人教版高中数学《必修⑤正、余弦定理的应用》教学设计

1、课题：必修正、余弦定理的应用三维目标： 1、知识与技能（1）通过解决各种关于三角形的基本问题，进一步理解正、余弦定理的内容和基本用法；（2）能够运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形的较为综合的问题。2、过程与方法引导学生运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争辩、交流，解决各类关于三角形的问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，还能复习巩固前面所学习的三角知识和基本方法；（2）在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角知识的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锻炼抽象思维能力和推理论证能力；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神

2、，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）通过三角形函数、正余弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神； 教学重点：运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形各类基本的问题。教学难点：运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形

3、的较为综合性的问题。教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：同学们，前面，我们学习了正弦定理、余弦定理，通过初步运用，我们进一步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力既然这两个定理都学了，我们就可以综合地运用这两个定理来解决更多类型三角问题了。这就是我们今天要完成的任务。请同学们回顾一下正弦定理、余弦定理所带来的三角公式：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 二、 创设情境 合作探究：【引领学生在下列的设计中探索出相应的结果】

4、 1直角三角形中各元素间的关系：在abc中，c90，abc，acb，bca。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：ab90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinacosb，cosasinb，tana。2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在abc中，a、b、c为其内角，a、b、c分别表示a、b、c的对边。（1） 角角关系： abc； ， ，； ， ， （2） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（r为外接圆半径）解决以下两类问题： 已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进

5、一步求出其他的边和角）。 若给出那么解的个数为：无解（）；一解（）；两解（）；（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。（边角关系）a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc。解决以下两类问题：已知三边，求三个角；（唯一解）已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（边边关系）3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absincbcsinaacsinb；三、互动达标 巩固所学：（一）正、余弦定

6、理的基本应用1. 已知中，若，则 2. 在中,已知，则 3.在abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，且 则cosb= 4.已知中，的对边分别为若且，则 a.2 b4 c4 d【分析】第1题直接运用正弦定理把角的关系转化为边的关系，然后再运用余弦定理求解即可； 第2题用面积公式列出方程即可解决； 第3题利用余弦定理直接来解决即可； 第4题若能看出是等腰三角形，就可以直接运用余弦定理来求解了。【解析】 1. ； 2. ； 3cosb= ； 4三角形是等腰三角形，所以，b=30o 所以，。 【点评】 第一个题首先是利用转化思想，然后再用定理来解决； 第二个题展现的是方程思想，但要注意，此题

7、应有两解，有的可能只得出一解；第三个题所带来的是整体思想，其中的边长和其他角是求不出来的；第四个题考查的是灵活性。(二)三角形中的边、角关系的恒等式证明问题.1三角形中证明【分析】可有两种思路：一是把角的关系转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，所以就有了下面的两种解法，思路清楚了，请同学们独立解决吧：【解析】方法一：（余弦定理）方法二：（正弦定理） 【点评】三角形恒等式的证明有的是将边、角关系转化为三角函数关系；有的是转化为边的关系；有的是边角同步转化。 （三）判断三角形形状问题.1三角形中根据下列条件判断三角形形状 【分析】与上面的问题类似可有两种思路：一是把角的关系转化为边的关系

8、；二是把边的关系转化为角的关系，所以就有了下面的两种解法，思路清楚了，请同学们独立解决吧：【解析】方法一：（正弦定理）方法二：（余弦定理）【点评】此类问题关键在于对式子进行适当变形。有的变形为一边是因式的积另一边是零的形式如：；有的两边都变为单一的角或边的关系如：;有的转化为特殊式子如 。 问题.2已知关于x的方程没有实数根，若a,b,c是的三边，求证：三角形为钝角三角形。 【分析】先把方程整理一下，然后再根据方程无实根列出等价的式子，便可得到结果： 【解析】方程可整理为： 若 , 由方程有实根可推出 ，这不可能， 所以 根据一元二次方程没有实根，得： 所以 所以，三角形为钝角三角形。 【点评

9、】此题学生在解决时，易漏掉对 c a 为不为0 的分析或讨论。 （四）综合问题问题.1在中，（1）求ab的值。 （2）求的值。 （3）求的面积 【分析】首先用正弦定理解决（1），然后再用余弦定理解决（2），最后用面积公式解决（3） 【解析】（1）由正弦定理得： ，因为 解得： （2）由余弦定理得： （3）由面积公式易得：面积为 3 【点评】由上面的过程可看出，此题一个关于三角形较为综合的问题， 所用的知识既基本又广泛，当然，此题比较简单。此类问题往往涉及角边的大小，角的三角函数，面积，及角、边、面积的最值问题。问题.2在中，,求角c的取值范围。 【分析】有两种思路：之一是用正弦定理列出关系式来分析；二是用数形结合的思想来解决 【解析】 所以， 而c 不是最大边， 故 范围为： 【点评】此题要求较高，需要根据此处的知识和条件，进行细致的分析，找到问题的突破口，有一定的灵活性和综合性。四、思悟小结：知识线：（1）正、余弦定理及其推论；（2）相关的三角公式和性质；思想方法线： （1）公式法； （2）方程思想与等价转化思想；（3）分类讨论思想方法；（4）数形结合思想方法。题目线：（1）正、余弦