp0124

5、 58 451 45kXp7 例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？( )5.216E Y 于是 （万元）解：设X表示一周5天内机器发生故障天数， (5, 0.2)Xb则设Y表示一周内所获利润，则5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率为：205100.0570.2050.4100.328kYp8 例5：( ),()XE X 。设 求() 0,1, 0!keXP Xkkk

6、解： 的分布律为：X的数学期望为：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即9 例6：( , )()XU a bE X。设 ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度为： 其他X的数学期望为：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即数学期望位于区间的中点10几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX则则的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为、设、设则则、设、设则则、设、设则则、设、设则则、设、设11 (),YXYg

7、Xg定理：设 是随机变量 的函数：是连续函数(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若绝对收敛，则有( )Xf x是连续型随机变量，它的概率密度为( )E YYX定理的在于我们求时，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意义可以了。( ) ( )g x f x dx若 绝对收敛( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx则有X是离散型随机变量，它的分布律为：上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。12 ,X Y若二维离散型随机变量的分布律为：,(, ),ZX YZg X

8、Yg定理：设 是随机变量的函数：是连续函数(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp则有这里设上式右边的级数绝对收敛，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 则有这里设上式右边的积分绝对收敛,X Y若二维连续型随机变量的概率密度为：()( , )E Xxf x y dxdy 特别地，13 例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0

9、, xXf x解： 的密度函数为：其他2214xdx71224XS14 例8：,X Y设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求随机变量的数学期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解：15 例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求数学期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx

10、 解：321323 0123( )( )( ) 12 0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，这里 其他考虑：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11()( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算对了吗？哪个更容易呢?1610例 ：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间10,20上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量

11、，商店可从它处调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该种商品每周所获得利润的数学期望。1000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则 (, )1100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互独立，因此的概率密度为其他202020101010( )( , ) ( , )10001 100500() 1 10014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxydydxxydy 元）17数学期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc将上面三项合起来就是：这一性质可以

12、推广到任意有限个随机变量线性组合的情况( )CE CC设 是常数，则有1.()()XCE CXCE X设 是一个随机变量， 是常数，则有2.,()()( )X YE XYE XE Y设是两个随机变量，则有3.,()() ( )X YE XYE X E Y设是相互独立的随机变量，则有4.18证明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常数，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面仅对连续型随机变量给予证明：19 dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，则则密密度度为为的的概概率率二二维维随随机机变变量量：设设证证

13、明明 dydxyxyfdydxyxxf),(),()()()()(YEXEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),(20 dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，则则密密度度为为的的概概率率二二维维随随机机变变量量：设设证证明明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(独独立立与与)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 21定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , 0!keX

14、P Xkkk的分布律为：()E X由上节例5已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。设，求 30 例4：( , )() XU a bD X。设，求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其他()2abE X上节例6已算得：21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：X的概率密度为：31 例5：设随机

15、变量X服从指数分布，其概率密度为：1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x dx解：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx 22()() ()D XE XE X于是 222232方差的性质： 22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y综合上述三项，设相互独立，是常数，则( )0CD C 1. 设 是常数，则2()()XCD CXC D

16、 X2. 设 是随机变量， 是常数，则有,()()( )2()( ),()()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XD Y3. 设是两个随机变量， 则有 特别，若相互独立，则有4. ()0()1 ()D XP XCCE X且33 证明：21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE Y

17、D XD YEXE XYE Y4. 证略。,()( )()( )() ( )0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y当相互独立时，与相互独立故所以34X与与Y 相互独立：已知相互独立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3 。 E(X-2Y)；D(X-2Y) 。解：由数学期望和方差的性质解：由数学期望和方差的性质 35 例6： ( , )(),()X b n pE XD X。设，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-pp12 nXXXX易知：11()()()nniiiiE XEXE X

18、np故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD XnppXnAp。解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P(A)= 引入随机变量：12,0 1nXXX于是相互独立，服从同一分布：,0 1n pnp以为参数的二项分布变量，可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的分布的随机变量之和。36 例7： 解：2 ( ,)(),()X NE XD X 。设，求XZ先求标准正态变量的数学期望和方差221( )2tZte的概率密度为：221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )XZE XEZD XDZD Z因为，故2( )()

19、D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。37011222222220111122212 (,(,) 1,2, ) ,nnnnnniiinCC XC XC XN CCCXNCCinC CCC 若且它们相互则它们的线性组合独立是不全：为0的常数 (1,3)(2,4),23( 4,48)XNYNX YZXYN如:，且相互独立，则n独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：38 例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。2 (22.40,0.

20、03 ),X N2 (22.50,0.04 ),Y N()(0)P XYP XY解：按题意需求2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.977239表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或分布率或 密度函数密度函数 分布分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1

21、,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )EP,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 240几个与期望及方差有关的练习题几个与期望及方差有关的练习题1、设、设X的数学期望的数学期望E(X)=2,方差方差D(X)=4,则则E(X2)= ；2、设、设X B(n,p),已知已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,则则 n= ; P= ;3、设、设X P()，且，且P(X=1)=P(X=2),则则E(X)= , D(X)= ;8820.22413 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X

22、与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： ()( )(, )(, )()( ) .(, )()( )XYXYEXE XYE YXYCov X YCov X YEXE XYE YCov X YD X D YXY量称为随机变量 与 的协方差，记为：，即称为随机变量 与 的相关系数.是一个无量纲的量42 dxdyyxfYEyXExyxpYEyXExjiijji),()()(),()()(协方差的计算协方差的计算)()(),()(YEYXEXEYXCOV 定定义义法法：1证证(2):(2):)()()(),()(YEXEXYEYXCOV 公式法：公式

23、法：2)()(),(YEYXEXEYXCOV )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()()()()()(YEXEXEYEYEXEXYE )()()(YEXEXYE 注注: X,Y相互独立相互独立 0 ),cov(YX43 协方差的性质：(,)? ()?Cov aXbY cXdYD aXbY22()( )()(, ) ()( )2(, )acD XbdD Yadbc Cov X Ya D Xb D YabCov X Y答案：思考题：思考题： (, )( ,)(,)()1. Cov X YCov Y XCov X XD X， (,2. )()() ( )Cov X YE XYE X

24、E Y (,)(, ) ,3. Cov aX bYabCov X Ya b是常数1212 (, )(, )(,4.)Cov XXYCov X YCov XY5)()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y44124)()COV XXY，)()()()()()(YEXEYXEYEXEYXE2211 )()()(YEXXEYXXE2121 证明证明4)4)：利用利用)()()()(YEXEXEYXYXE2121 )()()(),(YEXEXYEYXCOV ),(),(21YXCOVYXCOV 45例例1、设设(X,Y)的分布律为：的分布律为：0101-p010pXY求求COV(X,Y

25、).求解求解用用)()()(),(YEXEXYEYXCOV ppyxXYEijijji )()(解解：XY0101-p010p460101-p010pXYjp. ipp1pp1p147易知易知:X01Y01E(X)=P E(Y)=P)()()(),(YEXEXYEYXCOV )1()(22ppppppyxijijji ipp 1pjpp 1p48例例2：设设(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：).,(.,;,),(YXCOVyxyxyxf求求其其它它 01010)()()(),(YEXEXYEYXCOV 解：解： dxdyyxfxyXYE),()()(31)(1010 dyyxxydx49

26、1010)(dyyxxdxXY11D0 dxdyyxxfXE),()(127 50 1010)(dyyxydx127 dxdyyxyfYE),()(：同同理理1441127312 )()()()(),(YEXEXYEYXCOV51 0, 10, 1)0(211aaabaXYXYXY ）（）（相关系数的性质相关系数的性质线性关系线性关系52证明（证明（1）Rk 022 )(),cov()()(YDYXkXDkYkXD 0442 )()(),cov(YDXDYX122 )()(),(covYDXDYXXY 1 XY 53baXY )2()()()()(),cov(),cov(XaDXEXaEbaX

27、EbaXXEXEbaXXYX 2)()()(XDabaXDYD2 aaXDaXDXaDYDXDYXCOVXY )()()()()(),( 0, 10, 1aa 略略54不相关不相关, 0 XY 相关系数的意义相关系数的意义 相关系数是描述了相关系数是描述了X与与Y线性相关程度线性相关程度负负相相关关正正相相关关, 0,0 XYXY X,Y不相关不相关(弱弱)X,Y相互独立相互独立(强强)(没有线性关系）没有线性关系）(没有任何关系）没有任何关系）可能会有别的关系，可能会有别的关系，如二次关系。如二次关系。55复习公式复习公式()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y()()(

28、)2()( )XYD XYD XD YD XD Y()()( )2()( )D XYD XD YEXE XYE Y56实用的相关系数计算公式实用的相关系数计算公式(, )()( )XYCov X YD X D Y22()( ) ( ,)()( ,)( )( ,)ijijijiijjijijijxE XyE Yp x yxE Xp x yyE Yp x y22()( )()( )ijijiipiiiiixE XyE YxE XyE Y 57 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(| X| =|Y| )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独

29、立？ .,10111 401 211 41 41 21 4jiX YXYpp解： 先求的联合分布率：000001 41 41 41 458()( 1) 1 40 1 2 1 1 40()( 1) ( 1) 1 4( 1) 1 1 41 ( 1) 1 4 1 1 1 40E XE XY (, )0,OVYCX YX所以，与即不相关.(1,1)0,(1) (1)1 4 1 4P XYP XP Y (1,1)(1) (1)P XYP XP YXY 所， 与以不独立。59 21222112222212121 ( , )21()()()()1exp22(1) f x yxxyyXYXYXY 它的概率密度

30、为：求 和 的相关系数，并证明 与 相互独立与 不相关,X Y解：由于的边缘概率密度为：121()2211( ) 2XXfxex ；222()2221( ) 2YYfyey 续221122(),()( ),( )E XD XE YD Y所以；),(),(222121 NYX二二维维正正态态例例 26012(, )()()Cov X YEXY而12()() ( , )xyf x y dxdy 121()221221222212212()()2211()2(1)Xxyedxexpyxdy 121()221221211()()2Xxexdx 121()2222111() 2Xxedx 221121

31、(, )()( )XYCov X YD XD Y于是续61(, ),X YX YX Y即二维正态变量的概率密度中的参数就是的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。 (, )0 (, )XYXYXYX YXYX Y若服从二维正态分布，那么 和 相互独立现在知道，从而和 不相知：对于二维正态变量来关，与说相互独立62 例3：设X,Y相互独立服从同一分布， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？,( , )(,)()( )0VCOV U VCOV XY XYD XD YUV解： 先求U的协方差：所以， 与 一定不相关。1UVXYUV当与 不一定独立。举例如下：（） 设 与