数学归纳法 (2)

1、第四讲第四讲 数学归纳法数学归纳法演绎推理演绎推理推理方法推理方法归纳推理归纳推理(一般到特殊一般到特殊)(特殊到一般特殊到一般)完全归纳完全归纳类比推理类比推理三段论三段论问题情境一问题情境一:问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题问题 2: 如果如果an是一个等差数列，怎样得到是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ?完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法 模模 拟拟 演演 示示在等差数列在等差数列an中，已知首项为中，已知首项为a1，公差为，公差为d，那么，那么a1=a1=a1+0 d, a2 =a1+d

2、 =a1+1 d, a3 =a2+d =a1+2 d, a4 =a3+d =a1+3 d, an=?归纳归纳an=a1+(n 1) d数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例： 费马费马(1601-1665)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。201234221351725765537 .21nnnnaaaaaaaN中，结论：是质数(n)问题情境二问题情境二:数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例： 费马费马(1601-1665)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。201234

3、221351725765537 .21nnnnaaaaaaaN中，结论：是质数(n) 欧拉欧拉(17071783)，瑞，瑞士数学家及自然科学家。士数学家及自然科学家。 2521542949672976700417 641nnana中，时，费马您错了！问题情境二问题情境二:不完全归纳法不完全归纳法 ?对任何对任何n N*, 2nn2+2 再如再如:比较比较2n与与n2+2 (n N*)的大小的大小.验证可知：验证可知：n=1、2、3、4都有都有2nn2+2归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. . （结论一定可靠，但需逐一核对，

4、实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）归纳法归纳法: :（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法: :考察考察部分部分对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法优点：考查全面，结论正确优点：考查全面，结论正确;缺点缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出

5、结论快优点：考查对象少，得出结论快;缺点缺点 ：观察片面化，结论不一定正确：观察片面化，结论不一定正确.如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；）处理第一个问题；（2 2）验证前一问题与后一问题有递推关系）验证前一问题与后一问题有递推关系.（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于第（相当于第K块骨牌能推倒第块骨牌能推倒第K+1块骨牌）块骨牌）问题情境三问题情境三:数学归纳法数学归纳法 用不完全归

6、纳法得到的某些与自然数有关的数学命题和用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题和猜想猜想, ,常采用下面的方法来证明它们的正确性：常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时结论正确时结论正确; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时结论正确时结论正确, ,证明当证明当n=k+1n=k+1时时结论也正确结论也正确. . 在完成了这两个步骤以后在完成了这两个步骤以后, ,就可以断定这个命题和猜想对于就可以断定这个命题和猜想对于从从n n0 0开

7、始的所有正整数开始的所有正整数n n都正确都正确. . 这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法例例1用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列， 则则a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nNnN* *都成立。都成立。 例题讲解例题讲解证明证明: (1): (1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=a=a1 1, ,右边右边=a=a1 1 + +（1-1)1-1)d=ad=a1 1, , 当当n=1n=1时，等式成立时，等式成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时等式成立，时等式成立， 即即 a

8、ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时a ak k+1 +1 = a= ak k+d+d = a = a1 1+(k-1)d+d +(k-1)d+d = a = a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN* *都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什有什么变化么变化证明证明: (1) 当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立 (2) 假设假设n=k时，等式

9、成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据例例2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2 例例3、已知、已知x 1，且，且x 0，n N*，n2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k(k2)时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1 ，所以，所以1+

10、x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1证明证明:(1)当当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右,n=2时不等式成立时不等式成立 =(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论其格式主要有两个步骤、一个结论: : （1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确；等）时结论正确；