第一章 多项式

1、(1)域域F上的多项式上的多项式f(x)与与g(x)互素当且仅当存在互素当且仅当存在多项式多项式u(x)和和v(x)，使得：，使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.以下设以下设f，g，h，f1，f2是多项式。是多项式。(2)若若(f, g)=1且且f |gh，则，则f |h.(3)若若(f1, f2)=1且且f1|g，f2|g,则则f1f2|g.(4)若若(f, g)=1, (f, h)=1，则，则(f, gh)=1.(5)若若(f, g)=1，则，则(fg, f+g)=1.(6)若若f无重因式，则无重因式，则(f, f )=1.2.不可约多项式不可约多项式 数域数域P上次数上次数1的

2、多项式的多项式p(x)称为域称为域P上的不可上的不可约多项式，如果它不能表成数域约多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。低的多项式的乘积。(1)设设p(x)是不可约多项式且是不可约多项式且p(x)|f(x)g(x)，则必有，则必有p(x)|f(x)或或p(x)|g(x). (3)不可约多项式不可约多项式p(x)是是f(x)的的k重因式，则它是重因式，则它是f(x)的的k-1重因式，从而它是重因式，从而它是f(x)，f(x)，f(k-1)(x)的因式，的因式，但它不是但它不是f(k)(x)的因式的因式3.多项式的根多项式的根(1)n次多项式在复数域上有

3、次多项式在复数域上有n个根。个根。(2)a是多项式是多项式f(x)的根当且仅当的根当且仅当f(a)=0.(3)设设 +an，n,21是是f(x)的根的根,则则其中（其中（i1,i2, ,ik）是）是1,2, ,n取取k个数的任一组合。个数的任一组合。kkiiiiiikka,2121) 1(4)设设 +a0是整系数多是整系数多项式，项式，r/s是是f(x)的有理根且的有理根且r与与s互素，则必有互素，则必有s|an，r|a0。特别地，若。特别地，若an=1,则则f(x)的有理根都是整数，且的有理根都是整数，且一定是一定是a0的约数（因子）。的约数（因子）。(5)f(x)的各项系数同号，则的各项系

4、数同号，则f(x)无正根。无正根。(6) 若多项式若多项式f(x)的奇次项和偶次项符号相反，则的奇次项和偶次项符号相反，则f(x)无负根。无负根。(7)实系数多项式实系数多项式f(x)的正根个数等于它的系数的变的正根个数等于它的系数的变号数，或较系数的变号数多一个偶数。号数，或较系数的变号数多一个偶数。(8) 奇次实系数多项式至少有一个实根。奇次实系数多项式至少有一个实根。(9) 实系数多项式实根个数与其次数有相同的奇偶性。实系数多项式实根个数与其次数有相同的奇偶性。4.对称多项式对称多项式(1) 下列多项式为基本对称多项式：下列多项式为基本对称多项式：nxxx211nnnxxxxxxxx11

5、31212nnxxx21(2) 任一对称多项式任一对称多项式f(x1,x2, ,xn)都能表示为基本对都能表示为基本对称多项式的多项式，即：称多项式的多项式，即：),(),(2121nnxxxf(4)牛顿多项式牛顿多项式设设nnnnnxxxxxxxxxf) 1()()()(1121knkkkxxxs21则当则当kn时时0) 1() 1(1112211kkkkkkkssss则当则当kn时时0) 1(2211nknnkkkssss二、基本方法二、基本方法 1.关于最大公因式的证明，一般有以下几种方法：关于最大公因式的证明，一般有以下几种方法： (1)利用定义；利用定义； (2)证明等式两边能互相整

6、除；证明等式两边能互相整除； (3)如果如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且，且g(x)0 ，那么，那么(f(x),g(x)=(g(x),r(x) (4)如果如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有，且有u(x)，v(x) Px 使使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，则，则d(x)是是f(x)，g(x)的一个的一个最大公因式。最大公因式。 2.将对称多项式表为初等对称多项式的方法：将对称多项式表为初等对称多项式的方法： 方法一方法一:逐步消去首项法逐步消去首项法 第一步第一步:首先找出对称多项式首先找出对称多项式f的首项的首项 则一定有则一定有:k1k2kn;,21

7、210nknkkxxxa 第二步第二步:由由f的首项写出的首项写出 :nnnknkknkkkk第三步第三步:作作 ,并展开化简并展开化简.11 ff 再对再对f1按第一、二、三步进行按第一、二、三步进行,构造构造 .如此反复进行如此反复进行,直至出现直至出现 ,则则 .212 ff01kkkffkf321 方法二方法二:待定系数法待定系数法 设设f是是m次齐次对称多项式次齐次对称多项式,用待定系数法求解的用待定系数法求解的一般步骤为一般步骤为: 第一步第一步:根据根据f的首项指标组写出所有可能的指标的首项指标组写出所有可能的指标组组(k1,k2,kn),这些指标组应满

8、足这些指标组应满足 k1k2kn; k1+k2+kn=m; 前面的指标组先于后面的指前面的指标组先于后面的指标组标组. 第二步第二步:由指标组由指标组(k1,k2,kn)写出对应的初等对写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积称多项式的方幂的乘积:nnnknkknkkkk13221121 第三步第三步:设出设出f由所有初等对称多项式的方幂乘积由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式的线性表达式,其首项系数即为其首项系数即为f的首项系数的首项系数,其余各其余各项系数分别用项系数分别用a,b,c,代替代替. 第四步第四步:分别选取适当的分别选取适当的xi(i=1,2,n)的值的值,计算计算 及及f,

9、代入第三步中设出的表达式得到代入第三步中设出的表达式得到关于关于a,b,c,的线性方程组的线性方程组,解这个线性方程组求得解这个线性方程组求得a,b,c,的值的值,最后写出所求的最后写出所求的f的表达式的表达式.n,21三、例题选讲三、例题选讲 1.(大连理工大学大连理工大学,2004年年)设设f(x),g(x)是有理系数多是有理系数多项式项式,且且f(x),g(x)在复数域内无公共根在复数域内无公共根,则则f(x),g(x)在有在有理数域上的最大公因式是理数域上的最大公因式是 . 解答解答:答案是答案是1. 因为因为f(x),g(x)在复数域内无公共根在复数域内无公共根,那么他们在复那么他们

10、在复数域上的最大公因式为数域上的最大公因式为1,又由有理数域属于复数域又由有理数域属于复数域,那么由多项式的性质可知它们在复数域上的最大公那么由多项式的性质可知它们在复数域上的最大公因式与在有理数域上的最大公因式相同因式与在有理数域上的最大公因式相同,都为都为1. 2.(南京大学南京大学,2005年年) 设设f(x)=x6-10 x5+6x4-310 x3-580 x2+20 x-1115,则则f(12)= . 解答解答:答案是答案是2005.利用余数定理将利用余数定理将f(x)用多项式的用多项式的除法除以除法除以x-12.(一一)填空题：填空题： 3.(天津大学天津大学,2002年年)设设f

11、(x)=x3-7x2+7x+15,g(x)=x2-x-20.则则(f(x),g(x)= . 解答解答:答案是答案是x-5. 4.(北京交通大学北京交通大学,2005年年) 设设p是素数是素数,则多项式则多项式xp+px+p和和x2+p的最大公因式为的最大公因式为 . 解答解答:答案是答案是1. 5.(厦门大学厦门大学,2007年年) 设设f(x),g(x)是有理系数多项式是有理系数多项式,且且f(x),g(x)在复数域上有在复数域上有f(x)整除整除g(x),则在有理数域则在有理数域上上 (选填选填“一定一定”或或“未必未必”)有有f(x)整除整除g(x). 解答解答:答案是一定答案是一定.(

12、整除的定义与数域扩大整除的定义与数域扩大(或缩小或缩小)无关无关) 分析：可利用辗转相除法或综合除法得出答案。分析：可利用辗转相除法或综合除法得出答案。 6.(天津大学天津大学,2002年年)多项式多项式x3+3px+q有重根的条有重根的条件是件是 . 解答解答:答案是答案是 或或 . 解答解答:答案是答案是1. 8.(北京交通大学北京交通大学,2004年年) 已知方程已知方程2x4-x3+2x-3=0只有一个有理根只有一个有理根,它就是它就是x= . 解答解答:答案是答案是1. 7.(大连理工大学大连理工大学,2005年年) 设设f(x)是有理数域上的不是有理数域上的不可约多项式可约多项式,

13、 为为f(x)在复数域内的一个根在复数域内的一个根,则则 的的重数为重数为 .2qp pi2qp pi 9.(北京交通大学北京交通大学,2004年年)如果如果f(x) =x3-3x+k有重根有重根,则则k= . 解答解答:答案是答案是2或或-2（不能写成（不能写成2）. 解答解答:答案是答案是rx3+qx2+px+1=0. 10.(北京交通大学北京交通大学,2005年年) 设设3次方程次方程x3+px2+qx+r=0,r0,则以该方程的根的倒数为根的则以该方程的根的倒数为根的3次方程为次方程为 .(二二)、综合题、综合题考点考点1：数域、整除、最大公因式与互素多项式：数域、整除、最大公因式与互

14、素多项式：主要考查数域的定义、多项式之间整除与辗转相除主要考查数域的定义、多项式之间整除与辗转相除法、最大公因式的定义和性质，以及互素多项式的法、最大公因式的定义和性质，以及互素多项式的性质。性质。例例1.1.1（上海交大，（上海交大，2002年）设年）设f1(x)=af(x)+bg(x)，g1(x)=cf(x)+dg(x)，且，且证明证明: (f(x),g(x)=(f1(x),g1(x)0dcba 证证:令令d(x)=(f(x),g(x)，d1(x)=(f1(x),g1(x)，显然有，显然有d(x)|f(x) ，d(x)|g(x).由由f1(x)，g1(x)可以由可以由f(x)，g(x)线性

15、线性表出，可知表出，可知d(x)|f1(x)，d(x)|g1(x)，那么有，那么有d(x)|d1(x). 由于由于 ，则矩阵，则矩阵 可逆，那么可以求可逆，那么可以求出它的逆阵，使得出它的逆阵，使得f(x),g(x)可以被可以被f1(x),g1(x)线性表出，线性表出，与上面同样的过程可以证得与上面同样的过程可以证得d1(x)|d(x)，又由，又由d(x),d1(x)的首项系数都为的首项系数都为1，可知，可知d(x)=d1(x) 0dcbadcba例例1.1.2（哈工大，（哈工大，2005年）设年）设f (x)，g(x)都是实数都是实数域域R上的多项式，上的多项式，aR.(1)证明证明:g(x

16、)-g(a)|f(g(x)-f(g(a)(2)问问x3-a|f(x3)-f(a)是否成立，为什么？是否成立，为什么？ (1) 证证:令令y=g(x),考虑多项式：考虑多项式：h(y)=f(y)-f(g(a)由由h(g(a)=f(g(a)-f(g(a)=0可知可知(y-g(a)|h(y)即即g(x)-g(a)|f(g(x)-f(g(a) (2) 解解:令令 ，注意用到上一问的结论，将，注意用到上一问的结论，将上一问中的上一问中的a换成这里的换成这里的b，将上一问的，将上一问的g(x)换成这换成这里的里的x3，可得，可得x3-a|f(x3)-f(a) 3ab 例例1.1.3（哈工大，（哈工大，20

17、06年）已知年）已知f (x)，g(x)是数域是数域P上两个次数大于零的多项式，且存在上两个次数大于零的多项式，且存在u1(x),v1(x) Px，使得，使得u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，问是否存在，问是否存在， u(x),v(x) Px，使得，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1， ，如果存在，这样，如果存在，这样的的u(x),v(x)是唯一的吗？说明理由。是唯一的吗？说明理由。)()(xgxu)()(xfxv 解：由解：由u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1 ，若有，若有u1(x)的次数大的次数大于于g(x)的次数，由带余除法有：的次数，由带余除法有：u1(x)=

18、g(x)q(x)+u(x),)()(xgxu带入上一式得：带入上一式得：f(x)(g(x)q(x)+u(x)+g(x)v1(x)=1,即即易得：易得：f(x) (u1(x)-u2(x)=g(x) (v2(x)-v1(x)f(x)u(x)+g(x)(f(x)q(x)+v1(x)=1,令令v(x)=f(x)q(x)+v1(x),则有：则有：)()(xfxv否则由比较次数可知上式将不可能成立。否则由比较次数可知上式将不可能成立。关于唯一性的证明，可以假设关于唯一性的证明，可以假设u2(x),v2(x)也满足条也满足条件，那么有：件，那么有： u1(x)f(x)+v1(x)g(x)= u2(x)f(x

19、)+v2(x)g(x)=1由由f (x)与与g(x)互素，可知互素，可知g(x)| (u1(x)-u2(x)又由又由)()()(21xgxuxu可得可得u1(x)-u2(x)=0,即即u1(x)=u2(x),这时有这时有v1(x)=v2(x).例例1.1.4（华南理工大，（华南理工大，2006年）设年）设f (x)，g(x) 是实是实数域数域P上的多项式，证明：上的多项式，证明： f (x)|g(x)当且仅当对于当且仅当对于任意大于任意大于1的自然数的自然数n， f n(x)|gn(x).证明证明: 必要性显然成立，下证充分性。必要性显然成立，下证充分性。 设设g(x)在数域在数域P上的不可约

20、分解为：上的不可约分解为： 其中其中pi(x)为互不相同的不可约多项式，则：为互不相同的不可约多项式，则：)()()()(2121xpxpxcpxgkekee)()()()(2121xpxpxpcxgkneknenenn 若有若有f n(x)|gn(x) ，则：，则： 其中其中d是某个常数，因此有：是某个常数，因此有： f (x)|g(x). )()()()(2121xpxpxdpxfknfknfnfniief0例例1.1.4（天津大学，（天津大学，2002年）如果年）如果d(x)|f (x)， d(x)|g(x) ,且且d(x)为为f (x)，g(x)的一个组合，证明：的一个组合，证明： d

21、(x)是是f (x)与与g(x)的一个最大公因式。的一个最大公因式。 证明证明：显然：显然d(x)是是f (x)与与g(x)的一个公因式，现的一个公因式，现在要证明它是最大公因式。在要证明它是最大公因式。 任取任取h(x)|f (x)， 且且h(x)|g(x) ，由于，由于d(x)可以表可以表示为示为f (x)与与g(x)的一个组合，那么有的一个组合，那么有h(x)|d(x) ，即，即d(x)是是f (x)与与g(x)的一个最大公因式。的一个最大公因式。（重大，（重大，2004，南京理工大，南京理工大，2004都考过）都考过）例例1.1.6（北京科技大学，（北京科技大学，2004年）求一个三次

22、多项年）求一个三次多项式式f (x)， 使得使得f (x)+1能被能被(x-1)2整除，而整除，而f (x)-1能被能被(x+1)2整除。整除。 解：由题知解：由题知f /(x)能被能被x-1和和x+1整除，又由整除，又由f (x)是一个三次多项式，那么是一个三次多项式，那么f (x)是一个二次多项式，是一个二次多项式，于是可设于是可设f (x)=a(x+1)(x-1)=ax2-a，积分易得，积分易得f(x)=(a/3)x3-ax+b（其中（其中a,b为常数）为常数）由题可知：由题可知：f(1)=-1，f(-1)=1，将这两个条件代入方，将这两个条件代入方程中易解得程中易解得 ,那么有：那么有

23、：f(x)=(1/2)x3-(3/2)x 02/3ba(中山大学，中山大学，2007：试求一个：试求一个9次多项式次多项式f (x)， 使得使得f (x)+1能被能被(x-1)5整除，而整除，而f (x)-1能被能被(x+1)5整除。整除。答案：答案：中科院，中科院，2005：试求一个：试求一个7次多项式次多项式f (x)， 使得使得f (x)+1能被能被(x-1)4整除，而整除，而f (x)-1能被能被(x+1)4整除。整除。答案：答案： )xxxxxxf1283153210564189324512835)(3579xxxxxf163516351621165)(357考点考点2：因式分解与不

24、可约多项式：因式分解与不可约多项式(1)证明：存在实数证明：存在实数c(0c1)，使得，使得f(c)=0，这里，这里f(x)为为f(x)的导函数。的导函数。(2)在在Qx中将中将f(x)分解为不可约因式之积分解为不可约因式之积例例1.2.1（上交大，（上交大，2005年）假设年）假设1413121222111)(33232xxxxxxxf (1) 证证:由由而显然而显然f(x)是一个多项式，在区间是一个多项式，在区间0,1上连续，在上连续，在区间区间(0,1)上可导，根据上可导，根据Rolle定理，存在实数定理，存在实数c(0c0，这将导致矛盾。于是，这将导致矛盾。于是g(x)在有理数在有理数

25、域上不可约。域上不可约。 (2)解解:对于整数对于整数t-1，h(x)在有理数域上可能可约，在有理数域上可能可约，也可能不可约。例如，也可能不可约。例如，t=0时，显然有时，显然有h(x)在有理数在有理数域上可约。将域上可约。将t=1，n=2，a1=1，a2=0代入，可得代入，可得h(x)=x2-x+1，显然它在有理数域上不可约。，显然它在有理数域上不可约。 注：注： 本原多项式的定义为：本原多项式的定义为： 一个非零整系数多项一个非零整系数多项式：式： g(x)=bnxn+bn-1xn-1+b0 ，如果它的各项系数，如果它的各项系数的最大公因数只有的最大公因数只有1，则，则g(x)是一个本原

26、多项式。是一个本原多项式。 对于本原多项式或整系数多项式，有如下重要对于本原多项式或整系数多项式，有如下重要的性质：若整系数多项式（或者本原多项式）在有的性质：若整系数多项式（或者本原多项式）在有理数域上可约，则它在整数集合上也可约，即可分理数域上可约，则它在整数集合上也可约，即可分解为次数较低的整系数多项式之积。解为次数较低的整系数多项式之积。 (2) 在有理数域上求多项式在有理数域上求多项式g(x)=x4+2x3-11x2-12x+36的标准分解式。的标准分解式。 例例1.2.3（四川大学，（四川大学，2004年）年）(1)设多项式设多项式f(x)=(x-1)(x-2)(x-2(n-1)+1，其中，其中n为非负整数，为非负整数，证明：证明：f(x)在有理数域上一定可约。在有理数域上一定可约。 (1) 证证:若若f(x)在有理数域上可约，那么由它是在有理数域上可约，那么由它是整系数多项式，则有它在整数集合上可分解。于是整系数多项式，则有它在整数集合上可分解。于是存在两个整系数多项式存在两个整系数多项式h(x),k(x),使得使得f(x)= h(x)k(x). 注意到注意到f(i)=1，i=1,2,2n-1，于是，于是h(i)k(i)=1， i=1,2,2n-1. 令令l(x)= h(x)-k(x).由由h(x)与与k(x)的次数小于的次数小于2n