数学建模淋雨模型

1、淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数 学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a=1.5m （颈部以下），宽b=0.5m, J7-c=0.2m, 设跑步的距离d= 1000m,跑步的最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量3 =2cm/h,及跑步速度为v,按以下步骤进行讨论”：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全 程的总淋雨量；（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 0，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, 3, 0之间的关系， 问

2、速度v多大，总淋雨里最少。计算0=0, 0 =30的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角 为a,如图2 建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, 3, a之间的关系, 问速度v多大，总淋雨量最小。计算a =30的总淋雨量（说明：题目中所涉及 的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑（的影响），并解释结果的 实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位 面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。可得：淋雨

3、量(V)二降雨量(3)X人体淋雨面积(S) X淋浴时间(t)时间(t)二跑步距离(d)十人跑步速度(V)由得： 淋雨量(V) =G)XSXd/v三、模型假设(1 )、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m (颈部以下)，宽b=0.5m,厚c=0.2m. 设跑步距离d= 1000m,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u =4m/s,降雨量w=2cm/h,记 跑步速度为V;(2) 、假设降雨量到一定时间时，应为定值；(3) 、此人在雨中跑步应为直线跑步；(4) 、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失 的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：(一) 、模型【建

4、立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S = 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V=co XSXd/vco =2cnVh=2X 10 2/3600 (m/s)将相关数据代入模型中，可解得：S = 2.2 (m2)V = 0. 00244446 (cm3 )=2. 44446 (L)(二) 、模型建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为0.,则淋 雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量.(如图1)设雨从迎面吹来时与人体夹角为&，且0 9(u sin& +v)/u(d/v)即：V2 = ab“ 6?(u sin& +v)/(u

5、 v)(2) 、考虑顶部淋雨量：(由图可知)雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为(UCOS&),顶部面积为(C),淋雨时间 为(6/V),于是顶部淋雨量为：Vi = bcscos&/vIII可算得总淋雨量：V = Vi +V2 = bcsdcos&/v+abds(usin& + v)/(u v)代入数据求得:/ _ cos& + 75sin& + l875v1800-v由V （v）函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（&）两者有关。对函数V （v）求导，得：7 _ cos& + 7.5sin&（1800 -v）2-显然:V0,

6、所以V为V的减函数，V随V增大而减小。因此，速度v=vm=5in/s，总淋雨量最小。（I）当0=0,代入数据，解得：V=0.0011527778 （m3 ） 1.153 （L）（II）当0=30。，代入数据，解得：V=0.0014025（n?戶 1.403 （L）（三）、模型1【1建立及求解：若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a则淋 雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）设雨从背部吹来时与人体夹角为& ,且0 a 90 ,建立a, b, c, d, u, a , e之间的关系为：（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量Vi ,它与

7、 模型中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：Vi = b c s cos a （ / v） = b c e d coso/v(2)、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为:u sin a-v, v u sinaco (it sina-v)/u , v u sina 总淋雨量最小，且 V=0.0002405 （n? ） =0.2405（L）可得人背部淋雨量为：而总淋雨量：V=Vi+ V3u u as mu s -v u sin a从而有:V = bcQcosa/v + a bde(“ sina-v)/ii,V = bcQ J-cosa/v + abde(v-usina)/ii,v u si

8、na化简式得:V = bd力(ccosa + dsina)/v-a/w, v u sin a代入相关数据化简得：V = (0.2cosa +1 5sina)/ v - 0.375/ 360,V = (0.2cosa -1.5sina)/v + 0.375/ 360,v u sina由V (v)函数可知：总淋雨量(V)与人跑步的速度(v)以及雨线与人的夹角 (&)两者有关。(I )、当 vSusina时，且 0 a 0 对式求导，易知Vu sin a时，且0 a 90 ,对式求导，解得:e l5sina-02cosaV= (,180.v)2(i)、 l5sin a 0.2 cos a 0 时,E

9、P : tan a 0 时,即:tan a 2/15,即 V、0；从而推出，总淋雨量(V)随着速度(V)的增加而增加，所以，当速度(v)取最小， B|J v=u sin a总淋雨量最小。当 a =30 , tan a 2/15 ,由模型分析的,当 v=u sin a =4X 1/2=2 (m/s)五、结果分析：（1）在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二相似，将模型二与模型三综合起来 跟实际的生活就差不多很相似了。由这三个模型可以得岀在一泄的速度下人跑的越快淋雨量 就越少。（2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好（3）若雨从背面吹来时，分为两种情况：当tan a c/a时，跑步速度v=u sin ci时V最小；当tan a c/a时，跑得越快越好。但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平而内，若是雨线方向与人的跑步方向不 在同一平面内建立坐标系上，对于这种情况，我们认为在本质和考虑问题