海南省2020届高三数学调研测试试题（含解析）

1、海南省2020届高三数学调研测试试题（含解析）一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】算出集合B，求出，直接进行交集运算即可.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2.已知复数，为的共轭复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3.已知向量，且与的夹角为，则x=（ ）A. -2

2、B. 2C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得的关系，结合充分必要条件性质即可判断.【详解】若，根据对数函数的定义域及单调性可知，可得，因而具有充分关系；若，则，当时对数函数无意义，因而不具有必要性；综上可知“”是“”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像

3、性质的应用，属于基础题.5.若双曲线()的离心率为，则（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案；【详解】因为()可化为()，所以，则，即.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）A. 30B. C. 33D. 【答案】B【

4、解析】【分析】由判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.【详解】因为，所以，又底面，所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)f(9-x2)的解集为（ ）A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-4,3)D. (-3,4)【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得，进而可知在R上为增函数，转化条件得，解一元二

5、次不等式即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即，解得，即，易知在R上为增函数.又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件可设，然后计算出和即可.【详解】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的

6、得0分.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：)情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A. 他们健身后，体重在区间内的人数增加了2个B. 他们健身后，体重在区间内人数没有改变C. 因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可【详解】体重在区间内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A正确；他们健身后，

7、体重在区间内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；他们健身后，已经出现了体重在内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；因为图2中没有体重在区间内的比例，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：它的图象关于直线对称；它的最小正周期为；它的图象关于点对称；它在上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据图象的变换得出的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为，所以，令，得，

8、所以不是对称轴错误，显然正确，令，得，取，得，故关于点对称，正确，令，得，取，得，取，得，所以错误.所以选项BC正确.故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把当成整体.11.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.【详解】解：由，得，则，故正确的有：故选：.【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.12.已知函数的定义域为，则（ ）A. 为奇函数B. 在上单调递增C. 恰有4个极大值点D. 有且仅有4个极值点【答案】BD【解析】【分析】由函数的

9、定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，当时，则在上单调递增.显然，令，得，分别作出，在区间上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.故选：BD【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数,则_.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数

10、求值,考查指数、对数的运算14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为，则随机变量的方差_.【答案】47.5【解析】【分析】由题意得到，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，.故答案为：【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单.15.已知，且，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以.因为，所以(当且仅当，时，等号成立)，所以.故答案为：【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.16.在正方体中，E为棱CD上一点，且，

11、F为棱的中点，且平面BEF与交于点G，与交于点H，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由线面平行的性质可得，即可得到，又，则可求. 连接AC交BE于M，过M作，MN与交于N，连接FM，则H为FM与的交点，根据三角形相似可得线段的比.【详解】解：是正方体面面面平面，面面则，则，即，又，则.连接AC交BE于M，过M作，MN与交于N，连接FM，则H为FM与交点.因为，所以，则.所以，所以，故.故答案为：；【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解

12、答已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】；证明见解析【解析】【分析】选择：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.【详解】选择，证明：则由余弦降幂公式可得，即，由可得，又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，由余弦定理可知，代入可得，即，则，化简可得，即，又因为，所以为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形

13、，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，联立解方程可得数列的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.【详解】解：（1）因为，所以， 依题意可得， ， 故；（2）由（1）可知，故 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.（1）证明：ABPD.（2）求二面角APBC的余弦值.【

14、答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；（2）由AD2+BD2AB2，可得ADBD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.详解】（1）证明：连结BD，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.BDAD，AD2+PD2AP2，BD2+PD2PB2，ADPD，BDPD，ADBDD，PD平面ABCD，AB平面ABCD，ABPD.（2）解：AD2+BD2AB2，ADBD，以D为原点，DA为

15、x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0），C（，0），P（0，0，），（），（0，），（，），设平面ABP的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面PBC的法向量，则，取，得（1，1，1），设二面角APBC的平面角为，则二面角APBC的余弦值为：cos.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若

16、两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.【答案】（1）0.0294.（

17、2）应选生产线.见解析【解析】【分析】（1）由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为. （2）若选择生产线，设增加生产成本为(万元)，则的可能取值为0，2，3，5. ，,所以万元；故选生产线的生产成本期望值为 (万元). 若选生产线，设增加的生产成本为（万元），则的可能取值为0，8，5，13. ，所以，故选生产线的生产成本期望值为 (万元)，故应选生产

18、线.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21.已知O为坐标原点，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C. （1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.（2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点T.【解析】【分析】（1）设点，根据，求得点的轨迹方程为，联立方程组，解答坐标，结合斜率公式，即可求解.（2）设，则，解得,，假设顶点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则，求得，即可得到结论.【详解】（1）设点，因为，即，整理得点的轨迹方程为，联立方程组，解得且，所以，所以