高代与解几复习上册PPT优秀课件

1、10/9/20211第一章第一章 向量代数向量代数向量的代数运算、内积、外积和混合积向量的代数运算、内积、外积和混合积 向量的线性相关性和仿射坐标系向量的线性相关性和仿射坐标系加法规则加法规则: 三角形法则三角形法则, 平行四边形法则平行四边形法则, 多边形法则多边形法则仿射坐标系仿射坐标系, 直角坐标系直角坐标系两个向量共线两个向量共线它们线性相关它们线性相关坐标成比例坐标成比例三个向量共面三个向量共面它们线性相关它们线性相关混合积为零混合积为零坐标组成的行列式为零坐标组成的行列式为零四个空间向量必线性相关四个空间向量必线性相关10/9/20212向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示10/9

2、/20213向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示10/9/20214内积的基本性质内积的基本性质两个向量正交当且仅当它们的内积为零两个向量正交当且仅当它们的内积为零10/9/20215外积的运算性质外积的运算性质外积的交换律和结合律都不成立外积的交换律和结合律都不成立两个向量共线当且仅当它们的外积为零两个向量共线当且仅当它们的外积为零10/9/20216第二章第二章 行列式行列式置换置换: :逆序对逆序对, ,逆序数逆序数, ,符号符号( (排列的符号排列的符号) )行列式的定义行列式的定义: : n n阶方阵的一个函数阶方阵的一个函数; ; n!n!个项的和个项的和, , 每一个项带正负号每

3、一个项带正负号( (第二个指标的排列的第二个指标的排列的符号符号),),每一行取一个元每一行取一个元, , 且要求且要求n n个元所在的列不同个元所在的列不同行列式的性质行列式的性质: :计算行列式的方法计算行列式的方法克拉默法则克拉默法则: :求解特殊的线性方程组求解特殊的线性方程组行列式按一行或一列展开行列式按一行或一列展开拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : 行列式按多行或多列展开行列式按多行或多列展开10/9/20217行列式的性质行列式的性质(1) 性质性质 1.10/9/20218行列式的性质行列式的性质(2)性质性质 2.性质性质 3. 行列式有一行行列式有一行(或一列或一列)全为零时

4、全为零时, 行列式为零行列式为零.性质性质 4. 交换行列式的两个行交换行列式的两个行, 行列式改变符号行列式改变符号.性质性质 5. 行列式有两行行列式有两行(或两列或两列)成比例时成比例时, 行列式为零行列式为零.性质性质 6. 把行列式的某一行把行列式的某一行(或某一列或某一列)的的 c 倍加到另一行倍加到另一行(或或另一列另一列)上上, 行列式的值不变行列式的值不变.10/9/20219展开定理，克拉默法则展开定理，克拉默法则10/9/202110第三章第三章 线性方程组与线性子空间线性方程组与线性子空间线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程线性方程组的初等变换把线性方程组

5、变成与它同解的方程组组.任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵矩阵. 任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵阶梯形矩阵.非齐次线性方程组的解的情况非齐次线性方程组的解的情况: 唯一解唯一解, 无解无解, 无穷多解无穷多解齐次线性方程组的解的情况齐次线性方程组的解的情况: 有非零解的条件有非零解的条件几个相关概念几个相关概念: 主变量主变量, 自由未知量自由未知量, 一般解一般解, 齐次线性方程组的秩齐次线性方程组的秩10/9/202111第三章第三章 线性方程组

6、与线性子空间线性方程组与线性子空间非齐次线性方程组的求解非齐次线性方程组的求解: : 初等行变换初等行变换( (简化简化) )行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵若出现矛盾若出现矛盾, , 则方程组无解则方程组无解( (秩秩A,b=A,b=秩秩A+1);A+1);否则有解否则有解( (秩秩A,b=A,b=秩秩A): A): 若秩若秩A=n, A=n, 有唯一解有唯一解; ; 若秩若秩An, An, 有无穷多解有无穷多解. .齐次线性方程组的求解齐次线性方程组的求解: : 秩秩A=n, A=n, 有唯一解有唯一解; ; 若秩若秩An, An, 有无穷多解有无穷多解. .若若A A为方阵为方阵, , 则则AX

7、=0AX=0有非零解有非零解det(A)=0det(A)=0齐次线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构: : 基础解系张成的线性子空间基础解系张成的线性子空间非齐次线性方程组的解的结构非齐次线性方程组的解的结构: : 一个特解与齐次线性方程一个特解与齐次线性方程组的解的和组的解的和( (线性流形线性流形) )10/9/202112第三章第三章 线性方程组与线性子空间线性方程组与线性子空间线性相关性与线性方程组线性相关性与线性方程组线性子空间线性子空间线性子空间的交集是线性子空间线性子空间的交集是线性子空间线性子空间的和是线性子空间线性子空间的和是线性子空间任何线性子空间都包含任何线性子空

8、间都包含0 0元素元素若干向量的线性组合的全体的集合是线性子空间若干向量的线性组合的全体的集合是线性子空间( (生成子空生成子空间间) )齐次线性方程组的解集是线性子空间齐次线性方程组的解集是线性子空间基基: : 可以表示所有向量的线性无关可以表示所有向量的线性无关向量组向量组基的存在性、性质基的存在性、性质维数和秩的概念维数和秩的概念10/9/202113第四章第四章 利用向量、利用向量、 行列式和线性方程组的理论研究几何空间中的行列式和线性方程组的理论研究几何空间中的平面与直线的仿射性质和度量性质平面与直线的仿射性质和度量性质平面的方程平面的方程一般方程、三点式方程、参数方程、点法式方程一

9、般方程、三点式方程、参数方程、点法式方程直线的方程直线的方程标准方程、参数方程、两点式方程、一般方程标准方程、参数方程、两点式方程、一般方程平面之间的位置关系：相交、平行、重合平面之间的位置关系：相交、平行、重合从秩的观点看从秩的观点看直线之间的位置关系：相交、平行、重合、异面直线之间的位置关系：相交、平行、重合、异面直线与平面的位置关系：相交、平行、包含直线与平面的位置关系：相交、平行、包含点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离两个平面的夹角、平面与直线的夹角、公垂线两个平面的夹角、平面与直线的夹角、公垂线10/9/202114第五章第五

10、章矩阵的秩矩阵的秩线性方程组有解当且仅当方程组的系数矩阵系数矩阵与增线性方程组有解当且仅当方程组的系数矩阵系数矩阵与增广矩阵有相同的秩：广矩阵有相同的秩：且当秩与未知量的个数相等时且当秩与未知量的个数相等时, , 方程组的解是唯一的方程组的解是唯一的齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解秩秩nn在取定线性空间的基后在取定线性空间的基后, ,线性变换与矩阵之间存在一一对应线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系的关系矩阵加法与减法运算矩阵加法与减法运算矩阵的乘法与除法（逆）运算矩阵的乘法与除法（逆）运算分块、初等矩阵分块、初等矩阵初等变换与矩阵的乘积的关系初等变换与矩阵的乘积的关系矩阵的逆的求

11、法、矩阵方程的求解（初等行变换）矩阵的逆的求法、矩阵方程的求解（初等行变换）10/9/202115第六章第六章 (1) 概念概念线性空间线性空间: : 一个非空集合，一个数域，两种代数运算，八一个非空集合，一个数域，两种代数运算，八条规则条规则欧几里得空间欧几里得空间: : 线性空间线性空间 + + 内积（对称性、线性、正定性）内积（对称性、线性、正定性）长度、夹角（正交）长度、夹角（正交）线性空间同构线性空间同构: : 存在映射满足存在映射满足 1) 1) 一一映射一一映射; 2) ; 2) 线性线性; ;欧几里得空间同构欧几里得空间同构: : 存在线性空间同构映射且保内积；存在线性空间同构

12、映射且保内积；同构同构维数相同维数相同基、维数、坐标；正交向量组、正交基、规范正交基基、维数、坐标；正交向量组、正交基、规范正交基度量矩阵（规范正交基的度量矩阵）度量矩阵（规范正交基的度量矩阵）线性子空间的和与直和线性子空间的和与直和补子空间，正交补空间补子空间，正交补空间, , 正交投影正交投影正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵 ( (旋转变换、镜像变换及其矩阵旋转变换、镜像变换及其矩阵) )10/9/202116第六章第六章 (2)方法方法无关向量组的扩充；无关向量组的扩充；利用矩阵的初等变换求子空间的基和维数；利用矩阵的初等变换求子空间的基和维数；Gram-SchmidtGram-Sc

13、hmidt正交化方法正交化方法; ;正交投影的求法正交投影的求法; ;最小二乘问题的求解；最小二乘问题的求解；10/9/202117第六章第六章 (3) 主要结果主要结果线性子空间线性子空间W=W1+W2W=W1+W2是包含是包含W1W1与与W_2W_2的最小的线性子空间的最小的线性子空间; ;线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基的一组基; ;维数公式维数公式 ( (利用基的扩充利用基的扩充););Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式或不等式或Cauchy-BuniakowskiCauchy-Bu

14、niakowski不等式不等式; ;勾股定理勾股定理; ;内积由度量矩阵完全确定；内积由度量矩阵完全确定；正交向量组一定是线性无关的正交向量组一定是线性无关的; ;欧几里得空间必存在规范正交基欧几里得空间必存在规范正交基; ;最佳逼近元与正交投影的关系；最佳逼近元与正交投影的关系；正交变换与正交矩阵的性质；正交变换与正交矩阵的性质；10/9/202118矩阵的初等变换矩阵的初等变换化矩阵为（简化）行阶梯形矩阵化矩阵为（简化）行阶梯形矩阵求方阵的行列式求方阵的行列式求解线性方程组求解线性方程组求矩阵的秩求矩阵的秩求矩阵的逆求矩阵的逆求矩阵的等价标准形求矩阵的等价标准形求解矩阵方程求解矩阵方程10/9/202119空间空间几何空间几何空间n n维向量空间维向量空间线性空间线性空间欧氏空间欧氏空间空间向量空间向量n n维向量维向量一般向量一般向量线性相关性，基，坐标，维数线性相关性，基，坐标，维数线性子空间的和与交：维数公式线性子空间的和与交：维数公式线性无关组的扩充线性无关组的扩充线性无关的证明线性无关的证明10/9/202120矩阵，行列式，线性方程组矩阵，行列式，线性方程组行列式是方阵的函数（不同的矩阵可以有相同的行列式）行列式是方阵的函数（不同的矩阵可以有相同的行列式）克拉默法则（求解特殊的线性方程组）克拉默法则（求解特殊的线