储油罐的变位识别与罐容表标定

1、储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 摘摘 要要现实中有许多加油站有地下储油罐， “油位计量管理系统”，油位进出量通过预先标定的罐容表确定，但由于地基变形等原因，使罐体的位置发生变化，影响罐容表准确性，为此我们需要建立一个新的“油位计量管理系统”来确定油位进出量。针对本题的图形前后变化的不规则性，我们采用了微积分的原理建立了相应数学模型。 问题问题 1 1 储油罐不偏转时，利用积分建模的思想，建立一个以罐体侧面为积分区域求容积的表达式：=L*)(hV)(hS其中=，)(hSabbbhbbhbbhdyabbabhbarcsin)122222储油罐偏转时建立一个以偏转角为参数建

2、立一个比例关系， ，=abLxxxxVarcsin12)(2bbhxh2)tan*05. 2()tan*4 . 0(11hh分别对两个模型，运用 MATLAB 数学软件对数据进行处理，得到间隔为 1cm 时的罐容表标定值（如下所示为变位后和变位前的部分标定数据）。变形之后的罐容表标定值：油罐号间隔/cm间隔的首标定值/L间隔的尾标定值/L无变位间隔标定植/L155 至 561581.51624.442.9156 至 571624.41667.543.1157 至 581667.51710.743.2158 至 591710.7175443.3159 至 6017541797.343.3未变形之

3、前的罐容表标定值：油罐号间隔/cm间隔的首标定值/L间隔的尾标定值/L无变位间隔标定植/L154 至 551793.81837.343.5155 至 561837.31880.843.5156 至 571880.81924.343.5157 至 581924.31967.943.6158 至 591967.92011.543.6159 至 602011.52055.143.6问题问题 2 2 储油罐纵向不偏转时建立一个由 2 个球冠体封头和一个圆柱体组成的储油罐随液面高度变化的容积的数学模型。labbbhbbhbbhldyabbaVbhb*arcsin)12*2222储油罐纵向偏转角和横向偏转

4、角时储油罐的容积为：cos81545420cos27545420)()(21232322321hhhhhhRxRRxLVVVV 根据上述模型，得到测量高度的模型为：cos/tan235hh由附表 2 所给数据，计算得到，。罐体变位后油位高o4145. 1o8717. 0度间隔为 10cm 的罐容表标定值如下：刻度/dm123456标定值/L71720043640553676409913通过实际数据检验，本文所建模型的误差较小，符合实际情况，适于在实际生活中应用。关键词：关键词：储油罐；变位识别；罐容表标定；积分模型一：问题重述一：问题重述现今工业迅猛发展，燃油的需求量不断增加，这促使各大加油站

5、几乎都建立了自己的地下储油罐，但随着时间推移，会有地基变形等因素促使储油罐发生纵向倾斜或者横向倾斜，从而导致罐容积表发生改变。根据有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。现我们对此问题进行研究，即用数学建模方法研究和解决储油罐的变为识别和罐容表标定的问题。（1）通过罐体变为后对罐容表的影响某分局小椭圆形储油罐，对罐体无变位和倾斜角 的纵向变位两种情况做了实验，现根据数学模型研究，罐体变O1 . 4位后对罐体容表的影响，解决罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐体容积表标定值。（2）根据实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容积表的数学建模，即罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一半关系，现利用罐体变

6、位后在进/出油过程中的实际检测数据，并根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出变位后油位高度间隔 10cm 的罐容表标定值，并进一步检验我们模型与实际检测数据的正确性与方法的可靠性。二：模型假设二：模型假设1 1、储油罐在地下虽然整体发生了变位，但是忽略罐体自身的变形情况。2 2、测量当中并不考虑气温、压强等外界环境变化而造成对油位高度的影响。3 3、不考虑油浮子的重量及大小。4 4、假定油的密度是均匀的。三：三： 符号说明：符号说明： ：储油罐侧面截面椭圆的长轴a ：储油罐侧面截面椭圆的短轴b ：储油罐在偏转角度后的油量所对应的未变位的标准油位高度h1 ：储油罐偏转角度后的显示油位高度h ：

7、比储油罐偏转角度后的实际的油面液位高的多量m ：比储油罐偏转角度后的实际的油面液位高的少量n ：椭圆体油罐侧面椭圆形油面面积)(hs ：椭圆柱体油罐柱体的长度l1三：三： 模型分析模型分析该模型为椭圆球体的储油罐，其一在未变位时可将该球体分为三个部分，一个椭圆主体以及两个半圆球体。在分别将各个部分内的液体容积求出，则三个部分内的容积组合到一起即为此时该储油罐的液体容积。在变位之后，可将该模型继续分解为三个部分，利用直角坐标系来分割油罐两侧的半圆球体，根据角度和已知的数据能够进行求解。其二，在液面高度上也可分为两个方面来进行求解，一种是在偏转之后液面高度没有完全超过容器底部如下图（左） ，另一种

8、是液体完全淹没容器底部如下图（右） 。四：四： 模型建立及求解模型建立及求解4.14.1 问题一问题一设椭圆弓形的实际标准液位高度为（见图 1） ，由于储油罐偏转导致罐容表h上显示的高度有一定误差，利用几何知识和各项关系，确定h1=h2)()(11nhmh又由三角关系式得到： 且 tan4 . 0mtan05. 2n最后得实际值为： =h2)tan*05. 2()tan*4 . 0(11hh结论：上式即为真实油位高度与显示油位高度和偏转角的一般关系式。设横截面椭圆方程为：12222byax 下图中带阴影部分为储油横截面，先用定积分求储油体积。设椭圆弓形的面积为，则：)(hS= (1)(hSab

9、bbhbbhbbhdyabbabhbarcsin)122222=L*)(hV)(hS发生变位后的体积可以分两种情况：a.a.当液体只在罐体底部变化时体积为：/x=tan,hy= (x+0.4)*tan, =0.4+x, m=(y-b)/b=（h-0.5713）/0.6 ,l故：;ablmmmhVarcsin12)(2b.b. 当液体沿着罐体侧面变化时体积为：=V)(habLbbhbbhbbharcsin)122 2)tan*05. 2()tan*4 . 0(11hhh式中油位高度的读数1h罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值，需从上述的 a,ba,b 两方面计算，由 b b 可知油

10、位读数为 15cm 处为分界点。所得数据如表 1 和表 2 所示。表 1 1cm 间隔无变位标定值油罐号间隔/cm间隔的首标定值/L间隔的尾标定值/L无变位间隔标定植/L10 至 105.35.311 至 25.314.99.612 至 314.927.412.513 至 427.44214.614 至 54258.616.615 至 658.676.818.216 至 776.896.920.117 至 896.9117.720.818 至 9117.714022.319 至 10140163.623.6110 至 11163.6188.224.6111 至 12188.2213.925.7

11、112 至 13213.9240.526.6113 至 14240.5268.127.6114 至 15268.1296.528.4115 至 16296.5325.829.3116 至 17325.8355.830117 至 18355.8386.530.7118 至 19386.5418.131.6119 至 20418.1450.332.2120 至 21450.3483.132.8121 至 22483.1516.533.4122 至 23516.5550.634.1123 至 24550.6585.234.6124 至 25585.2620.435.2125 至 26620.4656

12、35.6126 至 27656692.236.2127 至 28692.2728.936.7128 至 29728.976637.1129 至 30766803.537.5130 至 31803.5841.538131 至 32841.5879.938.4132 至 33879.9918.638.7133 至 34918.6957.839.2134 至 35957.8997.239.4135 至 36997.21037.139.9136 至 371037.11077.240.1137 至 381077.21117.640.4138 至 391117.61158.340.7139 至 40115

13、8.31199.341140 至 411199.31240.541.2141 至 421240.5128241.5142 至 4312821323.741.7143 至 441323.71365.742144 至 451365.71407.842.1145 至 461407.81450.142.3146 至 471450.11492.642.5147 至 481492.61535.342.7148 至 491535.31578.142.8149 至 501578.1162142.9150 至 5116211664.143.1151 至 521664.11707.243.1152 至 53170

14、7.21750.543.3153 至 541750.51793.843.3154 至 551793.81837.343.5155 至 561837.31880.843.5156 至 571880.81924.343.5157 至 581924.31967.943.6158 至 591967.92011.543.6159 至 602011.52055.143.6表 2 1cm 间隔有变位标定值油罐号间隔/cm间隔首标定值/L 间隔尾标定值/L变位间隔标定值/L 10 至 12.14.42.311 至 24.47.83.412 至 37.812.44.613 至 412.418.4614 至 51

15、8.425.77.315 至 625.734.68.916 至 734.645.110.517 至 845.157.212.118 至 957.271.113.919 至 1071.186.815.7110 至 1186.8104.417.6111 至 12104.4123.919.5112 至 13123.9145.421.5113 至 14145.4168.923.5114 至 15168.9193.124.2115 至 16141.9165.524.6116 至 17165.5190.324.8117 至 18190.321625.7118 至 19216242.726.7119 至 2

16、0242.7270.427.7120 至 21270.4298.828.4121 至 22298.8328.229.4122 至 23328.2358.330.1123 至 24358.3389.130.8124 至 25389.1420.631.5125 至 26420.6452.932.3126 至 27452.9485.732.8127 至 28485.7519.233.5128 至 29519.2553.334.1129 至 30553.358834.7130 至 31588623.235.2131 至 32623.2658.935.7132 至 33658.9695.136.2133

17、 至 34695.1731.836.7134 至 35731.876937.2135 至 36769806.637.6136 至 37806.6844.638137 至 38844.688338.4138 至 39883921.838.8139 至 40921.8960.939.1140 至 41960.91000.439.5141 至 421000.41040.339.9142 至 431040.31080.440.1143 至 441080.41120.940.5144 至 451120.91161.640.7145 至 461161.61202.641146 至 471202.61243

18、.941.3147 至 481243.91285.441.5148 至 491285.41327.141.7149 至 501327.1136941.9150 至 5113691411.242.2151 至 521411.21453.542.3152 至 531453.5149642.5153 至 5414961538.742.7154 至 551538.71581.542.8155 至 561581.51624.442.9156 至 571624.41667.543.1157 至 581667.51710.743.2158 至 591710.7175443.3159 至 6017541797

19、.343.34.1.14.1.1 问题扩展问题扩展问题扩展：用最佳平方逼近多项式得出储油体积的近似值设（由油罐的长为，可得：bbhx) 1120 xbh可知)x(,VL 储油的体积为 （1）abLxxxxVarcsin12)(2从式（1）能准确的算出储油的体积，但算式里含有反正弦函数，一般计算不方便。由于多项式的值计算简单也不方便，下面我们用多项式逼近给)arcsin1(2xxx出储油体积的近似值。由于函数在 连续，其一阶导数)arcsin1(2xxx 1 , 1在有界，由文献可知 2212)arcsin1(xxxx 1 , 1)arcsin1(2xxx的契比雪夫级数 （其中：).()(211

20、00 xTaxTanmnn为 n 阶契比雪夫多项式）一致收敛于函数)(,1)arcsin1(21122xTdxxxTxxxannn。由公式（1）即得：=)arcsin1(2xxxabLxxxxVarcsin12)(2 （2）abLxTaxTannn)()(212100由文献还可知用函数的契比雪夫级数的部分和也就是)arcsin1(2xxx的最佳平方逼近多项式：)arcsin1(2xxx代替，从（2）可得)()()()(21221100 xTaxTaxTaxTann)arcsin1(2xxx出在-1,1上效果较好的的近似计算公式： )(xV)(xV （3）)()()()(21221100 xTa

21、xTaxTaxTannabL下面讨论的求法。na当 n 为偶数时，由于为偶函数，又为奇函数，为)(xTn)arcsin1(2xxx21x偶数，可知中的被积函数为奇函数，又积分区间-1,1为,1)arcsin1(21122dxxxTxxxann对称的，因此 ( ) (4)02knaa, 2 , 1 , 0k当 n 为奇数时，设 则：,costx tdtkttdtkttak) 12cos()2(2) 12cos(cossin20012用分步积分法不难从上式得出： （k=0,1,2, ） (5)mkkak/) 12(4/) 12(162212综合（4）式和（5）式得： n=2k mkkknaa/)1

22、2(4/)12(1612220 n=2k+1 (k=0,1,2, ) (6)由（3）式和（6）式可得 V（x）的近似计算公式：abLxTkkxTxTxTxVk)() 12(4) 12(1)(5251)(451)(31162)(1222531 (k=1,2,3) (7)当时，即用代替得的1k)()(2)(33113xTaxTaxP,2arcsin12xxx)(xV近似值为： （8）abLxxxV)29(45322)(2当时，即用代替,2k)()()(2)(5533115xTaxTaxTaxP2arcsin12xxx得的近似值为：)(xV （9）abLxxxxV)4880615(1575322)(

23、534.24.2 问题问题 2 24.2.14.2.1 水平时的储油罐的求法水平时的储油罐的求法卧式容器由两个近似半椭圆的封头和一个圆柱组成（如图 1 所示） 。其油的容积为：122VVV 其中圆柱内的油的容积，；1V3m单个椭圆封头内的油的容积，；2V3m因此问题 2 分两个步骤：步骤一：求圆柱容积有油液那部分圆柱体容积 lhSv)(1式中圆柱体侧面面积在油液高度为时的面积)(hSh式中 圆柱体储油罐圆柱的长度l首先求)(hS由问题一可知，求的积分公式为sh)(abbbhbbhbbhdyabbahSbhbarcsin)122)(222式中 长半轴为m;a3cos2短半轴 1.5m;b油位高度

24、的读数；h未变位前同样容积所对应的标准高度, ;Htan2 hH 罐体长度为 8m;L 体积Vcosarcsin)12 82bbHbbHbbHV其油的容积与液位的关系式推导如下：设圆柱截面的圆方程为（如图 2） ；222)(RyRx则 = xydxS0dxRxRx022)()(21Rx xRRxRRxR0222arcsin2)(= 2arcsin)()(212222RRRxRRxRRx2arcsin)()(212222RRRxRRxRRxLLSV式中 油在圆柱体内随液位变化的截面积，S2cmR圆柱体的截面半径你， cmL圆柱体的长度，cm球体的方程设为：2222rzyx根据方程，可知222xy

25、rz其中 r 为半径为 13/8则任意高度为 h 的横切面与球冠面所切弧对应扇形面积(S)表达式为：)(1arccos2222hrhrrS任意高度为 h 的横切面与球冠面所切弧对应的弦与该切面圆半径所组成的三角形面积(s)表达式为：) 1() 1(222rrhrs 则任意高度为 h 的横切面与球冠面所切切面面积（s ）表达式为：sSs其中：)(1arccos2222hrhrrS) 1() 1(222rrhrs由微积分定理可知：任意高度为 h 的球冠体的容积为：dhsVrhr式中：-s)(1arccos2222hrhrr) 1() 1(222rrhr4.2.24.2.2 倾斜时的储油罐的求法倾斜

26、时的储油罐的求法左侧球罐体求法：建立直角坐标系，以水平液面方向为 x 轴，以垂直地面方向为 y 轴，以垂直 x 和 y 轴做 z 轴， （以圆心方向为正方向） 。根据直角三角形定理，能够确定出圆的半径，在根据三角形相似以及角度能够确定出圆心的坐标。最终得出：在 xoy 平面内：左侧球冠体的坐标为)cos23tansin23sin85tan2 ,sin23cos85(h坐标原点在球心，半径为 r 的球的方程为：2222rzyx再根据坐标平移公式，将坐标原点平移到点)cos23tansin23sin85tan2 ,sin23cos85(h时的球的方程为：22228sin5tan2sin3tan6s

27、in)tan5823(cos85rzhyx根据已知，得到题中左侧球冠方程为：22228sin5tan2sin3tan6sin)tan5823(cos85)8/13(hyxz在确定二重积分的上下线，根据二重积分，能够确定出二重积分的区域表达式为：222)cos23()cos23cos(1)32(hyz最终得出：左半部分球体表达式为：dxhyxdxvhxh222cos23cos23(1230cos028sin5tan2sin3tan6sin)tan5823(cos85)8/13(2cos2754542023hhh同理得同理得：右半部分球冠体坐标为：)8sin5tan2sin3tan6,sin)ta

28、n8523(cos85(h右半部分球冠体表达式为：22228sin5tan2sin3tan6sin)tan5823(cos85)8/13(hyxz右侧的二重积分区域表达式为：1)5 . 1 ()cos23()cos5 . 1tan6(222zhy右半部分表达式为：cos81545420233hhhV故卧式容器油的容积为：cos81545420cos27545420)()(21232322321hhhhhhRxRRxLVVVV式中 V 卧式容器内油的容积 x 卧式容器内油的液位 从新另 V 是卧式容器纵向倾斜时高度为时油的容积，假设将所有这些油放h回到未纵向倾斜的储油罐中，此时油罐的高度为未横向

29、偏转的高度 ，根据未纵1h向倾斜时油罐容积与高度的表达式求得：tan2351hh 因为圆柱体储油罐在中心位置的横纵切面两侧均为完全对称体，所以在纵向偏转的基础上无论圆柱体储油罐怎么横向偏转，液面到罐体最底端实际上的最大高度都不变，也就是从罐体最低点做液面的垂线段的长度，主要发生罐容表显示数据不准确的原因是由于当罐体横向偏转时油位探针也跟着横向偏转，以至于罐容表显示的数据是以角度为大小，以罐体液面垂直地面最大高度为直角边的三角形的斜边，由此推导 cos1hh 使用 Matlab 软件对附件 2 中数据进行计算，得到，,o4145. 1o8717. 0同时对罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表进行标定，其结果如下表所示：表 3 罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值刻度刻度/dm123456标定值标定值/L71720043640553676409913刻度刻度/dm789101112标定值标定值/L12323 148461745