1013242088湖南省郴州市高考模拟（三）理科数学试题及答案

1、郴州市2015届高三理科数学高考模拟题三一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，且，则集合可能是 （ ）abc d【答案】c 2.函数的图象 （ ） a.关于原点对称 b.关于直线y=x对称 c.关于x轴对称 d.关于y轴对称【答案】d3下列结论中错误的是 ( ) a设命题：，使，则，都有 b若，则“”是“取到等号”的充要条件 c已知命题p和q，若pq为假命题，则命题p与q都为假命题 d命题“在中，若”的逆命题为真命题【答案】c 开始输出a结束否是输入a, b4执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为 （ ） a

2、. b. c. d. 【答案】c 5如果函数的图象关于直线对称，则正实数的最小值是( a )a b c d6 已知、均为单位向量，且满足=0，则（+）（+）的最大值是 （ ） a2+2 b2+ c3+ d1+2【答案】b7数列共有5项，其中，且，则满足条件的不同数列的个数为( b )a. 3 b. 4 c. 5 d. 6【解析】设，则等于1或-1，由，知共有3个1，1个-1.这种组合共有个，选b.8已知点，o为坐标原点，点的坐标x，y满足，则向量 在向量方向上的投影的取值范围是 （ c ）a. b. c. d.xyoapbc【解析】作不等式组表示的平面区域，如图.设向量 在向量方向上的投影为z

3、，则.由图知，所以.当时，3；当时，3.所以z的取值范围是9.定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 （ ）. . . .【解析】构造函数所以是r上的增函数，又因为，所以原不等式转化为，解得.故选a.10若存在正整数,对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列,周期为.已知数列满足, ,关于下列命题：当时，；若,则数列是周期为3的数列；若,则可以取3个不同的值；且,使得数列的周期为6.其中真命题的个数是 （ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【解析】对于，当时，易求得，故为真；对于，当时，可求得，数列是周期为3的数列，故为真；对于，由题意得，又且，故为真；对于，当

4、时，显然数列不是周期数列，当,要使得数列的周期为6，必有,此时,故为假命题.应选c.二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，则线段 长度的最小值为_ 12. 如图,、为圆的两条割线,若，则 .1613.若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . （二）必做题（1416题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩x服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_ 人.来8源:88z 15在小语种自主招

5、生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名并且日语和韩语都要求必须有女生参加学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 种；2416.已知，方程有四个实数根，则t的取值范围为_.【解析】，恒成立，在递增，此时在上递增，在上递减，所以在上有一个最大值为，要使方程有四个实根，令，则方程应有两个不等实根，且一个根在内，另一个根在内，再令，则只需，解得.三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试3

6、0人的跳高成绩(单位：cm)跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格” 高二高一 (1)如果从所有的运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，则应抽取“合格”的人数是多少？(2)若从所有“合格”运动员中选取2名，用x表示所选运动员来自高一队的人数，试写出x的分布列，并求x的数学期望解：(1)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，所以应抽取“合格”的人数为12人 4分(2)依题意，x的取值为0,1,2. 则p(x0)，p(x1)，p(x2).因此，x的分布列如下：x01

7、2p 10分e(x)012. 12分18.（本题满分12分）在中，三边所对的角分别为,设函数， 且（1）若，求角b的大小；（2）记，若，试求的最小值解：(1)由题设条件知f(x)2sin(2x)由正弦定理，知 可化为故, 即因为，所以，又因为,所以, 3分因为，得, 所以. 6分(2) 又，. 9分所以故时，的值取得最小值. 12分另解：记,则p是过b与ac平行的直线上的动点，所以的最小值即点a到直线的距离.abcdso19.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面为等腰梯形，对角线与交于点o，面（1）求证：；（2）若四棱锥的体积，求二面角的平面角的正弦值.解：（1）因为，底面为等腰梯形，所

8、以，又，则，即，又面，则，而，故面，故. 5分（2）因为底面为等腰梯形，且，则面积，则四棱锥的体积 7分abcdso法一（向量法）、建立空间直角坐标系如图所示，则，于是，令面的法向量，由，则再令面的法向量，由，则，设二面角的平面角为，则，故. 12分法二（几何法）、作于点h，连接ah、chabcdsoh由题设条件（或用三垂线定理）可证，则为二面角的平面角。通过简单计算知，则，又，则，故20.（本题满分13分）在数列中，a1=2，b1=4，且成等差数列， 成等比数列（）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；（2）若，试问是否存在正整数，使得，若存在，求

9、最小的正整数.解：（1）由条件得 由此可得猜测4分用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，,所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立7分（2）因为，由，得，即，所以所以存在正整数，使得，最小的正整数. 13分21.（本小题满分13分）如图所示，已知椭圆 有相同的离心率, 为椭圆的左焦点，过点的直线与、依次交于a、c、d、b四点.(1) 求椭圆的方程；(2) 求证:无论直线的倾斜角如何变化恒有；(3) 若,求直线的斜率.解: (1) 由椭圆的方程知又，因此椭圆的方程为. 3分(2)当直线垂直轴时,易求得, 因此,当直线不垂直轴时,设直线的方程为由 消元得 由 消元得 设,则是方程的解, 是方程的解.,线段ab,cd的中点重合,故 8分(3) 若，由(2)知, 当直线垂直轴时,不满足题意；当直线不垂直轴时,设,由(2)知,同理,化简可得: 13分22.（本小题满分13分）已知函数，其中，且（1）若，求的最小值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知数列满足：，且对任意正整数，有，求证： 解：（1）当时， ，则，知时，；时，即在上单调递减，在上单调递增，故；4分（2）题意即对任意，恒成立.由于若，有，则，即在上单调递减，又，则恒成立；若， 则，则方程的两根满足，所以当时，于