电磁场与电磁波(电磁波的反射与折射)

1、第七章第七章 电磁波的反射和折射电磁波的反射和折射 7.1 7.1 平面波的一般数学表达式平面波的一般数学表达式7.2 7.2 对平面分界面的垂直入射对平面分界面的垂直入射7.3 7.3 对平面分界面的斜入射对平面分界面的斜入射7.1 平面波的一般数学表达式平面波的一般数学表达式x x极化的，沿极化的，沿z方向传播的均匀平面波的瞬时值表示方向传播的均匀平面波的瞬时值表示为为 其复矢量可表示为其复矢量可表示为)cos(kztEaEmx)cos(1kztEaHmy)(kztjmeEE)(11kztjmzzeEaEaH , 为波的传播方向，且电为波的传播方向，且电场、磁场和波的传播方向三者满足右手螺

2、旋关场、磁场和波的传播方向三者满足右手螺旋关系。系。 若从坐标原点向波阵面上任一点所引矢径若从坐标原点向波阵面上任一点所引矢径 ,而将而将 称为波的称为波的波矢量，则有波矢量，则有 所以式所以式 和和 可以写成可以写成 mxmEaEza)(11kztjmzzeEaEaHzayaxarzyxkkazkzrakrkz)(kztjmeEE)(rktjmeEE)(11rktjmzzeEaEaHkzkzrk 对于给定的波矢量对于给定的波矢量 ，为常数的平面为常数的平面为等相位面，为等相位面， 波矢量的方向为波的传播方波矢量的方向为波的传播方向，大小为波数。向，大小为波数。如图如图7.1.17.1.1所示

3、。所示。图7.1.1 波的等相位面 对于向任一方向对于向任一方向 传播的均匀平面波，传播的均匀平面波，波矢量为波矢量为 ,波的各场分量的复矢量可波的各场分量的复矢量可表示为表示为 这便是向任意方向传播的波的一般复矢量表达这便是向任意方向传播的波的一般复矢量表达式。在理想介质中，波矢量为式。在理想介质中，波矢量为 为一实矢量，因此，为一实矢量，因此， 。沿。沿 方向传播方向传播的均匀平面波的等相面的移动情况如图的均匀平面波的等相面的移动情况如图7.1.2所所示。示。kakakk)(rktjmeEE)(11rktjmkkeEaEaHkkakakkka 图7.1.2 沿Z方向传播的均匀平面波 7.2

4、 7.2 对平面分界面的垂直入射对平面分界面的垂直入射7.2.1 对理想导体平面的垂直入对理想导体平面的垂直入射射 在图在图7.2.1中，设媒质中，设媒质1为自为自由空间，媒质由空间，媒质2为理想导体。在分为理想导体。在分界面上取一点为坐标系的原点并界面上取一点为坐标系的原点并取轴与分界面垂直，由媒质取轴与分界面垂直，由媒质1指向指向媒质媒质2。若。若X极化的均匀平面波由极化的均匀平面波由自由空间入射到理想导体表面上，自由空间入射到理想导体表面上，波矢量为波矢量为zzzaakak00入射波电磁场分量为入射波电磁场分量为 )(ztjmxxxeEaEaE)(0)(0011ztjmyztjmxzze

5、EaeEaaEaH式中式中 000/由于理想导体的电导率由于理想导体的电导率电磁波不能透入其中，因此，在理想导体中电电磁波不能透入其中，因此，在理想导体中电磁场都等于零。磁场都等于零。 zzzakak电磁波在理想导体表面上被全部反射回来，形成向电磁波在理想导体表面上被全部反射回来，形成向方向传播的方向传播的反射波反射波，其波矢量为，其波矢量为，其场分量为其场分量为 ()jtzxxxmEa Ea E e )(0)(001)(1ztjmyztjmxzzeEaeEaaEaH在自由空间中的合成电磁场为在自由空间中的合成电磁场为()()jtzjtzxxxmmEEEE eE e()()00jtzjtzmm

6、yyyEEHHHee 在在0z处，利用电场强度切向分量连续的边界条件处，利用电场强度切向分量连续的边界条件可得可得 或或 于是，在于是，在0z的自由空间中的反射波为的自由空间中的反射波为 波在自由空间中的合成电磁场为波在自由空间中的合成电磁场为0mmxEEEmmEE)(ztjmxeEE)(00ztjmxyeEEHtjmtjzjzjmxezEjeeeEEsin2)(tjmtjzjzjmyyyezEeeeEHHHcos2)(00 合成电磁场的瞬时值为合成电磁场的瞬时值为)sin()sin(2Re),(tzEeEtzEmtjxx)cos()cos(2Re),(0tzEeHtzHmtjyy可见，合成电

7、磁场的振幅随空间坐标可见，合成电磁场的振幅随空间坐标 按正弦按正弦z函数分布，而在空间一点，电磁场随时间作简谐函数分布，而在空间一点，电磁场随时间作简谐振动。这是一种振动。这是一种驻波分布驻波分布，如图，如图7.2.2所示。所示。 图图7.2.2 7.2.2 合成电磁场合成电磁场的振幅随空间坐标的的振幅随空间坐标的分布分布结论：当均匀平面波垂直入射到理想导体表面时，结论：当均匀平面波垂直入射到理想导体表面时，在表面上发生全反射，反在表面上发生全反射，反 射波与入射波的迭加在自由射波与入射波的迭加在自由空间中形成驻波。其分布为：在空间中形成驻波。其分布为：在 或 （）处，电场为零，磁场为最大值。

8、处，电场为零，磁场为最大值。 我们称这我们称这 样的点为样的点为电场波节点或电场波节点或 nz2nz , 2 , 1 , 0n2) 12(nz4) 12(nz磁场波腹点；在或或处 ，磁场为零，电场为最大值。磁场为零，电场为最大值。 我们称这我们称这 样的点为样的点为磁场波节点磁场波节点或电场波腹点电场波腹点。 在理想导体表面上，电场为零，磁场为最大值在理想导体表面上，电场为零，磁场为最大值。 根据边界条件可知，电磁波根据边界条件可知，电磁波 将在导体表面上感应将在导体表面上感应 出面电流，即出面电流，即 处在自由空间中，波的平均坡印廷矢量为在自由空间中，波的平均坡印廷矢量为0z02mxyyzs

9、EaHaaHnJ0)cos(2)sin(2Re21Re210*zEazEjaHESmymxav可见，可见，驻波不能传输电磁能量，而只存在电场能和驻波不能传输电磁能量，而只存在电场能和磁场能的相互转换磁场能的相互转换。7.2.2 对理想介质平面的垂直入射对理想介质平面的垂直入射 设设x极化的均匀平面波从第一种介质垂直入射到分极化的均匀平面波从第一种介质垂直入射到分界面上，波将在分界面上发生反射和透射。界面上，波将在分界面上发生反射和透射。入射波的波矢量为入射波的波矢量为 ：11111zzzaakak反射波的波矢量为反射波的波矢量为 ：1111zzaak介质介质1中中入射波电磁场分量为入射波电磁场

10、分量为：)(1111ztjmxxxeEaEaE)(1111111ztjmyzeEaEaH介质介质1中反中反射波电磁场分量为射波电磁场分量为：)(1111ztjmxxxeEaEaE)(111111)(1ztjmyzeEaEaH介质介质1中合成中合成波电磁场分量为波电磁场分量为：)(1)(11111ztjmztjmxxxeEeEEEE)(11)(11111ztjmztjmyyyeEeEHHH在介质在介质2中，透射波向中，透射波向z方向传播，波矢量为方向传播，波矢量为 ：介质介质2中透射波的电磁场分量为中透射波的电磁场分量为 ：22222zzzaakak)(2222ztjmxxxeEaEaE)(22

11、22221ztjmyzeEaEaH在在介质介质分界面（分界面（z=0）上，由边界条件可得）上，由边界条件可得 ：211mmmEEE221111mmmEEE121211mmEE122122mmEE 界面的界面的反射系数反射系数定义为定义为分界面上反射波与入射波分界面上反射波与入射波电场之比，即电场之比，即：11mmEER1212R 界面的界面的传输传输系数系数定义为定义为分界面上分界面上透射透射波与入射波波与入射波电场之比，即电场之比，即：12mmEET122122mmEET 可以证明，波垂直入射到介质分界面上时，可以证明，波垂直入射到介质分界面上时，R与与T满足关系满足关系 RT1 对于理想介

12、质和一般的电介质，其磁导率对于理想介质和一般的电介质，其磁导率非常接非常接近于真空的磁导率近于真空的磁导率0 ，因此，可简化为，因此，可简化为 ：2121102010201212/R2112T 可见，波在介质分界面上的反射和透射主要取决于两介质可见，波在介质分界面上的反射和透射主要取决于两介质介电常数（或折射率）的差异。若介电常数（或折射率）的差异。若12 ，则反射波电场与入，则反射波电场与入射波电场同相；若射波电场同相；若12 ，则反射波电场与入射波电场反相。，则反射波电场与入射波电场反相。透射波电场与入射波电场总是同相的。透射波电场与入射波电场总是同相的。 一般情况下媒质为导电媒质，其本征

13、阻抗为复数，一般情况下媒质为导电媒质，其本征阻抗为复数，R和和T也也为复数。这表明在分界面上的反射波和透射波还存在一个由界为复数。这表明在分界面上的反射波和透射波还存在一个由界面决定的面决定的附加相移附加相移。 波斜入射到两种不同媒质分界面上也将发生反波斜入射到两种不同媒质分界面上也将发生反射和折射，界面对波的反射和折射与入射波的极射和折射，界面对波的反射和折射与入射波的极化方式有关。为了描述波极化方式对反射、折射化方式有关。为了描述波极化方式对反射、折射的影响，我们将分界面的法线与入射波射线构成的影响，我们将分界面的法线与入射波射线构成的平面定义为入射面，并规定：电场垂直于入射的平面定义为入

14、射面，并规定：电场垂直于入射面的波为面的波为垂直极化波垂直极化波；电场平行于入射面的波为；电场平行于入射面的波为平行极化波平行极化波。由于任意极化波可以视为上述两种。由于任意极化波可以视为上述两种极化波的迭加。下面我们分别讨论两种极化波对极化波的迭加。下面我们分别讨论两种极化波对理想导体表面的斜入射和对理想介质表面的斜入理想导体表面的斜入射和对理想介质表面的斜入射。射。 7.3 波对平面分界面的斜入射7.3.17.3.1波对理想导体表面的斜入射波对理想导体表面的斜入射 一、平行极化波的斜入射一、平行极化波的斜入射 入射角入射角的平行极化波在的平行极化波在理想导体表面将被全反射，理想导体表面将被

15、全反射，反射波角为反射波角为，入射波与，入射波与反射波传播方向上的单位反射波传播方向上的单位矢量及波矢量满足：矢量及波矢量满足： (sincos )kxZka kaak(sincos )kxZka kaak波矢量 sincoskxzaaasincoskxzaaa由图可见由图可见 mymkEaEamymkEaEa 所以，入射波电磁场分量所以，入射波电磁场分量为（忽略时间因子）：为（忽略时间因子）： rajkmrk jmkeEeEErk jmyrk jmkkeEaeEaEaH00011反射波电磁场分量为反射波电磁场分量为 ：rajkmrk jmkeEeEErk jmyrk jmkkeEaeEaEa

16、H00011 于是反射平面左边空气中入射波与反射波的合于是反射平面左边空气中入射波与反射波的合成场分量为成场分量为 ：rk jmrk jmeEeEEEErk jmyrk jmyeEaeEaHHH00因)cossin(zxkrk)cossin(zxkrk)cossin()cossin(coscos),(zxjkmzxjkmxeEeEzxE)cossin()cossin(sinsin),(zxjkmzxjkmzeEeEzxE)cossin(0)cossin(0),(zxjkmzxjkmyeEeEzxH0coscos)0 ,(sinsinjkxmjkxmxeEeExE 在导体表面上在导体表面上(z=

17、0)，由由边界条件边界条件可知可知，合成电场，合成电场的切向分量应为零，即的切向分量应为零，即：mmEE斯耐尔反射定律斯耐尔反射定律 联立求解上式，可得反射面左边的电磁场分量为联立求解上式，可得反射面左边的电磁场分量为 ：sin)cossin(cos2),(jkxmxekzEjzxEsin)coscos(sin2),(jkxmzekzEzxEsin0)coscos(21),(jkxmyekzEzxH 结论结论 ： 平行极化的平面波斜入射到理想导体表面被界平行极化的平面波斜入射到理想导体表面被界面反射，反射波与入射波迭加，形成沿导体表面面反射，反射波与入射波迭加，形成沿导体表面方向的传播波。其相

18、速为方向的传播波。其相速为cckkvxpsinsin 2.合成波在合成波在Z方向不构成相位函数，因此在方向不构成相位函数，因此在Z方向无波方向无波的传播。而沿的传播。而沿x方向传播的非均匀平面波的振幅按方向传播的非均匀平面波的振幅按 分布，故合成波在分布，故合成波在Z方向是驻波。方向是驻波。 1、合成波是一个向合成波是一个向x方向传播的非均匀平面波。由于方向传播的非均匀平面波。由于此平面波沿传播方向（此平面波沿传播方向（ x方向）不存在磁场分量，故方向）不存在磁场分量，故称为横磁波或称为横磁波或TM波。波。 )cossin(kz)coscos(kz), 2 , 1 , 0(cos2 nnznn

19、kzcosEzHy振幅最大振幅最大波腹点波腹点Ex=0 波节点波节点 ), 2 , 1 , 0(21cos2 mmzmEzHy波节点波节点Ex波腹点波腹点 如图如图，反射平面左，反射平面左半空间的合成波电磁半空间的合成波电磁场分量为：场分量为：二、垂直极化波的斜入射二、垂直极化波的斜入射 )cossin()cossin(),(zxjkmzxjkmyeEeEzxEcoscos1),()cossin()cossin(0zxjkmzxjkmxeEeEzxHsinsin1),()cossin()cossin(0zxjkmzxjkmzeEeEzxH利用理想导体表面上利用理想导体表面上(z=0)的边界条件

20、，同样可得的边界条件，同样可得 ：mmEEsin)cossin(2),(jkxmyekzEjzxEsin0)coscos(cos2),(jkxmxekzEzxHsin0)cossin(sin2),(jkxmzekzEjzxH由此可得：由此可得： 合成波是一个向合成波是一个向x方向传播的非均匀平面方向传播的非均匀平面波。由于此平面波沿传播方向（波。由于此平面波沿传播方向（ x方向）不方向）不存在电场分量，故称为存在电场分量，故称为横横电波或波或TE波波。 2.在垂直于分界面的方向上，合成波的场随在垂直于分界面的方向上，合成波的场随z按驻波分布。按驻波分布。结论结论 ： 1. 垂直极化的平面波斜入

21、射到理想导体表面垂直极化的平面波斜入射到理想导体表面被界面反射，反射波与入射波迭加，形成沿导被界面反射，反射波与入射波迭加，形成沿导体表面方向的传播波。其相速为体表面方向的传播波。其相速为 cckkvxpsinsin7.3.2波对理想介质表面的斜入射波对理想介质表面的斜入射 一、平行极化波的斜入射一、平行极化波的斜入射 当平行极化的平当平行极化的平面波从左半空间斜面波从左半空间斜入射到理想介质分入射到理想介质分界时，一部分被反界时，一部分被反射，另一部分则折射，另一部分则折射入右半空间。入射入右半空间。入射波、反射波与折射波、反射波与折射波传播方向上的射波传播方向上的单位矢量及波矢量单位矢量及

22、波矢量满足：满足： 反射平面左半空间合成波的电磁场分量为反射平面左半空间合成波的电磁场分量为 ：cossin1zxkaaa1cossinzxkaaa 2cossinzxkaaa)cossin(1111zxkaakkak)cossin(1111zxkaakkak)cossin( 2122zxkaakkak波矢量波矢量 其中：其中：111k222k rk jmrk jmeEeEEEE2111111)(12111111111rk jmkrk jmkeEaeEaHHH反射平面右半空间折射波的电磁场分量为反射平面右半空间折射波的电磁场分量为 ：rk jmeEE222rk jmkeEaH222221111

23、mymkEaEa111mymkEaEa222mymkEaEa、因因 故，反射平面左半空间合成波的电磁场分量为故，反射平面左半空间合成波的电磁场分量为 ：)cossin(1)cossin(1111coscos),(zxjkmzxjkmxeEeEzxE)cossin(1)cossin(1111sinsin),(zxjkmzxjkmzeEeEzxE)cossin(11)cossin(1111),(zxjkmzxjkmyeEeEzxH反射平面右半空间折射波电磁场分量为反射平面右半空间折射波电磁场分量为 ：在在z=0的分界面上，根据边界条件可得的分界面上，根据边界条件可得：)cossin( 22 2co

24、s),(zxjkmxeEzxE)cossin( 22 2sin),(zxjkmzeEzxE)cossin(222 2),(zxjkmyeEzxH 211sin 2sin1sin1coscoscosxjkmxjkmxjkmeEeEeE 211sinsinsinxkxkxk介质分界面上的反射介质分界面上的反射定律，即入射角等于定律，即入射角等于反射角反射角12221121 sinsinvvkk 介质分界面上的折射介质分界面上的折射定律，即定律，即斯耐尔折射斯耐尔折射定律定律。一般介质，磁导率接近真空磁导率，上式可简化为一般介质，磁导率接近真空磁导率，上式可简化为 ：nnn2121 sinsin波阻

25、抗波阻抗波的横电场分量对与其相互垂直的横磁场波的横电场分量对与其相互垂直的横磁场分量的比值，并且横电场、横磁场和波的传播方向三分量的比值，并且横电场、横磁场和波的传播方向三足右手螺旋关系。足右手螺旋关系。 平行极化波向平行极化波向z方向传播分量的波阻抗方向传播分量的波阻抗ZZ1，ZZ2为：为：cos111111yxyxzHEHEZ 2222cosyxzHEZ在在Z0的分界面上，切向磁场分量连续，即：的分界面上，切向磁场分量连续，即：221111zxzxzxZEZEZE 联立可解得平行极化波在分界面上的反射系数和联立可解得平行极化波在分界面上的反射系数和透射系数为：透射系数为： 211 2121

26、211/coscoscoscoszzzzxxZZZZEER 21 212212/coscoscos22zzzxxZZZEET 非铁磁性物质，非铁磁性物质，1 20，可得平行极化波的，可得平行极化波的菲涅尔公菲涅尔公式：式：2121221212/sin)/(cos)/(sin)/(cos)/(R2121212/sin)/(cos)/(/cos2T/21/1TR可以证明，平行极化波的反射系数和透射系数满可以证明，平行极化波的反射系数和透射系数满足关系足关系 ：二、垂直极化波的斜入射二、垂直极化波的斜入射 当垂直极化当垂直极化的平面波从左的平面波从左半空间斜入射半空间斜入射到理想介质分到理想介质分界

27、时，一部分界时，一部分被反射，另一被反射，另一部分则折射入部分则折射入右半空间。同右半空间。同理可得：理可得： 反射面左半空间的合成电磁场为反射面左半空间的合成电磁场为 ：反射面右半空间的合成电磁场为反射面右半空间的合成电磁场为 ：rk jmyrk jmyeEaeEaEEE2111111)(12111111111rk jmykrk jmykeEaaeEaaHHHrk jmyeEaE222rk jmykeEaaH222221 用类似于平行极化波的分析方法，可得相同的反射用类似于平行极化波的分析方法，可得相同的反射定律和折射定律。同时可得垂直极化波的波阻抗为定律和折射定律。同时可得垂直极化波的波阻

28、抗为 ：sec1111xyzHEZ 222secxyzHEZ垂直极化波的反射系数、透射系数及垂直极化波的反射系数、透射系数及菲涅尔公式菲涅尔公式为：为：2122121212sin)/(cossin)/(coszzzzZZZZR212122sin)/(coscos22zzzZZZT同样有：同样有：TR1 上图为平行极化波和垂直极化波的反射系数模上图为平行极化波和垂直极化波的反射系数模值随入射角的变化曲线。由图可见当平行极化波值随入射角的变化曲线。由图可见当平行极化波入射角入射角时， sin2121B 反射系数为零，发生反射系数为零，发生全折射现象全折射现象，对应的入射角，对应的入射角称为称为布儒斯特角布儒斯特角。 全折射现象只有在全折射现象只有在平行极化波平行极化波的斜入射时才会的斜入射时才会发生。发生。 如果电磁波以任意极化方式并以布儒斯特角入射，如果电磁波以任意极化方式并以布儒斯特角入射，由于只有平行极化波在入射角等于布儒斯特角时的由于只有平行极化波在入射角等于布儒斯特角时的反射才等于零，则反射波中只有垂直极化波。这就反射才等于零，则反射波中只有垂直极化波。这就是是极化滤除效应极化滤除效应。 7.3.3波的全反射现象波的全反射现象 由斯耐尔折射定律可知，如果波从光密媒质入射到光由斯耐尔折射定律可知，如果波从光密媒质入射到光疏媒质时，必然有疏媒质时，必然