第三章-力系的平衡(理论力学武清玺版)

1、东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 力系的平衡力系的平衡 第三章第三章 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 3-1 3-1 约束及约束力约束及约束力 不受限制而可以自由运动的物体称为自由体自由体 由于受限制而不能自由运动的物体称为非自由体非自由体 约束对物体的作用力称为约束对物体的作用力称为约束力约束力 主动地使物体运动或有运动趋势，这种力称为主动地使物体运动或有运动趋势，这种力称为 主动力主动力，工程上称为，工程上称为荷载荷载 阻碍物体运动的限制条件称为阻碍物体运动的限制条件称为约束约束 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 一、柔索一、柔

2、索 F 柔索的约束力沿着柔柔索的约束力沿着柔 索的中心线，背离物体，索的中心线，背离物体， 为拉力为拉力 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 二、光滑接触二、光滑接触 光滑接触面的约束力通过接触点，光滑接触面的约束力通过接触点， 沿接触面在该点的公法线，为压力沿接触面在该点的公法线，为压力 N F 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 三、固定铰支座三、固定铰支座 固定铰支座的约固定铰支座的约 束力在垂直于销钉轴束力在垂直于销钉轴 线的平面内，通过销线的平面内，通过销 钉中心，方向不定钉中心，方向不定 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 两个

3、构件用光滑圆两个构件用光滑圆 柱形销钉连接起来，称柱形销钉连接起来，称 为为铰链连接（铰接）铰链连接（铰接） u 铰链连接铰链连接 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 四、活动铰支座四、活动铰支座 活动铰支座的约束力通过销钉中心，垂直活动铰支座的约束力通过销钉中心，垂直 于支承面，指向不定于支承面，指向不定( (即可能是压力或拉力即可能是压力或拉力) ) 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 五、连杆五、连杆 A F B F 连杆的约束力沿着连杆中心线，指向不定连杆的约束力沿着连杆中心线，指向不定 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 六、球铰

4、六、球铰 球铰的约束力通过球心，方向不定球铰的约束力通过球心，方向不定 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 七、径向轴承七、径向轴承 径向轴承的约束力通过径向轴承的约束力通过 轴心，在垂直于轴线的平面轴心，在垂直于轴线的平面 内，方向不定内，方向不定 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 八、止推轴承八、止推轴承 止推轴承的约束力止推轴承的约束力 通过轴心，方向不定通过轴心，方向不定 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 九、固定端九、固定端 固定端的约束力为一个固定端的约束力为一个 方向不定的力和一个力偶方向不定的力和一个力偶 东华理工大学长

5、江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 一、计算简图一、计算简图 从实际结构（或机构）中抽象出来，用于力从实际结构（或机构）中抽象出来，用于力 学计算的图形称为学计算的图形称为计算简图计算简图 选择计算简图的原则是：既能正确地反映实选择计算简图的原则是：既能正确地反映实 际结构或机械的工作性能，又便于力学计算。际结构或机械的工作性能，又便于力学计算。 一般要考虑：结构或机械的简化、约束的简一般要考虑：结构或机械的简化、约束的简 化、荷载的简化、确定尺寸。化、荷载的简化、确定尺寸。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 计算简图和示力图计算简图和示力图 A B C f qc qa

6、 qb l 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 二、示力图二、示力图 用来表示物体受力的图形称为用来表示物体受力的图形称为示力图（或受力图）示力图（或受力图） 受力分析是求解静力学和动力学问题的重要基础。具受力分析是求解静力学和动力学问题的重要基础。具 体步骤如下：体步骤如下： 计算简图和示力图计算简图和示力图 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 计算简图和示力图计算简图和示力图 例例1：球放置于两光滑斜面间，试画球的示力图。球放置于两光滑斜面间，试画球的示力图。 P F (1)(1)以球为研究对象，取脱离体；以球为研究对象，取脱离体； 解：解： (2)(2

7、)在脱离体上画上主动力在脱离体上画上主动力FP ； (3)(3)在脱离体上依据约束的性质画在脱离体上依据约束的性质画 上约束力。上约束力。 P F 1N F 2N F 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 计算简图和示力图计算简图和示力图 A B CD E H M a A B CD E H M B F Ax F Ay F 解：解：整体： 整体： 例例2：图示结构中各杆和轮图示结构中各杆和轮D的重量均不计，物体的重量均不计，物体M 重重P，试分别画出整个结构、杆，试分别画出整个结构、杆AB、杆、杆CD及轮及轮D的的 示力图。示力图。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院

8、机电系 计算简图和示力图计算简图和示力图 F1 A B C E FAx FAy FB FCx FCy FE F2 D F 1 F Dx F Dy FDy CD H FH FDx F Cy F Cx 例例2：图示结构中各杆和轮图示结构中各杆和轮D的重量均不计，物体的重量均不计，物体M 重重P，试分别画出整个结构、杆，试分别画出整个结构、杆AB、杆、杆CD及轮及轮D的的 示力图。示力图。 A B CD E H M a 解：解：杆 杆CD： 杆杆AB： 轮轮D： 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 计算简图和示力图计算简图和示力图 练习练习1：图示结构中各杆重力不计，所有接触处均图

9、示结构中各杆重力不计，所有接触处均 为光滑接触。试画出为光滑接触。试画出AO、AB和和CD构件的受力图。构件的受力图。 解：解： O A C FOx FOy FCx FCy FAx FAy 杆杆AO：杆杆AB： CE D F E F F Cx F Cy 杆杆CD： A E B FBx FBy F Ax F Ay FE 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 3-3 3-3 汇交力系的平衡汇交力系的平衡 0 21 nR FFFF 一、汇交力系平衡的充分必要条件 二、汇交力系的平衡方程 FRx =Fix=0 FRy =Fiy=0 FRz =Fiz=0 空间汇交力系：平面汇交力系： F

10、Rx =Fix=0 FRy =Fiy=0 当当FR0时，时， 力多边形闭合力多边形闭合 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 A B C D W 35 115 例：起重机由臂例：起重机由臂BC和链索和链索AB 所构成，臂的一端用铰链固所构成，臂的一端用铰链固 定在定在C点，另一端用绳点，另一端用绳BD悬悬 挂重物挂重物W=5000=5000N，已知，已知 BAC=115， BCA=35 ，求链索的拉求链索的拉 力和臂力和臂BC受的力受的力 解：取解：取B点为研究对象点为研究对象 画受力图画受力图 T y x B SBC TAB 35 25 T=W 东华理工大学长江学院机电系东华

11、理工大学长江学院机电系 x T y B SBC TAB 35 25 1、列平衡方程、列平衡方程( (直角坐标系直角坐标系) ) 055250 055250 TSTF STF BCABy BCABx sinsin coscos 求解得求解得 NS NT BC AB 9063 5736 2、为了避免解联立方程，取坐标轴、为了避免解联立方程，取坐标轴y与力与力SBC垂直垂直 yx T B SBC TAB 35 30 列平衡方程列平衡方程 035300 sinsinTTF ABy 解得解得NTAB5736 053300 o BCABx TSTFcoscos 解得 NSBC9063 东华理工大学长江学院

12、机电系东华理工大学长江学院机电系 3、取坐标轴分别与、取坐标轴分别与SBC,TAB垂直垂直 y x T B SBC TAB 25 30 60 列平衡方程列平衡方程 025600 coscosTSF BCx 解得 NSBC9063 055600 coscosTTF ABy 解得解得NTAB5736 求解求解汇交力系汇交力系的平衡问题时，坐标轴可任选的平衡问题时，坐标轴可任选 ( (坐标轴互不平行坐标轴互不平行) )。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 60 30 aa 例例 水平梁水平梁AB支承情况及受力如图所示，试求固支承情况及受力如图所示，试求固 定铰链支座定铰链支座A和

13、活动铰链支座和活动铰链支座B的约束力。梁的自的约束力。梁的自 重不计。重不计。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 60 30 aa 060cos60cos30cosFFF BA 060sin60sin30sinFFF BA Fix =0 Fiy =0 3/2 A FF / 2 B FF 3030 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 A B C D E H G O1 O2 300 600 1 F 2 F 例例 图示结构中，图示结构中，ABC、DEG平面垂直于地面，平面垂直于地面， 而而AB、AC、DE、DG与铅垂线夹角均为与铅垂线夹角均为450。试求。试求

14、各杆所受之力。各杆所受之力。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 解解 1.1.以以A铰为研究对象，受力如图铰为研究对象，受力如图 045cos45cos 00 ACABix FFF 0 1 FFF ADiy 045sin45sin 2 00 FFFF ACABiz 2 2 2 1 F FF FF ACAB AD A B C D E H G O1 O2 300 600 1 F 2 F AD F AB F AC F y x z 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 2.2.以以D铰为研究对象，受力如图铰为研究对象，受力如图 030cos60cos45cos45c

15、os 0000 DHDGDEix FFFF 030sin60cos 00 DHDAiy FFF 060sin45sin45sin 000 DHDGDEiz FFFF D E H G O2 300 600 DA F DE F DH F DG F 8 63 8 6 44 1 DH DG DH DE DADH F F F F FFF 1 FFF ADDA 其其中中 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例3 3：如图吊车由梁如图吊车由梁AB和吊杆和吊杆BC铰接而成，已知起铰接而成，已知起 吊物体的重量为吊物体的重量为W，略去结构自重。当起吊物体位，略去结构自重。当起吊物体位 于梁中

16、点时，求铰于梁中点时，求铰A、C的约束力。的约束力。 W A B C D 30 AB W FBFA W FA FB x y 解：解：取 取AB为研究对象，画示力图为研究对象，画示力图 BAix FFF 0 BAiy FWFF 0 BC FF 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 x y z FAB FAC FAD -1.41 例4：图示三杆图示三杆杆长均为杆长均为 a，用铰约束在铅垂墙上，用铰约束在铅垂墙上， 杆杆AC、AD水平水平, , AE垂直垂直EB，已知长度，已知长度a，物重，物重P 1 1kN，试求三杆所受之力。，试求三杆所受之力。 2 解：解： 东华理工大学长江学院

17、机电系东华理工大学长江学院机电系 x y z AC、AD杆在杆在xAy平面内，平面内，CAD为直角。为直角。z xAy平面。平面。 因此因此FAD、FAC两力在两力在z轴上投影等于零轴上投影等于零 A D C x y AB杆在杆在zAy平面内，平面内，AEB平面平面 xAy平面。平面。 x轴轴AEB平面，所以平面，所以FAB在在x轴上的投影等轴上的投影等 于零。于零。 FAB FAC FAD 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 3-4 3-4 力偶系的平衡力偶系的平衡 0 21 n MMMM 力偶系平衡的充分必要条件 Mx =Mix=0 My =Miy=0 Mz =Miz=0

18、 空间力偶系： 平面力偶系： 0 i M 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例5：图示结构中，构件图示结构中，构件AB为为1 4圆弧形，半径为圆弧形，半径为r， 构件构件BDC为直角折杆，其上作用一力偶，力偶矩为为直角折杆，其上作用一力偶，力偶矩为M ，CD= =2r, ,试求铰试求铰A、C的约束力。的约束力。 FA FC MrF M A i 0 45cos3 0 M r FA 3 2 M A B D C 解：解： 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 A B C a a a M a 例例 求求A处约束反力。处约束反力。 解：解：1. 1. BC为二力杆为二

19、力杆 2.2.AB受力分析受力分析 3.3.平衡方程平衡方程 1 20 n iA i MMFa A B M A F B F a M FA 2 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 M A B C D 45 a aa 例例 求求A处约束反力处约束反力。 M B F A F DC F M B F A F DC F 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 M A B 带有铅垂和水平光滑带有铅垂和水平光滑 槽的矩形平板，其上作用槽的矩形平板，其上作用 一已知力偶，其矩为一已知力偶，其矩为M， 欲使平板平衡，若用二固欲使平板平衡，若用二固 定销钉定销钉A，B穿入槽内，穿入槽

20、内， 试问能否达到平衡目的？试问能否达到平衡目的？ 请你思考：请你思考： FA FB 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 3-5 3-5 任意力系的平衡任意力系的平衡 一、空间任意力系的平衡 FRx Fix0 FRy Fiy0 FRz Fiz0 Mx Mix0 My Miy0 Mz Miz0 FR 0 MO0 平衡条件平衡条件： 平衡方程平衡方程： 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 P 例例6：长方形均质等厚度板重长方形均质等厚度板重20kN, ,用球铰用球铰A、铰链、铰链 B及绳索及绳索CE支撑成水平位置，试求绳索及支撑成水平位置，试求绳索及A、B处的处

21、的 约束力。约束力。 FCyFCx 解：解：取板为研究对象取板为研究对象 030 2 0 asinF a PM Ciy kN20 C F 0 Bxiz FM 030 2 0 asinF a PaFM CBzix 0 Bz F 0300PsinFFFF CBzAziz kN10 Az F kN150 Ayiy FF kN6680.FF Axix a 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例 已知已知P=P=8kN,8kN, P P1 1= =10kN,10kN,各尺寸如图各尺寸如图, ,求求A A、B B、D D 处约处约 束力。束力。 解解： 受力分析：受力分析： 列平衡方程

22、：列平衡方程： 0 z F 0 FM x 0 FM y 0 1 DBA FFFPP 022120 1 D FP.P. 060216080 1 DB F.F.P.P. 结果：结果： kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5 ABD FFF 0.2m DBA FFFPP, 1 研究对象：小车研究对象：小车 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例7：三轮卡车自重（包括车轮重）三轮卡车自重（包括车轮重）W8 kN，载，载 重重F10 kN，作用点位置如图所示，求静止时地，作用点位置如图所示，求静止时地 面作用于三个轮子的约束力。图中长度单位为面作用于三个轮子的约束力。图中

23、长度单位为m。 0 ix M 022 . 1 A FW kN8 . 4 A F 0 iy M 02 . 16 . 04 . 06 . 0 CA FFFW kN93. 4 C F 0 iz F 0FWFFF CBA kN27. 8 B F 解：解：取三轮卡车为研究对象取三轮卡车为研究对象 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 解：以解：以AA为矩轴，除杆为矩轴，除杆5以外，以外， 其余各杆或平行或与之相交，因其余各杆或平行或与之相交，因 此，可根据下式求出此，可根据下式求出S5 0 AA M 0 30BCBaBC F5在在BC上上 的投影的投影 2 3 30 5 0 55 FFF

24、 x cos BC距距A的距离为等边三角形的高的距离为等边三角形的高 a 2 3 a M FaFM 3 4 0 2 3 2 3 55 a M FFF 3 2 231 a M FFF 3 4 654 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 P F a b b a b b Ax F Ax M P F 0 P cossin450 iyAy FFF 0 P coscos450 ixAx FFF P sin0 izAz FFF 0 P P cossin45 sin0 xiAx MMFa Fb 0 P P coscos45 sin0 yiAy MMFa Fb 例例 求固定端约束反力求固定端约

25、束反力 0 2 2 2 2 AZ ppAZ xyAZiZ M bFbFM yFxFMM coscos 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 a b b Ax F Ax M P F (-b,b,a) 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 O FP1 z x y FP2 FT W 6m 练习练习2 2：某厂房支承屋架和吊车梁的柱子下端固定，某厂房支承屋架和吊车梁的柱子下端固定， 已知已知FP1=120kN, FP2=300kN, , FT=25kN, , 柱子重柱子重W=40kN。 FP1离离z距离距离e10.1m， FP2离离z距离距离e20.34m， 试求基础对

26、柱子的约束力。试求基础对柱子的约束力。 FOx FOz FOy Mx Mz My 0:0 TOxix FFF 解：解： 0:0 Oyiy FF 0:0 21 WFFFF PPOziz 0:0 2211 eFeFMM PPxix 06:0 Tyiy FMM 0:0 2 eFMM Tziz 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 讨论题：讨论题： 不计重量的正方形板用不计重量的正方形板用6根连杆支承如图，受根连杆支承如图，受 水平力水平力F 作用，试求各杆所受之力。作用，试求各杆所受之力。 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 解：解：取正方形板为研究对象取正方形板为

27、研究对象 FF FFFBC 2 045cos:0 3 0 3 FF aFaFM AD 6 0 36 045cos:0 FFaFaFM AA 2045cos45cos:0 5 0 3 0 5 FFFFFBA2045cos45cos:0 2 0 5 0 2 FFaFaFMCD 1 0 21 045cos:0 FF FFFFFFF AA 4 6 0 54 0 3 0 21 045cos45cos45cos:0 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 二、平面任意力系的平衡 FRx Fix0 FRy Fiy0 MO MiO 0 FR 0 MO0 平衡条件：平衡条件： 平衡方程：平衡方程：

28、 FRx Fix0 MA MiA 0 MB MiB 0 平衡方程的二力矩形式：平衡方程的二力矩形式： MC MiC 0 MB MiB 0 平衡方程的三力矩形式：平衡方程的三力矩形式： MA MiA 0 （A、B的连线不垂直于的连线不垂直于x轴）轴） （A、B、C三点不共线）三点不共线） 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例8：刚架所受荷载和尺寸已知，求支座约束力。刚架所受荷载和尺寸已知，求支座约束力。 解：解：取刚架为研究对象取刚架为研究对象 Fix = 0, MiA= 0 Fiy = 0, 0 qlFAx P 0 Ay FF P 3 0 2 A l MMF lql ql

29、FAx PAy FF P 3 2 A MMF lql 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例9：梁支承及荷载如图梁支承及荷载如图,已知已知F15 kN，M20 kNm，求各约束力。图中长度单位是，求各约束力。图中长度单位是m。 解：解：取梁为研究对象取梁为研究对象 0 Oi M 02 360cos860sin FM FF BB kN6 . 5 B F 0 ix F 060cos45cos BC FF kN96. 3 C F 060sin45sin BCAiy FFFFF kN35. 7 A F F 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 x y z 练习练习3

30、： 均质正方形板重均质正方形板重Fw，由三根不计重量的铅直杆，由三根不计重量的铅直杆 维持水平状态。维持水平状态。1、2杆约束在板的角点，杆约束在板的角点，3杆约束在杆约束在 右边的中间位置。另外在板的角点处作用一铅直力右边的中间位置。另外在板的角点处作用一铅直力 FT。求三根杆受到的力。求三根杆受到的力。 解：解：取板为研究对象取板为研究对象 1 2 3 Fw FT F1 F2 F3 3 0FM ix 1 0FM iy 2 0FF iz 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 3-6 3-6 静定与超静定问题静定与超静定问题 物体系统的平衡物体系统的平衡 一、静定与超静定问题

31、（1） （2） （3） 不完全约束不完全约束 完全约束完全约束 多余约束多余约束 机构机构 静定结构静定结构 超静定结构超静定结构 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 静定问题一次超静定问题三次超静定问题 二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题 内约束、外约束内约束、外约束 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 例例1010：联合梁由联合梁由AC、CB铰接而成，已知铰接而成，已知F11010kN， F2 20kN， 试求试求A、B、C、D处的约束力。处的约束力。 先以CB为研究对象 解：解： 0 Ci M05 . 160sin3 2 FFB kN66. 8 B F 0 ix FkN10 Cx F 0 iy FkN66. 8 Cy F 再以整个梁为研究对象 0 Ai M 0 ix FkN10 Ax F 0 iy F kN66. 0 Ay F kN18 D F 东华理工大学长江学院机电系东华理工大学长江学院机电系 6m 3m 4m 例11：在图示结构中，已知匀布荷载在图示