分类讨论思想5

1、精品资源欢下载分类讨论思想一、知识整合1 .分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对 于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命 题在高考试题中占有重要位置。2 .所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对 研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综 合各类结果得到整个问题的解答。实质上， 分类讨论是“化整为零，各个击破， 再积零为整”的数学策略。3 .分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越 级讨论。4 .分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行 分类；逐

2、类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5 .含参数问题的分类讨论是常见题型。6 .注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例1.一条直线过点（5, 2）,且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）a. x y -7 = 0b.2x -5y = 0c. x + y-7=0 或 2x-5y = 0d. x + y+ 7 = 0或 2y-5x = 0分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2当a=0时，直线过原点，此时直线方程为 y =-x即2x-5y = 0 ；5当a #0时，设直线方程为-yl=t则求得a = 7 ,方程为x + y-7 = 0。a a例 2. aabc中，已知 si

3、n a=-, cosb =,求 cosc213分析：由于 c -二- (a b) c c = -c a b)-c ac bos a s o b1o o因此，只要根据已知条件，求出cosa, sinb即可得cosc的值。但是由sina 求cosa时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角a进行分类解 0cosb = 5 2 ,且 b为&abc的一个内角 二 45，1x分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。11解：若a1,则原不等式等价于1-a=x0x 1

4、- a1 - 10若0 ：二a 1,则原不等式等价于1 : x :二x =1 - 1时，原不等式的解集为x，x0xi 1 a j11当0a1时，原不等式的解集为vx1x0, 一 cx 0解：原不等式等价于5-4x-*2 20或222|5-4x -x 之 0x之0一5 x xx ： 0或5 - x - 1,14 x -1 -4.14=-5 x - -1 -22_.14 .=0mxm -1 +或 一5 m x 02,原不等式的解集为x.14-5 x -1 2例6.解关于x的不等式：ax2 -（a +1）x + 1 0或a0,因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不 等式的解是在两根之外，还是在

5、两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与 a 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。解：（1）当a=0时，原不等式化为-x + 11(2)当a #0时，原不等式化为a(x-1)(x-)0 a1右a 0 a0 0, 1,不等式解为x 1aaa若a 0,则原不等式化为(x -i)(x -i) 1时，！i,不等式解为!x1 aa.1 一一 ,一,(ii)当a=1时，=1,不等式解为xw0a一， 11(iii )当0 1,不等式解为1x1 aa综上所述，得原不等式的解集为、.11.1.当a 1 ；当a = 0时，解集为x|x口；i a j当0a 1时，解集为4x1x1时，

6、解集为4xx例7.已知等比数列的前n项之和为s ,前n+1项之和为s书，公比q0,令tn =snsn1，求 niimtn。分析：对于等比数列的前n项和&的计算，需根据q是否为1分为两种情 形：当q = 1时，sn =na当q。1 时，& =a1（1-q ）1 -q另外，由于当|q|0 n- -故还需对q再次分类讨论。解：当 q = 1 时，sn = na1, & 书=(n + 1)a1im tn = im = 1当驾空,n 1ai(1-q )i -qtnsn _ 1-qn qn 1当 0 a1 时,nlmg;当 q1 时,qm tn )则 -q综上所述，知1, (0q1)例8.设k wr,问方

7、程(8-k)x2 +(k4)y2 = (8-k)(k -4)表示什么曲线?22分析：容易想到把方程变形为+=1,但这种变形需要k4,且k-4 8-kk =8,而且k-4与8-k的正负会引起曲线类型的不同，因此对 kw(-,十00)要进行分类：kw(-00, 4), k=4, k(4, 8), k=8, k(8, 十兀)，又注意到k -4 = 8-k 0与k -4 #8-k(k - 4 0且8 - k 0)表示的曲线是不一样的，因此还应有一个“分界点”，即k=6,故恰当的分类为 s 4), 4, (4, 6), 6,(6, 8) , 8, (8, +8)解：(1)当k=4时，方程变为4x2=0,

8、即x=0,表示直线;(2)当k=8时，方程变为4y2=0,即y=0,表示直线；22(3)当k #4且k #8时，原方程变为 x一 十 y=1k-4 8-k(i)当k4时，方程表示双曲线；(ii )当4k6时，方程表示椭圆;(iii )当k=6时，方程表示圆；(iv)当6k8时，方程表示双曲线。例9.某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人 车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各 3人，问有多 少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有g3种选法，但此时不清楚 选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会 车工，因此在选

9、车工时，就无法确定是从 7人中选，还是从六人、五人或四人 中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分 类：(1)选出的6人中不含全能工人；(2)选出的6人中含有一名全能工人； (3)选出的6人中含2名全能工人；(4)选出的6人中含有3名全能工人。解：c4 c3 +c： c3 c3 +c4 c3 c3 + c2 c1 c： +c2 c4 c；十 c2 c： r2+c； +c： +c3 c4 c +c；c 4 =309或:c3 c +c3 c32 c63 +c； c c； +c； c： =309三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需 要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总 结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另 外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情 形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此 在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举 以下几例：(1) ”方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为b2-4ac20”时忽略了了 个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为学0;(2)等比数列aiqn的前n项