浅谈分类思想在几何中的应用

1、浅谈分类思想在几何中的应用 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查。这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略。 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行；（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。 题型1.考查数学概念及定义的分类。 例1已知直线ab上一点c，且

2、有ca=3ab，则线段ca与线段cb之比为32或34。 练习：已知a、b、c三点在同一条直线上，且线段ab=7cm，点m为线段ab的中点，线段bc=3cm，点n为线段bc的中点，求线段mn的长。 解析：（1）点c在线段ab上；（2）点c在线段ab的延长线上。 例2.下列说法正确的是（ ）。 a.两条线段相交有且只有一个交点。 b.如果线段ab=ac那么点a是bc的中点。 c两条射线不平行就相交。 d.不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。 规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及

3、范围。 例题1.如图1边长为2的正方形abcd中，顶点a的坐标是（0，2）一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为s（阴影部分）。 （1）当t取何值时，s=3？ （2）在平面直角坐标系下（图2），画出s与t的函数图像。 点拔：设l与正方形abcd的交点为m，n，易知dmn是等腰rt，只有当md= 2时，smdn=1，那么s=sabcd-smdn=3，此时求得t=4- 2，第（2）问中，随着t的变化，s的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时s的表达式，进而作出图像。 解：（1）设l与正方形abcd的交点为m，n， l的解析式y=x+t

4、，在x轴，y轴上所截线段相等。 dmn为等腰rtdmn s=3，sdmn=sabcd-s=22-3=1 又sdmn= mdnd= nd2 md=nd= 2，on=od-dm=4- 2， 即d点的坐标为（0，4- 2） t=4- 2，即当t=4- 2时，s=3。 （2）直线l与y轴的交点m的坐标为（0，t） 当0t 当2t 当t4时，s=4 。 根据以上解析式，作图如图（2）。 变式思考：如图所示，在平行四边形abcd中，ad=4cm，a=60，bdad，一动点p从a出发，以每秒1cm的速度沿abc的路线匀速运动，过点p作直线pm，使pmad。 （1）当点p运动2秒时，设直线pm与ad相交于点e

5、，求ape的面积。 （2）当点p运动2秒时，另一动点q也从a出发沿abc的路线运动，且在ab上以每秒1cm的速度匀速运动，在bc上以每秒2cm的速度匀速运动，过q作直线qn，使qn/pm。设点q运动的时间为t秒（0t10），直线pm与qn截平行四边形abcd所得图形的面积为scm2。 求s关于t的函数关系式。 （附加题）求s的最大值。 易误：讨论变量t的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析。 题型3：与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。 例3.在同一平面上，aob=70，boc=30，射线om平分aob，on平分boc，求mon的大小。（

6、20或50） 练习：已知aob=60，过o作一条射线oc，射线oe平分aoc，射线od平分boc，求doe的大小。 （1）射线oc在aob内；（2）射线oc在aob外。 这两种情况下，都有doe= = =30。 小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？虽然aoc的大小不确定，但是所求的doe与aoc的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。 由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。 利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法