甘肃省天水市一中高三下学期一模考试理科数学试题及答案

1、 天水一中2015届第一次模拟考试数学试题（理科） 命题、审题人 ： 张志义一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1集合，若，则（ ）a b c d2.设是虚数单位，复数（ ）a. b. c. d. 3. 已知,则 ( )abcd 4.函数的图像关于原点对称，是偶函数，则a.1 b. c. d. 5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为a51个 b50个 c49个 d48个6.下列说法正确的是 a命题“，”的否定是“，”b命题 “已知，若，则或”是真命题 c“

2、在上恒成立”“在上恒成立”d命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题7.已知函数，且，则当时， 的取值范围是 （ ）a b c d8设函数 ，记则 （ ）a. b.c. d.9. 在中，是边上的高，则的值等于（ ）ab cd9 10如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为,则（ ） a b c d11.若曲线f(x，y)0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)0的“自公切线”下列方程：x2y21；yx2|x|；y3sin x4cos x；|x|1对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）a b c d12.

3、已知为r上的可导函数，当时， ，则函数的零点个数为 （ ）a.1 b.2 c.0 d.0或2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_14.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 15.设满足约束条件，则所在平面区域的面积为_.16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点m，使，则圆心的横坐标的取值范围为 三、解答题（共70分）17.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上网投票，结果如下 观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）10010040

4、0（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值. （2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量表示抽取出3人中支持的人数，写出的分布列并计算.18.（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（）求数列和的通项公式：（）设，设为的前n项和，求.19（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥p -abcd的底面为菱形， bcd= 120,ab= pc =2,ap= bp= （i）求证：abpc： （）求二面角b一pcd的余弦值20（本小题满分12分） 已知圆点b（l，0）点a是圆c上的动点，线段

5、ab的垂直平分线与线段ac交于点p （i）求动点p的轨迹c1的方程； （）设，n为抛物线上的一动点，过点n作抛物线c2的切线交曲线cl于p，q两点，求mpq面积的最大值21.（本小题满分12分）.已知函数，（a为实数）() 当a=5时，求函数在处的切线方程；() 求在区间t，t+2（t 0）上的最小值；() 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围22.如图，四边形abcd是o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且cb=ce（1）证明：d=e；（2）设ad不是o的直径，ad的中点为m，且mb=mc，证明：ade为等边三角形23.在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为:

6、（为参数），m是c1上的动点，p点满足,p点的轨迹为曲线c2.(1)求c2的方程;(2)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，求.24.已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.天水一中2015届第一次模拟考试数学答案（理科）1.【答案解析】a 解析：由，得=2，所以,.即，因此2.【答案】【解析】a 解析：复数3.【答案解析】c cos（x- ）=-，cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=（-）=-1故选

7、c4.【答案】【解析】d 解析：关于原点对称，函数是奇函数，是偶函数，对任意的都成立，对一切恒成立，故选：d5.【答案】【解析】c 解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选6.【答案解析】a、“xr，ex0”的否定是“x0r，ex0”；命题错误；b、x=2且y=1时，x+y=3是真命题；若x+y3，则x2或y1”是真命题；c、“x2+2xax在x1，2上恒成立”“（）minamax在x1，2上恒成立”，命题错误；d、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；命题错误故选：

8、b【思路点拨】b. a中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；b中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；c、“x2+2xax在x1，2上恒成立”转化为“（ ）minamax在x1，2上恒成立”；d、写出原命题的逆命题再判定真假7. .设，由得.结合图形可知，即.选a.8.【解析】试题分析：已知，得，当x0时，所以在（0，+）上单调递减，即，故选b.9.【答案】c 解析：分别以bc，ad所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：a，d，c；，；故选c【思路点拨】根据已知条件可以分别以bc，da所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知

9、的边长及角的值可求出向量，的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出10.【答案】【解析】d 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积v1= ，v2= ，v1：v2= ，故选d.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果11.【答案解析】b x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；y=x2-|x|=，在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线y=3sinx+4cosx=5sin（x+

10、），cos= ，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为b【思路点拨】x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线结合图象可得，此曲线没有自公切线12.【答案】c【解析】13.14【答案】40解析：令则有，得，所以二项式为所以其常数项为所以答案为40.15【答案】【解析】试题分析：画出对应的平面区域，如图所

11、示.所在平面区域的面积为.16【答案】解析：解：设点m（x，y），由ma=2mo，知，化简得：x2+（y+1）2=4，点m的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，又点m在圆c上，圆c与圆d的关系为相交或相切， 故答案为：17.【答案解析】（1）40（2）（1）利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持a方案”的人中抽取了6人，=，解得n=40，（2）x=0，1，2x012p274717e（x）=1+2=，d（x）=(0-)2+(1-)2+(2-)2=【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值（2）x=0，1，2，求出相应的概率，可得

12、x的分布列并计算e（x），d（x）18.【答案解析】(1) , . （2）（1）数列bn的前n项和sn满足sn=（bn-1），b1=s1=(b1-1)，解得b1=3当n2时，bn=sn-sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1数列bn为等比数列，bn=33n-1=3na2=b1=3，a5=b2=9设等差数列an的公差为d，解得d=2，a1=1an=2n-1综上可得：an=2n-1，bn=3n（2）cn=anbn=（2n-1）3ntn=3+332+533+（2n-3）3n-1+（2n-1）3n，3tn=32+333+（2n-3）3n+（2n-1）3n+1-2tn=3+23

13、2+233+23n-（2n-1）3n+1=-（2n-1）3n+1-3=（2-2n）3n+1-6tn=3+(n-1)3n+1【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出19. （i）证明：取的中点，连接 为等腰三角形 2分 又四边形是菱形， 是等边三角形 4分 又 ，又 6分20. 解：（）由已知可得，点满足所以，动点的轨迹是一个椭圆，其中， 动点的轨迹的方程为. （）设，则的方程为：，联立方程组，消去整理得：，6分有， 而点到的高为由代入化简得： 即；当且仅当时，可取最大值. 21.【解析】(i) (ii) 当时 (iii) 解析：()当时,. ，故切线的斜率为. 所以切线方程为:,即. (), 当时,在区间上为增函数,所以 当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数, 所以 () 由，可得：， , 令, . , . 实数的取值范围为 . 22.【答案解析】答案略证明：（1）四边形abcd是o的内接四边形，d=cbe，cb=ce，e=cbe，d=e；（2）设bc的中点为n，连接mn，则由mb=mc知mnbc，o在直线mn上，ad不是o的直径，ad的中点为m，omad，adbc，a=cbe，cbe=e，a=e，由（）知，d=e，ade为等边三角形【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。