17.二项分布及其应用

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-17):二项分布及其应用(787) 0223 二项分布及其应用 母题(三-17):(人教a版选修2-3(p51,63,67)在n次独立重复试验中,设事件a发生的次数为x,在每次试验中事件a发生的概率为p,那么,在n次独立重复试验中,事件a恰好发生k次的概率为p(x=k)=cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,n),此时称随机变量x服从二项分布,记作xb(n,p),并称p为成功概率,则ex=np,dx=np(1-p).解析:(法一)由ex=(kcnk=ncn-1k-

2、1)=np=npp+(1-p)n-1=np;由ex2=(k2cnk=ncn-1k-1+n(n-1)cn-2k-2)=np+n(n-1)p2=np(1-p)+n2p2dx=ex2-(ex)2=np(1-p);(法二)设引入随机变量xk:第k次试验事件发生时,xk=1;第k次试验事件不发生时,xk=0.则xkb(1,p)exk=p,dxk=p(1-p);由=x1+x2+xne=e(x1+x2+xn)=ex1+ex2+exn=np;由x1,x2,xn相互独立d=d(x1+x2+xn)=dx1+dx2+dxn=np(1-p).点评:二项分布及其应用在教材中单独成节,由此,可见其重要性;二项分布的期望和

3、方差公式需理解、记忆、掌握,二项分布的期望和方差公式的证明方法应理解、掌握. 子题(1):(2008年安徽高考试题)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p.设为成活沙柳的株数,数学期望e为3,标准差为.()求n,p的值,并写出的分布列;()若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种的概率.解析:()由b(n,p)e=np=3,d=np(1-p)=()2np=3,np(1-p)=n=6,p=p(=i)=c6i()6(i=0,1,2,3,4,5,6)的分布列为:()p(3)=p(=3)+p(=4)

4、+p(=5)+p(=6)=. 注:二项分布的期望和方差公式在解答题中可直接使用,其中,应注意方差d与标准差的区别与联系. 子题(2):(2008年四川高考试题)设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5,购买乙商品的概率为0.6,且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立,每位顾客间购买商品也相互独立.()求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;()求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;()设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数,求的分布列及期望.解析:设进入商场的1位顾客购买甲、乙商品的事件分别为a、b,则a、b相互独立,且p(a)=0.2,p(

5、b)=0.6;()事件m:“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”=a+bp(m)=p(a+b)=p(a)+p(b)=0.5;()事件n:“至少购买甲、乙两种商品中的一种”的对立事件=p()=p()=0.2p(n)=0.8;()可取0,1,2,3;p(=k)=c3k0.8k(1-0.8)3-k(k=0,1,2,3)的分布列为:由b(3,0.8)e=30.8=2.4. 注:包装、引伸成功概率p是高考命制二项分布的期望和方差试题的常法,因此,先求成功概率p,再利用二项分布的期望和方差公式解决相关问题,是解决该类问题的“母法”. 子题(3):(2005年北京高考试题)甲、乙两人各进行3次射击

6、,甲每次击中目标的概率是,乙每次击中目标的概 0224 母题(三-17):二项分布及其应用(787) 率是.()记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望e;()求乙至多击中目标2次的概率;()求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.解析:()的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)的概率分布为:由b(3,)e=3=;设乙击中目标的次数为,则的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)的概率分布为:()乙至多击中目标2次的概率p=p(=0)+p(=1)+p(=2)=1-p(=3)=;()甲恰好比乙多击中目标

7、2次的概率p=p(=2)p(=0)+p(=3)p(=1)=. 注:给出两个二项分布模型,求其成功次数关系的概率,是二项分布的典型应用,解决问题的一般方法是列出两个二项分布的分布列. 子题系列:1.(2011年全国高考试题)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.()求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;()x表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求x的期望.2.(2006年湖南高考试题)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改.若整改后

8、经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01);()恰好有两家煤矿必须整改的概率;()平均有多少家煤矿必须整改;()至少关闭一家煤矿的概率.3.(2007年江西高考试题)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平经过第一次烧制后甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.()求第一次烧

9、制后恰有一件产品合格的概率;()经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望.4.(2006年陕西高考试题)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是、.()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望e.5.(2006年重庆高考试题)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:()随机变量的分布列;()随机变量的期望.6.(2010年四川高考试题)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢

10、谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.()求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;()求中奖人数的分布列及数学期望e.7.(2012年四川高考试题)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b,系统a和b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.()若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;()设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望e.8.(2011年天津高考试题)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球,2个黑球,乙箱子里装有1个白球,2个黑球,这

11、些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).()求在1次游戏中,()摸出3个白球的概率;()获奖的概率;()求在2次游戏中,获奖次数x的分布列及数学期望e(x). 母题(三-17):二项分布及其应用(787) 0225 9.(2008年山东高考试题)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为、,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.()求随机变量的分布列和数学期望;()用a表示:“甲、乙两队总得

12、分之和等于3”这一事件,用b表示:“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求p(ab).10.(2006年全国高考试题)a、b是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用a,另2只服用b,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用a有效的小白鼠的只数比服用b有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用a有效的概率为,服用b有效的概率为.()求一个试验组为甲类组的概率;()观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数.求的分布列和数学期望.11.(2007年湖南高考试题)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗

13、人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.()任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;()任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列和期望.12.(2008年四川延考试题)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:a类、b类、c类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检,若发现其中含有c类产品或2件都是b类产品,就需要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为a类品,b类品和c类品的概率分别为0.9,0.05和0.05,

14、且各件产品的质量情况互不影响.()求在一次抽检后,设备不需要调整的概率;()若检验员一天抽检3次,以表示一天中需要调整设备的次数,求的分布列和数学期望. 子题详解:1.解:设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p(1-0.5)=0.3p=0.6;()该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8;()对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率=(1-0.5)(1-0.6)=0.2xb(100,0.2)ex=1000.2=20.2.解:()每家煤矿必须整改的概率=1-0.5=0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的恰好有两家煤矿必须整改的概率p=c520.

15、52(1-0.5)2=0.31;()由必须整改的煤矿数xb(5,0.5)平均有ex=50.5=2.5家煤矿必须整改;()某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格该煤矿被关闭的概率p=(1-0.5)(1-0.8)=0.1该煤矿不被关闭的概率是0.9至少关闭一家煤矿的概率p=1-0.950.41.3.解:()分别记甲、乙、丙经过第一次烧制后合格为事件a1,a2,a3;则a1,a2,a3相互独立,且p(a1)=0.5,p(a2)=0.6,p(a3)=0.4;事件m:“第一次烧制后恰有一件产品合格”=a1+a2+a3p(m)=0.38;()分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件a

16、,b,c,则p(a)=0.50.6=0.3,p(b)=0.60.5=0.3,p(c)=0.40.75=0.3每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3b(3,0.3)e=30.3=0.9.4.解:()3人都没有投进的概率p=(1-)(1-)(1-)=;()的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)的概率分布为:由b(3,)e=3=.5.解:()的可能值有0,1,2,3,4,5,且p(=k)=c5k()k(1-)5-k(k=0,1,2,3,4,5)的概率分布为:()由b(5, )e=5=.6.解:()设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c,则a、b

17、、c相互独立,且p(a)=p(b)=p(c)=;事件m:“甲中奖且乙、丙都没有中奖”=ap(m)=p(a)=p(a)p()p()=; 0226 母题(三-17):二项分布及其应用(787) ()的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)的概率分布为:由b(3,)e=3=.7.解:()由1-p=p=;()的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k(1-)k()3-k(k=0,1,2,3)的概率分布为:由b(3,)e=3=2.7.8.解:()设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件ai(i=0,1,2,3),()摸出3个白球的概率p(a3)=;()获奖

18、的概率=p(a2)+p(a3)=(+)+=+=;()x的所有可能值为0,1,2,且p(=k)=c2k()k(1-)2-k(k=0,1,2)x的分布列是:由b(2, )e=2=1.4.9.解:()的可能值有0,1,2,3,且p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)的分布列为:由b(3,)e=3=2;()设表示乙队的总得分,则p(=0)=(1-)(1-)(1-)=,p(=1)=(1-)(1-)+(1-)(1-)+(1-)(1-)=;用c表示事件:“甲得2分乙得1分”,用d表示事件:“甲得3分乙得0分”,则c、d互斥,且p(c)=p(=2)p(=1)=,p(d)=p(=3)p(=0)=;由ab=c+dp(ab)=p(c+d)=p(c)+p(d)=.10.解:()设a1表示事件“一个试验组中,服用a有效的小白鼠有i只”,b1表示事件“一个试验组中,服用b有效的小白鼠有i只”(i=0,1,2),则ai与bj相互独立,且p(a1)=c21(1-)=,p(a2)=c22()2=,p(b0)=c20(1-)