2010年北大附属中学高三数学教学案

1、北大附属中学2010届高三数学教案：第三讲函数概念一、 知识清单1映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。2函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。3函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。4函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及

2、到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。5函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法）；换元法（代数换元法）；不等式法；单调函数法.注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便

3、.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域为R; 二次函数 当时值域是,当时值域是； 反比例函数的值域为； 指数函数的值域为； 对数函数的值域为R； 函数的值域为-1，1； 函数,的值域为R；二、 课前练习1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个。1 / 112. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是( )（A）2 （B）3（C）4 （D）53.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。4. 求函数的定义域. 5. 若函数的定义域为-1,1，求函数的定义域。6.

4、已知 (x0), 求.7. 求函数的值域.8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 三、 典型例题EG1、A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有 个。变式1、若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.变式2、集合M=a，b，c，N=1，0，1，映射f:MN满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:MN的个数是多少？EG2、设函数，求函数的定义域.变式1： 函数的定义域是 A. B. C. D. 变式2：设，则的

5、定义域为 A. B. C. D. 函数值域求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法一、用非负数的性质例求下列函数的值域：y=-3x2+2;变式：y=5+2(x-1).二 分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域 例求下列函数的值域：y=变式2、y=.三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法例求函数y=3x-的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+

6、b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用例4求函数y =的最值变式：；五、利用数形结合 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外例5若（x+）(y-)=0,求x-y的最大、最小值变式：函数的值域 . 六、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑例6求函数y=2x-5+的值域变式：求函数的值域七、利用反函数求值域因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f-1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域例7求函数y=(x0)的值域变式：函数 y的值域是 由ex0，得值域为(-，-1)(2，+)；八、利用已知函数的有界

7、性例8求函数y=的值域.变式：求下列函数的值域（1）（2）；函数解析式一、定义法：例1：设，求.变式1：设，求.变式2：设，求.变式3：设.二、待定系数法：例2：已知，求.变式1、已知是一次函数，且满足，求；三、换元（或代换）法：例3：已知求.变式1：设，求.变式2：若 求. 变式3：设，求。四、微积分法：例4：设，求.四、 实战训练1、(07安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)(0x2) (B) (0x2)(C) (0x2)(D) (0x2)2、（07陕西文2）函数的定义域为（A）0，1（B）（-1，1）（C）-1，1（D）（-，-1）（1，+）3、（07山东文13）设函数则 4

8、、（07北京文14）已知函数，分别由下表给出123211123321则的值为；当时，5、（07北京理14）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是6、（07上海理1）函数的定义域为7、（07湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；（毫克）（小时）药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时

9、，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室8、(07浙江文11)函数的值域是_9（08北京模拟）若函数的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b的为 。10 （08北京模拟）对于任意实数，定义 设函数，则函数的最大值是_ . 11（08北京模拟）已知函数的定义域是，值域是，那么满足条件的整数数对共有 （ ） （A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个 12.（08全国）函数的定义域为（ ）ABCD13.（08四川）设定义在上的函数满足，若，则( )（） （） （） （）14.（08江西）若函数的值域是，则函数的值域是A B C D15.（08湖北）函数的定

10、义域为A. B. C. D. 16.（08陕西）定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D917.（08重庆)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为(A)(B)(C)(D)18.（08安徽）函数的定义域为 19.（08湖南卷14）已知函数若a0,则的定义域是 ; 20（07陕西）设函数f(x)=其中a为实数.()若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;()当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.21（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为 （A）2个 （B）3个

11、 （C） 5个 （D）无数个 12.（08全国）函数的定义域为（ ）ABCD13.（08四川）设定义在上的函数满足，若，则( )（） （） （） （）14.（08江西）若函数的值域是，则函数的值域是A B C D15.（08湖北）函数的定义域为A. B. C. D. 16.（08陕西）定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D917.（08重庆)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为(A)(B)(C)(D)18.（08安徽）函数的定义域为 19.（08湖南卷14）已知函数若a0,则的定义域是 ; 20（07陕西）设函数f(x)=其中a为实数.()若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;