【微积分】无穷小的比较

1、第九节第九节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不

2、一定成立结论不一定成立 .定理定理1. 1. 闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数在该区间上一定有在该区间上一定有即即: 设设, ,)(baCxf xoyab)(xfy 12则则, ,21ba 使使)(min)(1xffbxa )(max)(2xffbxa 最大最大值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 (证明略证明略)点点 ,例如例如,)1,0(, xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy11 21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在在因因此此bxoya)(xfy 12mM由定理由定

3、理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax )(min,xfmbax , ,bax 故故证证: 设设, ,)(baCxf ,)(Mxfm 有有上有界上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 推论推论:二、介值定理二、介值定理, ,)(baCxf 0)()( bfaf, ),(ba 定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 且且使使.0)( f即即: ( 证明略证明略 )ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴轴至至少少

4、有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至至少少有有一一个个交交点点直直线线与与水水平平连连续续曲曲线线弧弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于

5、最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 ,0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFa

6、afaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、小结三、小结最值定理最值定理; 零点定理零点定理; 介值定理介值定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立思考题思考题1. 下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.解解:不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 ,

7、0(内内连连续续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.2. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片证明必可将它一刀剪为面积相等的两片. .提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.xoy则面积函数则面积函数,)( CS 因因,0)( SAS )( 故由介值定理可知故由介值定理可知:, ),(0 .2)(0AS 使使)(S ,4,0)(上连续上连续在闭区间在闭区间xf13 xex至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的正根正根 . .证证：3. 证明证明令令1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e0 03 e根据零点定理根据零点定理 , )4,0( ,0)( f使使原命题得证原命题得证 .)4,0(内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfx