浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用

1、浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用 摘要：数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中常有这样的问题，中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想探究和解决问题，有助于学生更好地理解和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣。 关键词：数学思想；分类讨论；解题策略；数学策略 一、问题的提出 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位

2、置。而这部分内容对学生来讲又是一个难点，很容易被学生忽略，所以教师有必要对这部分内容进行深入的研究。解分类讨论问题的关键在于：将整体问题化为若干个部分来解决，增加题设的条件，从而将问题解答等进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。 二、分析问题 根据研究对象的不同，将解决的问题进行分类，也就是说根据题目，将可能出现的结果一一列举出来，再按照顺序进行解答，关键是在列举时要做到准确、全面，尽可能将所有的方面全部列举出来，做到不漏不重。 三、解答分类讨论问题的基本方法和步骤 第一步：确定讨论对象，即题目所考察的知识点学生必须清楚；第二步：对讨论的对象合理分类，即把所有可能的结果一个不漏地列举出来；

3、第三步：按类讨论问题的结论，即讨论前一步中列举出来的各种；第四步：对各类的结论进行归纳总结，总结出解这一类题目的解题方法，以后碰到这类题目时我们就会得心应手。 四、中学数学教材中分类讨论的知识点 数学解题的准确性是建立在学生对基础知识的掌握上的。学生应掌握的知识点有：反比例函数y=k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数的斜率k与图像位置及函数单调性关系；绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向等。在这里就不具体将它们一一赘述了。 五、分类讨论思想在中学数学中的应用 例1：解不等式（a+1）xa?-1 如果不加区分a+

4、10或a+1a-1，那就不对了，因为根据不等式性质，给不等式两边同乘以不为零的式时，不等式要改变方向既可以a+10，或a+1=0，也可以a+10有不同的答案。 当a+10 即a-1时，则x（a?-1）/（a+1）= a -1； 当a+1=0即a=-1时，原不等式为0x0，故不等式无解； 当a+1 这里将a划分成三类：a-1，a=-1，a 例2：已知在abc中，a=30，当b是多少度时，abc是等腰三角形？ 分析：本题没有明确哪个角是顶角，故要分a、b、c分别为顶角三种情况讨论。 即：a为顶角时，b=75；c为顶角时，b=30；b为顶角时，b=120 例3：函数y=ax?-ax+3x+1与x轴只

5、有一个交点，求a的值与交点坐标。 分析：本题中函数是什么函数没有确定，故要根据初中学生已有的函数知识，根据a的不同取值，分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况。 解：当a=0时，为一次函数y=3x+1，交点为（-1/3 ，0）； 当a不为0时，为二次函数y=ax?+（3-a）x+1，函数图像与坐标轴有一个交点，所以=0即 b?-4ac（）=a?-10a+9=0， 解得a=1或a=9，交点为（-1，0）或（-1/3，0）。 六、几何中常见的问题 例1：与线段有关的问题 1.线段ab=7cm，在直线上画线段bc=3cm，则线段ac= 。 2.a，b两点到直线l的距离分别为m，n（m 例2.三

6、角形高的位置 （1）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形的顶角为 。 （2）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边长的一半，则其顶角度数为 。 例3：与圆有关的问题 知识点：一条弦所对的弧有两条，所对圆周角有2个。 1.已知o半径为6cm，o的弦ab=6cm，则弦ab所对的圆周角度数为 。 2.a，b是o上两点，且aob=70，c是o上不与a，b重合的任一点，则acb= 。 3.弦长是半径的倍的弦所对的圆周角为 。 4.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 。 5.o直径ab=4，弦ac=2，ad=，则dac= 。 6.在o中，弦ab将其分成3：7两部分，则该弦所对的圆周角度数为 。 七、小结 在初中数学教学过程中，我们应该充分利用初中学生已经具有的关于分类问题的生活体验的这一基础，在遇到分类问题时，要不失时机地进行引导，使学生明确每一种意义下的分类都应该有明确的标准，同一种事物按不同的标准则有不同的分类，应该是无重复和无遗漏的。数学教学中，教师在进行数学思维训练时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，加快思维速度，以培养学生良好的数学思维能力，从而达到分类思想在数学中的有效应用的目的。 参