平行四边形知识点及证明题

1、知新教育伴你成长第18章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一.正确理解定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个 判定方法.(2)表示方法：用z7”表示平行四边形，例如：平行四边形abcd记作 abcd读作“平 行四边形abcd .2 .熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.(1)角：平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)边：平行四边形两组 对边分别平行且相等；(3)对角线：平行四边形的 对角线互相平分；(4)面积：$=底父高=2卜；平行四边形的对角

2、线将四边形分成 4个面积相等的三角形.3 .平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4: 一组平行且相等的四边形是平行四边形 、.几种特殊四边形的有关概念(1)矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩 形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 个角是直角，两者缺一不可.(2)菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱 形的性质

3、，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一组邻边相等，两者缺一不可.(3)正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四 边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形.4 .几种特殊四边形的有关性质(1)矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补;对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）.（2）菱形：边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；对称性：轴对称图形（ 对角线所在直线， 2 条 ） （

4、3）正方形：边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450;对称性：轴对称图形（4条）3几种特殊四边形的判定方法（ 1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都相等（ 2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形； 四条边都相等（ 3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组 邻边相等 且有一个 直角的 平行四边形 有一组 邻边相等的 矩形 ； 对角线互相垂直的 矩形 有一个角是直角的 菱形 对角线相等的 菱形 ；

5、4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（ 1）识别矩形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形 abcd的任意一个角为直角. 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形 abcd的对角线相等.说明四边形abcd的三个角是直角.（ 2）识别菱形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形 abcd的任一组邻边相等. 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明对角线互相垂直. 说明四边形abcd的四条相等. 3）识别正方形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形abcd的一个角为直角且有一组邻边相 先说明四边形abcd为平行

6、四边形，再说明对角线互相垂直且相等. 先说明四边形abcd为矩形，再说明矩形的一组邻边相等. 先说明四边形abcd为菱形，再说明菱形abcd的一个角为直角.5.几种特殊四边形的面积问题设矩形abcd的两邻边长分别为a,b,则s矩形=2设菱形abcd的一边长为a,高为h,则s菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为 a,b,贝!麦形=ab .2 设正方形abcd的一边长为a,则s正方形二a2;若正方形的对角线的长为a,则s正方形=1a22性质1 .对边且;2 .对角;邻角；3 .对角线；1 .对边且；2 .对角且四个角都是；3 .对角线；1 . 对边且四条边都;2 .对角;3 .对角线且每条对角线

7、；1 .对边且四条边 都;2 .对角且四个角都 是；3 .对角线且每条对角 线;面积证明题1 .如图，在菱形 abcd中，/ a=60 , ab =4, o为对角线 bd的中点，过。点作oel ab,垂足为e.(1)求/ abd的度数；(2)求线段be的长.2 .如图，菱形abcd的对角线 ac与bd相交于点o,点e、f分别为边 ab、ad的中点，连接ef、oe、 of .求证：四边形 aeof是菱形.c3 .在正方形 abcd中，ac为对角线，e为ac上一点，连接 eb ed.(1)求证： be集 deq(2)延长 be交ad于f,当/ bed=120 时，求/ efd的度数.a fdeab

8、 iic4 . 已知：如图，在正方形 abcd中，点e、f分别在bc和cd上,ae = af.(1)求证：be= df;(2)连接ac交ef于点o,延长oc至点m,使om = oa,连接em、fm.判断四边形 aemf是什么特殊四边形？并证明你的结论.证明：(1)ab,bc的中点，zaef=90o,5 .如图，四边形abcd是边长为a的正方形，点g,e分别是边且ef交正方形外角的平分线 cf于点f.(1)证明：/ bae=z feq(2)证明： ag- ecf，(3)求 aef的面积.6 .已知梯形abcd中，adbc, ab = ad (如图所示)./bad的平分线 ae交bc于点e,联结d

9、e .(1)在图中，用尺规作 /bad的平分线ae (保留作图痕迹，不写作法 )，并证明四边形 abed是菱形；(2)若 /abc =60 , ec =2be，求证：ed _l dc .7 .(2010湖北省黄石市)如图，正方形abcd中，e、f分别是ab、bc边上的点，且ae = bf.求证af de.8 .如图，将矩形纸片 abcd沿ef折叠，使点a与点c重合，点d落在点g处，ef为折痕.(1)求证：fgcebc；(2)若ab=8, ad =4,求四边形ecgf (阴影部分)的面积.9 .如图，在 abc中，d是bc边的中点，e、f分别在ad及其延长线上， c曰bf,连接be、cf.(1)

10、求证： bdfcd巳(2)若ab= ac,求证：四边形 bfcn菱形.(1)b a10 .如图，在矩形 abcd (abvad)中，将 abe沿ae对折，使 ab边落在对角线 ac上，点b的对应点为f,同时将 ceg沿eg对折，使ce边落在ef所在直线上, 点c的对应点为h.(1)证明：af/ hg (图(1);(2)证明： ae匕4egh (图(1);(3)如果点c的对应点h恰好落在边ad上(图(2).求此时/ bac的大小.11.如图，梯形 abcd中，ab/ cd, ac平分/ bad, c曰ad交ab于点e.求证：四边形aecd是菱形.12. 求证：矩形的对角线相等13.如图，在 dabcd中，ef/ bd,分另交 bc cd于点