大学物理第8章平衡态与分子热运动的统计规律

1、玻耳兹曼玻耳兹曼麦克斯韦麦克斯韦8.1 .1平衡态平衡态系统分类（按系统与外界交换特点）：系统分类（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换能量包括做功和热量交换。能量包括做功和热量交换。2.2.外界外界: :系统以外与系统有关的物体或环境。系统以外与系统有关的物体或环境。1. 1. 热力学系统（系统）：热力学系统（系统）：热学中的研究对象热学中的研究对象。系统分类（按系统所处状态

2、）：系统分类（按系统所处状态）：平衡态系统平衡态系统非平衡态系统非平衡态系统3.3.平衡态：平衡态： 在不受外界影响的条件下，一个系统的宏在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。观性质不随时间改变的状态。非平衡态非平衡态: : 不具备两个平衡条件之一的系统。不具备两个平衡条件之一的系统。平衡条件平衡条件: : (1) (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) (2) 系统的宏观性质不随时间改变。系统的宏观性质不随时间改变。 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，

3、每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间间 改变。改变。5.5.平衡过程：平衡过程： 当气体的外界条件改变时，它的状态就发生变化。当气体的外界条件改变时，它的状态就发生变化。气体从一个状态不断地变化到另一个状态，所经历的气体从一个状态不断地变化到另一个状态，所经历的是个状态变化的过程。如果过程进展得十分缓慢，使是个状态变化的过程。如果过程进展得十分缓慢，使所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状态，这所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状态，这个过程就叫做平衡过程。个过程就叫做平衡过程。4.4.热平衡：热平衡：刚性导能板隔开的刚性导能板隔

4、开的( (或相互接触的或相互接触的) )两个两个( (或多或多个个) )系统所达到的共同的平衡状态。系统所达到的共同的平衡状态。 8.4 8.4 理想气体状态方程理想气体状态方程 实验表明，表示平衡态的三个参量实验表明，表示平衡态的三个参量P P、V V、T T之间之间存在着一定的关系。把反映气体的存在着一定的关系。把反映气体的P P、V V、T T之间的关之间的关系叫做气体的状态方程。一般气体，在密度不太高、系叫做气体的状态方程。一般气体，在密度不太高、压强不太大（与大气压比较）和温度不太低（与室温压强不太大（与大气压比较）和温度不太低（与室温比较）的实验范围内，遵守玻意耳定律、盖吕萨克比较

5、）的实验范围内，遵守玻意耳定律、盖吕萨克定律和查理定律。定律和查理定律。注意：注意：对于不同气体，这三条定律的适用范围不同，对于不同气体，这三条定律的适用范围不同，不易液化的气体，如氮、氧、氢，氦等适用的范围比较不易液化的气体，如氮、氧、氢，氦等适用的范围比较大。大。 实际上在任何情况下都服从上述三条实验实际上在任何情况下都服从上述三条实验定律的气体是没有的。定律的气体是没有的。8.4 理想气体状态方程理想气体状态方程 将实际气体抽象化，认为能无条件服将实际气体抽象化，认为能无条件服从上述三条实验定律的气体称为理想气体。从上述三条实验定律的气体称为理想气体。压强不太高，温度不太低压强不太高，温

6、度不太低 K)J/(mol31. 8K35.271molm104 .2210013. 13325mNRkRNA1.3810-23 J/K普适气体常量：普适气体常量：玻耳兹曼常量：玻耳兹曼常量：NA6.021023 /mol阿伏伽德罗常量：阿伏伽德罗常量：设设1mol1mol气体的分子数为气体的分子数为RTMMRTpVmolRTNNRTmNNmpVAANkTTNRNpVAnkTkTVNpn分子数密度分子数密度M气体分子总质量气体分子总质量m气体分子质量气体分子质量Mmol气体分子摩尔质量气体分子摩尔质量N气体分子总分子数气体分子总分子数molMRT.v601 氮气分子在氮气分子在270C时的平均

7、速率为时的平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子气体分子平均速率平均速率8.5.2 分子的平均碰撞次数和平均自由分子的平均碰撞次数和平均自由程程AB 在相同的在相同的 t时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移大小比它的路程小得多的位

8、移大小比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间) 分子分子自由程自由程: 气体分气体分子两次相邻碰撞之间自子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。由通过的路程。分子分子碰撞频率碰撞频率: 在单位时在单位时间内一个分子与其他分子间内一个分子与其他分子碰撞的次数。碰撞的次数。 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假假定定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球的弹性小球.只有某一个分子只有某一个分子

9、A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。v一、平均碰撞次数一、平均碰撞次数A dddvvA dddvv运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内:分子分子A经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数 由统计观点可知，分子在各个方向发生碰撞的概率由统计观点可知，分子在各个方向发生碰撞的概率是相同的，分子在

10、是相同的，分子在0180发生都可以发生碰撞，平均发生都可以发生碰撞，平均起来碰撞夹角为起来碰撞夹角为90。两分子相互垂直碰撞的平均相对速率为：两分子相互垂直碰撞的平均相对速率为：v vv v22222vvvuvu2uv vu uv vnvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均自由程平均自由程ndZv221 与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比nkTp NdVpdkT2222当温度恒定时当温度恒定时,平均自由程

11、与气体压强成反比平均自由程与气体压强成反比 平均自由程只与分子的直径和密度有关，而与平均速率无关。平均自由程只与分子的直径和密度有关，而与平均速率无关。二、平均自由程（二、平均自由程（ ）：分子在连续两次和其它分子：分子在连续两次和其它分子发生碰撞之间所通过的自由路程的平均值。发生碰撞之间所通过的自由路程的平均值。 例：在恒定不变的压强下，气体分子在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率的平均碰撞频率 与气体的热力学温度与气体的热力学温度 T的关系为的关系为Z(A) 与与T 无关无关。Z(B) 与 成正比。ZT(C) 与与 成反比成反比。ZT(D) 与与T 成正比成正比。Z C C 例：汽缸

12、内盛有一定的理想气体汽缸内盛有一定的理想气体, ,当当温度不变温度不变, ,压强增大一倍时压强增大一倍时, ,该分子的平均该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：碰撞频率和平均自由程的变化情况是： ZZZZ（A） 和和 都增大一倍；都增大一倍；（B） 和和 都减为原来的一半；都减为原来的一半；（C） 增大一倍而增大一倍而 减为原来的一半；减为原来的一半；（D） 减为原来的一半而减为原来的一半而 增大一倍。增大一倍。1.1.小球假设：小球假设：分子可以看作分子可以看作质点质点nkTP 0P在在T T 一定的情况下，一定的情况下，n n 值小，意味着分子间距大。值小，意味着分子间距大。分子本

13、身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。3. 分子力假设：分子力假设：除碰撞外除碰撞外 分子间分子间无相互作用无相互作用2 .弹性假设：弹性假设：分子间发生分子间发生完全弹性碰撞，完全弹性碰撞， 无能量损失。无能量损失。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。一、理想气体的微观图象一、理想气体的微观图象4.4.统计假设统计假设8.6 理想气体的压强理想气体的压强二二. 等概率假设等概率假设（1）气体处在平衡态时，每个分子处于容器包围的气体处在平衡态时，每个分子处于容器包围的 空间中任一点的机会（称为概

14、率）是相同的，即空间中任一点的机会（称为概率）是相同的，即 分子的数密度分子的数密度 n 处处相同处处相同 ddNNnVV dV 体积元体积元（宏观小，微观大）（宏观小，微观大）（2）平衡态时，每个分子速度按方向的分布是平衡态时，每个分子速度按方向的分布是 完全相同的速度方向的完全相同的速度方向的等概率假说等概率假说若定义若定义ixixvvN22ixixvvN0 xyzvvv222213xyzvvvv则显然有则显然有22222222iixiyizxyzvvvvvvvv理想气体的压强公式理想气体的压强公式 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,(V,N

15、,m m ) )xyz1l2l3lO2S1Sivizviyvixvkvjvivviziyixi 平衡态下器壁各处平衡态下器壁各处压强相同，选压强相同，选A A1 1面面求其所受压强。求其所受压强。分子的动量增量：分子的动量增量：()2iixixixpmvmvmv 每时每刻都有大量气体分子与器壁发生碰撞每时每刻都有大量气体分子与器壁发生碰撞器壁受到一个均匀的持续的器壁受到一个均匀的持续的压力压力设第设第 i 个分子的速度为个分子的速度为 vi完全弹性碰撞完全弹性碰撞气体分子不停地作无规热运动气体分子不停地作无规热运动 即即器壁施于分子的冲量器壁施于分子的冲量 分子施于器壁的冲量分子施于器壁的冲量

16、：2ixmv2S1Scbxyz1va2(/2 ) 2(/ )ixixxvamv dtmva dtdt时间内时间内施于施于S1 面的总冲量：面的总冲量：单位时间内和单位时间内和S1 面的碰撞次数是面的碰撞次数是 vix /2a1222111NNNSiixixxiiimmNmdIdivdtvdtv dtaaa在在dtdt时间内容器内时间内容器内 N 个分子给个分子给 S1 面的总冲量：面的总冲量：分子在与分子在与S1 面相继发生两次碰撞之间走过距离面相继发生两次碰撞之间走过距离2adt时间内和时间内和S S1 1 面的碰撞次数是（面的碰撞次数是（vixix /2/2a）dtdt213nmvS1 面

17、上所受的压强等于面上所受的压强等于1221SxxdINmvpnmvdtdsaS2212213323kmpnmvvnn注注：宏观量宏观量 p微观量平均值微观量平均值k统计规律统计规律气体分子的平均平动能气体分子的平均平动能压强公式压强公式 涨落涨落：宏观量瞬时值偏离统计平均值的现象宏观量瞬时值偏离统计平均值的现象系统的分子数越多，涨落就越小系统的分子数越多，涨落就越小四、混合气体：四、混合气体：道尔顿分压定律道尔顿分压定律 pnkT12imnnnnn12impppppTNRnRTNNVpAA 1一、温度的统计解释一、温度的统计解释RTMMpVmol 玻玻尔尔兹兹曼曼常常量量12310381 KJ

18、.NRkAnkTp tnp32kTvmt23212温度是大量气体分子平均平动动能大小的量度，它温度是大量气体分子平均平动动能大小的量度，它是大量分子热运动统计平均的结果。是大量分子热运动统计平均的结果。8.7 温度的微观意义温度的微观意义温度的统计意义温度的统计意义kTk23宏观量温度宏观量温度微观量平动动能微观量平动动能统计平均值统计平均值a. 温度实质（统计概念）温度实质（统计概念）b. 温度反映大量分子热运动的剧烈程度。温度反映大量分子热运动的剧烈程度。热运动剧烈程度热运动剧烈程度反映大量分子反映大量分子例：两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能相等，例：两瓶不同种类的气体，其分子平均平

19、动动能相等，但分子密度数不同。问：它们的温度是否相同？压但分子密度数不同。问：它们的温度是否相同？压强是否相同？强是否相同？解：解：32kT1212TTPnkT1212,nnTT12PP一、自由度一、自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例8.8 能量均分定理能量均分定理He2OOH23NHxzy),(zyxC 双原子分子双原子分子xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rti平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=

20、25 rtixzy),(zyxC 三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti二、能量均分定理二、能量均分定理kTvmt23212222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能能 均匀分配在每个平动自由度上。均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度的平均动能都是kT21能量按

21、自由度均分定理能量按自由度均分定理如果气体分子有如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为个自由度，则分子的平均动能为kTik2 内能：内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，热力学系统的全部微观粒子具有能量总和， 包包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用内及核内的能量。这里特指前两种，用 E 表示。表示。* 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。* 是气体分子无规则碰撞的结果。是气体分子无规则碰撞的结果。三、理想气体的内能三、理想气体的内能分子间相互作

22、用分子间相互作用可以忽略不计可以忽略不计分子间相互作用的势能分子间相互作用的势能=0对于刚性分子，不计分子间势能，理想气体的内对于刚性分子，不计分子间势能，理想气体的内能能=所有分子的热运动动能之总和所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为理想气体的内能为RTikTiNEA220 )(一定质量理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2 理想气体内能仅是温度的单值函数，理想气体内能仅是温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。与气体的压强、体积无关。温度改变，内能改变量为温度改变，内能改变量为TRiMMEmol 2 例例 1 自由度为自由度为 的一定量刚性分子理想气体，

23、当的一定量刚性分子理想气体，当其体积为其体积为 、压强为、压强为 时，其内能时，其内能 _ iVP E2iPVE RTiMMEm2 RTMMPVm 8.9 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。一、气体分子的速率分布一、气体分子的速率分布 分布函数分布函数研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间求气

24、体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数各区间的分子数占气体分子总数的百分比各区间的分子数占气体分子总数的百分比分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数vOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面积大小代表速率面积大小代表速率v附附近近dv区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率NdNdvNdvdNdvvf)(因此有因此有 或或 dvvfNdNv dvNdNvff(v):速率分布函数速率分布函数 100dvvfNdNNv归一化条件物理意义：一定量的理想气体在平衡态下，速率在物理意义：一定量的理想气体在平衡态下，速率在 v

25、附附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。或：一个分子的速率出现在或：一个分子的速率出现在v 附近的单位速率间隔内的概率附近的单位速率间隔内的概率分布在任一速率区间分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占的分子数占总分子数的比率总分子数的比率f(v)f(vp)vvpv v+dvv1v2dNN面积面积= 分子速率位于分子速率位于vv+dv区间内区间内的概率的概率( 几率）几率）;速率在速率在vv+dv 区间内的分子区间内的分子数占总分子数数占总分子数的比例；的比例；dvvfNNvv 21)( 分子速率位于分子速率位于v1v2区间内的区间内的概率概率

26、( 几率几率) ；速率在速率在v1v2 区区间内的分子数间内的分子数占总分子数的占总分子数的比例；比例；1)( dvvf曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1、最概然速率、最概然速率pv与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0)( pvvdvvdfmolmolpMRT.MRTmkTv41122 三、分子速率的三个统计值三、分子速率的三个统计值物理意义物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在间，则分布在 vP所在区间的分子数比率最大。所在区间的分子数比率最大。对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNvmolmolMRT.MRTmkTv60188 2、平均速率、平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值