关于有出手高度的斜抛运动的最大射程分析

1、关于斜抛运动的最大射程宁强县第一中学贾银锁（724400）关于抛出点和落地点在同一水平面上的斜抛运动的最大射程问题，已经被众多的读者所熟知，也就是：当抛出角为 45。时，水平2射程最大，为xm=。但对抛出点和落地点不在同一水平面上的斜 g抛运动来说，抛出角满足什么条件时，水平射程最远？最远为多少？ 下面就以上两个问题与 读者一起进行探讨。如下图所示，设斜抛物体的初速度为 v0,抛出点与落地点的水 平高度差为h,令当斜抛运动的初速度与水平方向间的夹角为 时, 水平射程x最大。对初速度v。进行分解，然后由运动学规律不难可以得到以下 两个式子：- h = vitsina - yg? 消去中的 ,得到

2、x gt2 - h从式中可以得出tg= =2x 将t 件_ 22gh及x =vjv02+2gh =v0vt带入上式得v gggv0迄v02 2ghvt由以上推导，可以得出从距水平地面高为 h的小球以初速度v。斜抛 时:当初速度方向与水平方向间的夹角满足=arctg誓时，小球的vt = -1g2t4 + ght2 - h2 +v02t2整理式得到222、乂20 +gh) u2-11r+22 v0 +gh)x =2-h - - g t 2g2g从式不难可以看出，当t=j2v2g2空时x最大，有2 (v02+gh)22v0xm =r-h2即 xm=jv。2 +2ghgg又因为物体在空中下落的过程中，

3、遵守机械能守恒定律，故有vt =&； +2gh所以有 xm=v0vl水平射程为最大，且最大射程为 xm= 皿g（其中vt为物体落地时g的速度，大小为vt =m2 +2gh）另外，以上结论也可以由动量定理加以证明：当v0和h 一定时，由机械能守恒定律得，物体落地时的速度必为定值 vt = .,vo2-2gh因为小球在空中运动时只受重力的作用，由动量守恒定律得：小球从抛出到落地这段时间内，速度由初速度m变化到vt ,速度的变化量4v的方向一定在竖直向下的方向上， 且满足上图的矢量关系（图 中的6为物体落地时的速度方向与水平方向间的夹角）设物体在空中的运动时间为t,水平射程为x,则由运动学知识 及动

4、量定理可得出下述两式：j-x =l/wgf = m a v将式中的t带入中得到x -g又因为 .而 所以有7t 丁坦）yy由三式得1 -, 因为v0、vt及g均为定值，所以，当(% + (3) =90时，x有最大值, 且为xm二处，而这一结论与上面的推导结论是完全一致的。g在此，可以得到从高出水平地面h处以初速度v0斜抛出的物体, 当满足v。的方向与水平面间的夹角=arctg察 时，水平射程最大 为*由=处，并且正好初速度的方向与落地时的末初速度的方向垂g直(vt 7v +2gh)。止匕外，读者自己不难可以证明以下 3个结论：当抛出点和落地点在同一水平面上时， 只是上面结论的一个特 殊情况，上结论同样适用；当物体从水平地面向高处地面 h处的地方以v。斜上抛时，同 样可以应用上述结论，不过此时 vt=，置-二金当抛出点高于水平地面时，要想使物体的水平射程最大，初速度方 向与水平方向间的夹角a应小于45 ;当抛出点低于落地点的时候， 要想使物体的水平射程最大，应满足口 45。；当抛出点与落地点在 同一水平面时，为使物体的水