函数单调性与极值教案

1、- 5 -函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、 复习：1多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x3在点处的切线的斜率等于，则点的坐标为( ) (a) (2,8) (b) (-2,-8) (c) (-1,-1)或(1,1) (d) (-1/2,-1/8) (2)若曲线y=x5/5上一点处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程

2、为( )(a) 5x+5y-4=0 (b) 5x-5y-4=0 (c) 5x-5y+4=0 (d)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点处的切线的倾角为3/4，则的坐标为.2 调递增与单调递减的意义3 如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。但是函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则

3、当x增大时，y变小，因此当自变量x的增量x大于0时，函数值y的增量y也大于零，于是为正，当x无限趋近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间(3) 求解不等式0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，在x0右侧附近f(x)0，在x0右侧附近f(x)0，那么是f(x0)函数f(x)

4、的一个极大值.于是得到求解函数f(x)的极值的基本步骤是：(1) 求函数f(x)的导函数f”(x)；(2) 求解方程f”(x)=0；(3) 检查f”(x)在方程f”(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.其口诀是：左负右正为极小，左正右负为极大。二、例题分析：例1 求函数y=x3/3-4x+4的单调区间和极值.学生练习：p67/练习(1)、(2)、(3)、(4) (学生做在纸上后在投影仪上打出)三、 引入之二：函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.观察几何画板图形：得函数f(x)在闭区间a,b上的最值

5、观察最值与极值的关系，并得出：求函数f(x)在区间a,b上的最值的一般步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值注：1、如果只要求最大值，那么不需要求极小值2、求函数最值的一般方法：一是利用函数性质、二是利用不等式、三是利用导数。例2 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的最大值和最小值 方法一 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理方法二 f(x)在区间(1，5)内的导函数为f (x)=2x-4 由方程f (x)=0知x=2 又f(1)=3,

6、f(5)=11,f(2)=2 由于f(2)f(1)2若f(5)=39-10m=2,则m=3.7,此时f(1)=5-7.4=-2.42与最小值为2矛盾，舍去若f(m-1)= -m2+2m+3=2，则m=1当m=1-时，f(1)=3+2,f(5)=29+10当m=1+时，f(1)=3-20 (b) 1a1 (d) 0a16、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (a) 单调递增函数 (b) 单调递减函数(c) 部份单调增，部分单调减 (d) 单调性不能确定7、 如果质点m的运动规律为s=2t2-1，则在一小段时间2，2+t中相应的平均速度等于( ) (a) 8+2t (

7、b) 4+2t (c) 7+2t (d) 8+2t8、 如果质点a按规律s=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (a) 6 (b) 18 (c) 54 (d) 819、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (a) 6 (b) 0 (c) 5 (d) 110、函数y=x3-3x的极大值为( ) (a) 0 (b) 2 (c) +3 (d) 1三、 典型例题分析例1 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与y=x2-ax+1在x=1的导数相等，即：6+a=2-a 例2 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点p(1，1)，且在点q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点q(2，-1)处的导数为1，于是 4a+b=1 又点p(1，1)、q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1 求得：a、b、c的值例3 已知p为抛物线y=x2上任意一点，则当点p到直线x+y+2=0的距离最小时，求点p到抛物线准线的距离 分析 点p到直线的距离最小时，抛物线在点p处的切线斜率为-1，即函数在点p处