牧羊人的希望数学建模论文6

1、牧羊人的最优决策问题一.摘要本文主要对牧场最大经济效益问题提出两个规划方案。分析题中所给数据可知，这是 一个最优规划问题，规划方案的结论将作为牧民饲养的参考依据。先找出所求的目标函数， 再列出约束条件，即通过有限的牧草资源来限制这片牧场能够饲养的羊群的数目，并使牧 草达到最大的利用来建立数学模型。建立模型后，运用 matlab和lingo软件求解，得 到最优解，使其能够获得的最大的收益。模型一的出发点是假设这个牧场已经步入正轨， 且达到了题目所要求的最佳状态， 那么 此时，每一种年龄阶段的羊的数量的分布就是一定的，我们称之为最大环境容量，那么目 标函数就转化为求母羊的数量的最大值。在这里，我们

2、的目标就是能够在草供应充足的前 提下，维持这种状态。那么，根据假设，以及题中所给的母羊繁殖的比率，各种年龄的羊 之间就有一定的数量关系。每日草的生长量和每日羊的食草量就决定了目标函数的约束条 件，模型就建立起来了。这是一个非线性规划求最优解的模型，我们通过lingo软件，可以求得当牧场面积为1000平方米时，牧场的最大饲养容量为 42只。在模型一中，我们是通过反过来计算羊的食草量，以验证模型结论的合理性。在验证 过程中，发现夏季和秋季的草均有剩余，于是我们想将剩余的草最大利用，同时又不破坏 生态的平衡，这也是模型中的创新之处。在第二个模型中，以第一年从羔羊养起，以后每年按相同的比例保留母羊进行

3、下一年 的繁殖，且将每年春季产下的公羔羊和部分母羊卖出，在根据其卖出的总羊数来衡量他所 得的收益，且此模型考虑了草的转化率，羊羔的性别比例，并做了相应的假设，设定了两个 未知数，求得目标函数，并利用 matlab和线性规划求得最优解。得出结论为：最大经济 效益的饲养方案为：当牧场面积为 1000平方米时，最初应该养11只羊，扩大牧场面积， 养的数量也随着牧场面积比例的变化而变化。这个模型计算起来简单，但检验有一定的难 度。、问题重述与分析一个拥有一定面积的牧羊人，想通过科学的管理，使得牧场的收益达到最大，他要解 决的问题有：1.这片牧场应该饲养多少只羊。2.在夏天的时候，他应该储存多少牧草用于

4、 冬季羊群的供应。3.在出售母羊时，他应该保留多大比例的母羊。下面是低洼地的某一类草的近似平均平均生长率：季节冬季春季夏季秋季日生长率（g）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养 5年就出售。下面是一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄（年）0一112233445e羔（头）01 . 82. 42. 01 . 8在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量:日需草量（kg）至羊小、1母羊冬季02. 10春季1 . 002. 40夏季1 . 651 . 15秋季01 . 35这是一个最优规划问题。我们主要的目的是使在题目所给数据的条件下，使得牧民的利益达到最大。首

5、先得确定目标函数，再列出约束条件，求得最优解。所求得的最优解就 是提供给牧民的最好的决策依据。三、问题假设1）不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不 计；2）能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行交配，且交配完之后送走公羊且公羊吃的草忽略不计；3）所有养生病时不影响吃草量；4）所有养践踏草不影响草的增长；5）每天长出来的嫩草羊都能吃草，且不影响草的增长率；6）假设牧场白面积为1000平方米7）假设不会发生严重的自然灾害8）不考虑羊群死亡四、模型的建立和求解模型一模型分析：建立这个模型的目的是使牧民的经济效益最大，即模型的结论能够给牧民提供 最优的决策，这就

6、相当于使得牧场的容量达到最大，并且不破坏生态的平衡。假设这个牧 民饲养羊群已经步入正轨，而且以将达到了最高效益的状态，这个时候各种羊龄的指数也 是一个定值，如果在今后的几年中，我们如果能通过这个模型能使这个状态保持不变，最 大利益的目标便达到了。一、模型假设：1 .每一年养羊从春天开始，秋天卖出，饲养的羊达到5年便全部卖出2 .母羊在春季产羊羔，秋季将公羊和母羊卖出3 .母羊放养，公羊圈养，且公羊的食草量和母羊一样4 .假设牧场白面积为1000平方米5 .不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不 计6 .鲜草向干草的转化率为0.5,且他们有相同的喂养效果7

7、.题中的3克理解为一颗草每天长的重量1.1 平方米大概有36颗草9 .假设所有的牧场都是低洼地10 .羊群对牧草的践踏不影响牧草的生长11 .假设该牧民以最大环境容量养羊，那么ii+1阶段的羊留下来的数量记为xi+112 .假设羊群不生病，不考虑羊群的成活率13 .假设每一个季节都为90天01岁的羊的数量 12岁的羊的数量 23岁的羊的数量 34岁的羊的数量、符号说明:1. x1:前一年秋天保留下来的2. x2:前一年秋天保留下来的3. x3:前一年秋天保留下来的4. x4:前一年秋天保留下来的5. y:夏季每天为冬季准备的草的重量（kg）6. 1第二年春天年母羊保留的比例7. r2:第三年春

8、天年母羊保留的比例8. r3:第四年春天年母羊保留的比例7. z:牧民的经济效益三、模型的建立和求解根据模型的假设可知：若：第i年的春天各年龄段的母羊数分别为：x1,x2,x3,x4那么,这一年所产的羔羊的数目应为：1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4因此，最大经济效益模型（目标函数）为：maxz= x1+x2+x3+x4约束条件：羊的是草量 =草的生长量，可以列出以下式子：(1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4 ) +2.4*(x1+x2+x3+x4 ) =1000*0.003*36(1)1.15*1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4 )

9、 + 1.65*(x1+x2+x3+x4)=1000*0.007*36-(2)1.35*(x1+x2+x3+x4)=0.004*1000*36(3)(x1+x2+x3+x4)*4.2=y(4) x1=x2x2=x3x3=x4x2=x1*r1x3=x2*r2x4=x3*r3其中，12 r3均是0到1的一个常数由于羊的数目要求整数，故由lingo求整数解可得:local optimal solution found.objective value:25.00000extended solver steps:5total solver iterations:172variablevaluereduc

10、edcostx1 0.000000x2 0.000000x3 0.000000x4 0.000000y-0.2380952r1 0.000000r2 0.000000r3 0.000000row price1 1.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.23809526 0.0000007 0.0000008 0.0000009 0.00000010 0.00000011 0.00000012 0.00000013 0.00000016.000004.0000003.0000002.000000105.00000.25000000.74999960.66

11、66667slack or surplusdual25.000000.000000155.5500110.25000.00000012.000001.0000001.0000000.000000-0.1720313e-050.0000000.75000000.2500004140.33333330.000000程序代码如下:model :max=x1+x2+x3+x4;1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4+2.4*(x1+x2+x3+x4)=1000*0.003*36;1.15*(1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4)+1.65*(x1+x2+x3+x4)=

12、1000*0.007 *36;1.35*(x1+x2+x3+x4)=x2;x2=x3;x3=x4;x2=x1*r1;x3=x2*r2;x4=x3*r3;r1=1;r2=1;r3-7-7.51 /-8-8.5/x.-9020406080100120由图可知，y取0.635时，q最小。又草对羊的约束条件有：春季草与羊群的关系：a=m1; 0.9a+2.4*ay=m1;k3+2.4*(0.9ay+a*ya2)=m1;k4+2.4*k3+(0.9ay+a*ya2)y=m1;k5+2.4*k4+k3+(0.9a+ay)yyy=m1夏季草与羊群的关系：a=m2; 0.9a*1.65+1.15*ay=m2;

13、1.65*k3+1.15*(0.9ay+a*ya2)=m2;1.65*k4+1.15*k3+(0.9ay+a*ya2)y=m2;1.65*k5+1.15*k4+k3+(0.9a+ay)yyy=m2秋季草与羊群的关系：1.35*a*y=m31.35*(a*y+a*ya2)=m31.35*(0.9*a*y+ a*ya2+k3)y=k2*2.1m2-1.65*k3+1.15*(0.9ay+a*ya2) *0.5=k3*2.1m2-1.65*k4+1.15*k3+(0.9ay+a*ya2)y*0.5=k4*2.1m2-1.65*k5+1.15*k4+k3+(0.9a+ay)yyy*0.5=k5*2.1

14、经过计算求解得a=11，故a的最优取值为11。而冬季干草的存贮当母羊保留量最大时，那年的存贮量就最大，这个最大量为 (2.1*ya3+2.16*2.1*ya2+0.729*2.1*y+2.1*1.2*ya3+2.1*0.81*ya2+2.1*0.9*ya3+2.1*ya4)*a =60.4448 千克，我们并且还可以得出这五年卖出羊的总量为99只。四、结果分析第一年从11只小羊羔养起，每年母羊的保留比例为0.635,夏季的草存贮量为60.4448,虽牧场规模不大，但这样规划，可使小牧场五年内收益最大，第一年养11只小羊羔，每只小羊羔可以吃将近100平方米的草，显然是很符合实际情况的，另外，羊群的 数量受牧场面积的影响，当面积增大十倍，羊群的数量和夏季的草存贮量都跟着增大为原 来的十倍，而母羊的比例是不变的，故这样的规划是具有一定的合理性的。五、模型的优缺点与评价本模型以探讨以怎么样的循环方式使牧民收益最