与轴对称相关的线段之和最短问题

1、与轴对称相关的线段之和最短问题 作者: 日期：与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰.问题的引入:在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果.数学模型:1.如图,直线l和l的异侧两点a、b,在直线l

2、上求作一点p,使pa+pb最2.如图，直线l和l的同侧两点a、b,在直线l上求作一点p,使pa+pb最3 .如图，点p是/mon内的一点，分别在om, on上作点a, bo使4pab的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4 .如图，点p, q为/mon内的两点，分别在 om, on上作点a, b。使四边-u0形paqb的 周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5 .如图，点a是/mon外的一点，在射线 on上作点p,使pa与点p到射线om的距离之和最小6一如图，点a是/mon内的一点，在射线on上作点p,使pa与点p到射线om的距离之和最小为方便

3、归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一)直线类1 .如图，a、b两个小集镇在河流cd的同侧，分别到河的距离为 ac=10千米，bd = 30千米，且cd = 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向a、b两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流cd上选择水厂的位置m,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点b关于直线cd的对称点b,连接ab,交cd于点m则am+bm = am+bm = ab,水厂建在 m点时，费用最小如右图，在直角 abe中，ae = ac+ce = 10+30 = 40eb = 30所以：ab = 50总费用为：50 x3 =

4、150万2 .如图，c为线段bd上一动点，分别过点 b d作ab，br edlbd,连接ac. eg 已知 ab=5 de=1, bd=8 设 cd=x.(1)用含x的代数式表示ac+ ce的长；(2)请问点c满足什么条件时，au ce的值最小？ 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 6+4 +m(12-x) 2+9的最小值(1)ac =/8- 2 + 25 , ce =贝u ac+ce = (8-x) 2 + 25 +x2 + 1(2)a、c e三点共线时ac+cet小连接ae,交bdt点c,则ae就是ac+cee勺最小值 最小值是10 如右图，ae的长就是这个代数式的最小值在直角 a

5、ef 中,af = 5 ef = 12d2e3.求代数式心2 + 1 + m(4-x)2 + 4 (0 x 2分当点p(2平,-3)时作点c关于y轴的对称点e,过点p作x轴的垂线，垂足为f在直角4efp 中，ef = 3，3 , pf = 3根据勾股定理，得ep = 6所以pm+cm的最小值是6,则pm+cm 629.如图，在矩形oabc中，已知a、c两点的坐标分别为a(4, 0)、c(0, 2), d为oa的中点.设点p是/aoc平分线上的一个动点(不与点 。重(1)试证明：无论点p运动到何处，pc总与pd才(2)当点p运动到与点b的距离最小时，试确定过解析式；(3)设点e是(2)中所确定抛

6、物线的顶点，当点周长最小？求出此时点p的坐标和 pde的周长；(4)设点n是矩形oabc的对称中心，是否存在点p,使/ cpn = 90 ?若存在，请直接写出点p的坐标.目等；0、p、d三点的抛物线的p运动到何处时， pde的1y mi0 d a合).(i)aocpaodp过点b作/ aoc的平分线的垂线于点p,点p即为所求过点p作pmxbc一，-_1于点 m ,则 pm = bf = 1所以点p的纵坐标为3,又因为点p在/aoc的平分线上，因为抛物线过原点,故设y = ax2 + bx又抛物线经过点p(3, 3), d(2, 0)b = -2则 p(3, 3)9a+3b=3 4万则抛物线的解

7、析式为y =x2 - 2x所以4a+2b=0斛行a = 1点d关于/ aoc的平分线的对称点是点c,连接ce交of于点p,则4pde的周长最小抛物线的解析式为y = x2 -2x的顶点e(1, -1), c(0, 2)设直线ce的解析式为y = kx+b,则-1=k+b2=bk b 解得 k = -3, b = 2直线ce的解析式为y = -3x+2点p的坐标满足y 3x+2解得x = 2 ,y = 2xy4 乙11所以p(2, 2 ) pde的周长即是 ce + de = 屈 + ，211 ,、(4)存在这样的点p,使/cpn = 90 ,坐标是(2 , 2 )或(2, 2) 30.已知：抛

8、物线y = ax2+bx+c(aw0)的对称轴为x = -1,与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c,其中a(-3, 0)、c(0, -2)(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点 p,使得4pbc的周长最小.请求出点p的坐标.(3)若点d是线段oc上的一个动点(不与点 o、点c重合).过点d作de/ pc交x轴于点e,连接pd、pe.设cd的长为m, pde的面积为s.求s 与m之间的函数关系式.试说明s是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.b-2a =124由就息行 9a-3b+c = 0斛行a =3，b = 3，c = - 2 c = -2抛物线的

9、解析式为y = 2x2 + 3x - 2点b关于对称轴的对称点是点 a,连接ac交对称轴于点p,则4pbc的周长最小设直线ac的解析式为y = kx +b ,因为a(-3 , 0),c(0, -2),则0 = -3k + b2-2 = b 斛行 k = - 3，b = -2所以直线ac的解析式为y = - 2 x - 23把x = -1代入得y =(3)s存在最大值1/v以所v de/ pc,. oe _od oe _ 2-m, oa = oc，即 3 = 2_3_ _ 3oe = 3 - 2m , ae = oa - oe = 2m方法一，连接ops = s 四边形 pdoe saoed =

10、 sa poe + sa pod sa oed=j x(3 - |m)+ x(2 - m) x1 - j x(3 - |m) x(2 - m)223 2223 2 332 3=-4m + 2m = - 4(m-1)+ 4一 .3所以，当m = 1时，s最大=彳方法二，=-3m2 + 3m =s = saoac saaep saoed -sapcd（十一）建桥选址类31.如图，村庄a、b位于一条小河的两侧，若河岸 a、b彼此平行，现在要建 设一座与河岸垂直的桥 cd,问桥址应如何选择，才能使 a村到b村的路程最 近？作法：设a、b的距离为r。把点b竖直向上平移r个单位得到点b；连接ab,交a于c

11、;过c作cd b于d;连接ac、bd。证明：v bb / cd 且 bb = cd,四边形bbcd是平行四边形，cb=bdac + cd + db = ac + cb+ bb = ab + bb在a上任取一点c,作cd,连接ac、db, cb同理可得 ac + cd + db = ac + cb + bb而 ac + cba b.ac + cd + db 最短。本题是研究ac + cd + db最短时的c、d的取法，而cd是定值，所以问题集 中在研究ac + db最小上。但ac、db不能衔接，可将bd平移bic处，则 ac + db可转化为ac+cb,要使ac + cb最短，显然，a、c、b三

12、点要在同 一条直线上。32 .如图，a、b是直线a同侧的两定点，定长线段 pq在a上平行移动，问pq移动到什么位置时，ap+pq+qb的长最短?a作法：（假设pq就是在直线l上移动的定长线段）1）过点b作直线l的平行线，并在这条平行线上截取线段bb,使它等于定长pq;2）作出点a关于直线l的对称点a,连接ab,交直线l于p;3）在直线l上截取线段pq=pq.则此时ap+pq+bq最小.略证：由作法可知 pq=pq=bb,四边形pqbb与pqbb均为平行四边形.下面只要说明ap+bqap+bq 即可.点a与a关于直线l对称，则ap=ap,ap=ap.故:ap+bq=ap+bp=ab;ap+bq=

13、ap+bp.显然,abap+bp;(三角形三边关系)即 ap+bq ad, bc bc,所以ad + bc ad +bc,则在不存在一个向右的位置，使四边形 abcd的周长最短当抛物线向左移动时，设 a(-4-a, 8), b(2-a, 2),因为cd = 2,则将点b向左平移2个单位得到点b(-a, 2).点a关于x轴的对称点是a (-4-a, -8),55直线a b的解析式为：y = 2 x + 2 m + 2要使ad + b d最短，点d应在直线a b上16将点d(-4, 0)的坐标代入到直线ab的解析式，得m = 156故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形abcd的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y = 1 (x+v)2 25提示：方法一，a关员轴对称点a，要使ac+cb最短，点c应在直线a b上；方法二，由(1)知，此时事实上，点q移到点c位置，求cq=1今5,即抛物线左移14/5单位；设抛物线左移b个单位，则a (-4-b , 8)、b，(2-b, 2) 。 = cd=2 :b，左移2个单位得到b -b, 2)位置，要使ad+c b最短，只要ad+db最短。则只有点d在直线ab 上（十二）立体图形35 .桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为 12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口