立体几何中常用的变形与变位技巧

1、立体几何中常用的变形与变位技巧 移是指将某图形移到适当位置，使不在同一平面的元素集中到一个平面内，再利用平面几何知识进行研究.利用“平移”可实现立体向平面的迅速转化. 例1 如图1所示，在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分别是cc1、ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于 小结 本题为求异面直线所成角的问题.由图2可以看出，fd1og，于是可知goe即为所求的角. 补就是将几何体补出适当的部分，变到比较熟悉或者比较简单的几何体，再去进行求解.“补形”能带来计算上的简便，有时甚至是问题得以解决的唯一途径. 例2 正方体abcd-a1b

2、1c1d1的棱长为1，e为棱aa1的中点，直线l过e点与异面直线bc、c1d1分别交于两点，求这两点之间的距离. 展是指展开空间图形，是将立体几何问题转换为平面几何问题的常用方法.应用此法可化折为直，化曲为直.该法一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点之间的最短距离. 例3 如图4所示，圆台的上底半径为1，下底半径为4，母线ab=18，从ab的中点m拉一根绳子绕圆台侧面转到a点. （1）求绳子的最短长度. （2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 小结 解答本题需将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，也是立体几何中非常重要的数学思维方法. 当给出的几何体较复杂，有

3、关的计算公式无法直接运用或计算繁杂时，我们可以适当分割几何体，化整为零，从而迅速求解. 例4 如图5所示，已知abcd-a1b1c1d1是棱长为a的正方体，e、f分别为棱aa1与cc1的中点，求四棱锥a1-ebfd1的体积. 叠就是将平面图形折叠成立体图形.这里要求认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在把这一平面图形折叠成立体图形以后，要注意哪些发生了变化，哪些未发生变化.这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据. 例5 如图6所示，在一个等腰直角三角形硬纸板abc中，acb=90，ac=4 cm，cd是斜边上的高.沿cd将abc折成直二面角a-cd-b，如图7所示. （1

4、）若你手中有一把能度量长度的直尺，应如何确定a、b的位置，才能使得二面角a-cd-b成直二面角？证明你的结论. （2）试在平面abc上确定一点p，使dp与平面abc内任意一条直线都垂直，证明你的结论. （3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求小球半径的最大值. 解 （1）由于abcd，所以折叠后仍有adcd，bdcd成立，即adb为二面角a-cd-b的平面角，只要使adb为直角即可. 利用勾股定理可得，只要ab=4 cm时，二面角a-cd-b即成直二面角. （2）在三棱锥d-abc中，abc为等边三角形，所以三棱锥d-abc为正三棱锥.故只要点p为abc的中心，那么dp平面abc成立，从而dp

5、与平面内的任意一条直线都垂直. 小结 平面图形的折叠主要是研究空间图形与平面图形的相互转化.研究这类问题的方法是：画出平面图形和折叠后的立体图形（用斜二侧画法）；注意一些不变的基本元、基本量在解决问题时所起的关键作用. 射是指射影.将空间图形中的若干元素利用射影方法集中到某一个平面内，然后利用平面图形的性质进行求解. 转是指将某些图形旋转适当的角度，使空间图形转化成平面图形. 例7 在二面角-l-的两个面、上分别有a、b两点，在二面角的棱l上求一点p，使得ap和bp之和最小. 解 可设法将a、b两点放在同一个平面内，为此将半平面绕l按逆时针旋转，使其与平面重合，这时半平面落在的位置，这样在l上求一点p，并使其与a、b两点的距离之和最小，就转化为平面几何问题了. 由此，我们得到以下作法：自点a向棱l作垂线ag，