《概率论与数理统计》课程练习计算题

1、三、解答题1 .设对于事件 a、b、。有 p(a)= p(5) = p(c) = l/4, p(ab) = p(bc) = 0 , p(ac) = l/8,求a、b、。至少出现一个的概率。解：由于a5cua5 ，从而由性质4知，p(a5o0,所以尸(abc) = 0 ,从而由概率的加法公式得p(a u 5 u。) = p(a) + 尸 + p(c) - p(ab)- p(ac) - p(bc) + p(abc)15=x3-=-48 82 .设有10件产品，其中有3件次品，从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多 少？解：设a表示：”任意抽取的5件中恰有2件次品二则(c) = c：o。5件

2、产品中恰有2件 次品的取法共有c,种，即77(a) = cf c7 o于是所求概率为p(a) = (a)/(c)=c“, /%=35/843 . 一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。求:(1)第二次取出的是次品的概率；(2)两次都取到正品的概率；(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设表示：”第i次取出的是正品(i=l, 2),则(1)第二次取到次品的概率为人彳 彳彳、10 2221p(a a? u a a, ) = x 1 x =一2212 12 12 12 6(2)两次都取到正品的概率为尸(442)= p(a)pg42 1al) =*各=|12 1

3、z 36(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率为尸(2)=53610 2x 12 124 . 一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回)。求:（1）至少取到一个正品的概率;（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设4表示：“第i次取出的是正品（i=l, 2）,则（1）至少取到一个正品的概率_ _21651-p（aa2） =1- p（al）p（a2 i aj =1- -x = lz 11 oo（2）第二次取到次品的概率为p（a- u%，2）= p（a）p（421 a）+p（4）p（a214）10 22 1 1=x 1 x 12 11 12 11

4、6（3）恰有一次取到次品的概率为p（a& u 4a2）= p（a）p（a21 4）+ p（a）p（a2 i a）10 2 2 10 10-x+x-12 11 12 11 335. 一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设a表示：”取出的两件都是正品是正品”；8表示：”取出的两件恰有一件次品”;c表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则（1）两件都是正品的概率p(a) =曾c121522（2）恰有一件次品的概率p(b) =q221033722（3）至少取到一件次品的概率215p(c) = 1 p(a

5、) = 1-常=1-万6. 一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6,乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，(1)没有一台机床需要照看的概率；(2)至少有一台机床不需要照看的概率。解：设a表示：“没有一台机床需要照看”；b表示:“至少有一台机床不需要照看“；g 表示：“第i台机床需要照看(好1, 2, 3)。则从二乙乙乙；b = c,jc2jc5op(a) = p(-) =()(一)(星)= (1-p(g )(1pg )(1- pg)= 0.04p(b) = p uc2uc3) = p(-) = 1 p(c1c2c3)=1 p(g)p(c2)p(0

6、3)= 6767. 在某城市中发行三种报纸a、b、c,经调查，订阅a报的有50%,订阅3报的有 30%,订阅c报的有20%,同时订阅a及8报的有10%,同时订阅a及。报的有8%,同时订 阅3及c报的有5%,同时订阅a、b、c报的有3%,试求下列事件的概率：(1)只订阅a及8报：(2)恰好订阅两种报纸。解：(1) p(abc) = p(ab -c) = p(ab - abc)=p(ab)- p(abc) = 0.1-0.03 = 0.07(2) p(abc u abc jabc) = p(abc) + p(abc)+ p(abc)= 0.07 + 0.02 + 0.05 = 0.148. 一盒子

7、中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%,从中任取一球，结果不是红球， 求：(1)取到的是白球的概率；(2)取到的是黑球的概率。解：设a,分别表示：“取到的是黑球、红球、白球(i=l, 2, 3),则问题(1)化为求 产(43|不);问题(2)化为求尸(劣|才2)。由题意从、&、4两两互不相容，所以，(1)p(a3a2) = p(a3 - a2) = p(a3) o因此由条件概率公式得%&|用)=吧=卫=2312尸(4)p(4) 1-0-3 7(2) p(a&) = p(a 2)= p(ai)p(&i 矽112p(4)p(a2) 1-0.3 79.已知工厂a、8生产产品的次品率分别为1%和

8、2%,现从由a、8的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么该产品是3工厂的概率。解：设c表示“取到的产品是次品”；a “取到的产品是a工厂的”；b ”取到的产品是8工厂的“。则(1)取到的产品是次品的概率为p(c) = p(a)p(c | a) + pbp(c | b)6014027-x1x=100 100 100 100 500(2)若取到的是次品，那么该产品是3工厂的概率为p(8c)_ p(b)p(cb), p(c) p(a)p(ca)+p(b)p(cb)402_ 100 100 _ 4 j _750010.有两个口袋，甲

9、袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲 袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设a表示：“由甲袋取出的球是白球”；8表示：“由甲袋取出的球是黑球”；c表示：“从乙袋取出的球是白球二则p(c) = p(a)p(c | a) + p(5)p(c | b)42+1228x+ x-6 6 + 1 6 6 + 1 2111.设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各 生产1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一 件产品，求：(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的

10、是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件a表示：“取到的产品是次品”；事件4表示：“取到的产品是第i家工厂生产 的(i=l, 2, 3)。则 au4ua3 = q,且 p(4)0, a、4、4 两两互不相容,(1) 由全概率公式得3191415hf(a) = yp(a)-/(a| a) = -x + -x + -x =2 100 4 100 4 100 400(2)由贝叶斯公式得12铲犷4)-12 .三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品 的不合格率依次为0.05、0.04.和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：(1)恰好取到不合格品的概率；(

11、2)若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件a表示：“取到的产品是不合格品”；事件4表示：“取到的产品是第i家工j 生产的(i=l, 2, 3)。3则u4=q，且p(a)，4、a2、&两两互不相容，由全概率公式得/=13(1)p(a)= zp(4)p(*4)/=1= 37/1000405254352x1x1x100100100100100100(2)由贝叶斯公式得zp(a/)p(a|aj)0.25x0.0437/1000= 10/3713 .有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1

12、/4、1/3、1/12、1/8。求:(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件a表示：“此人来迟了”；事件4分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”(i = l, 2, 3, 4)0 则 u4 =。，且 p(a,)0, 4、a2 4、a4 两两互不相容 i=l(1)由全概率公式得4p(a)=zp(a)p(a|a)i=l3 111112 11=x + -x-4-x + -x- = -10 4 5 3 10 12 5 8 5(2)由贝叶斯公式得3 1i x gzp(aj)p(4aj)i*尸114.有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10h,第二箱30只，其中一

13、等品18只， 今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只(有放回)，试求：(1)第一次 取到的是一等品的概率；(2)两次都取到一等品的概率。解:设4表示表取到第i箱零件”(i = l 2)；与表示:“第i次取到的是一等品” (i = l 2)； 则(1)尸(一)=p(一a1u 四&) = p(5a)+ 夕(四&)1 10 1 18 2=x + x =一2 50 2 30 5(2) p(b1b2) = p(bb2aijbb2a2) = p(bb2a)+p(b.b a2)1 /op 1 ,8、2=x () hx ()2 50，2 30715 .设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构

14、成，它们分别以0.03、0.04. 0.06的概 率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设a,表示：“第i个电子元件被损坏”(i =1, 2, 3),则有p(a)= 0.03 ；尸(a2) = 0.04 ；p(a3)= 0.06。依题意所求概率为p(4 ua2ua3)= p(4)+p( 4)+尸(a3) - p(4 a2)-p(& a3)-p( 4 4)+ p(4a2 a3)=0.03 + 0.04 +0.06- 0.03 x 0.04 -0.04x 0.06= 0.07 + 0.02 + 0.05 = 0.1416 .甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8,乙击中

15、敌机的概率 为0.5,求下列事件的概率：(1)敌机被击中；(2)甲击中乙击不中；(3)乙击中甲击不中。解：设事件a表示：“甲击中敌机”；事件5表示：“乙击中敌机”；事件c表示：“敌机被 击中二则(1) p(c) = p(a u 5) = 1 - p(a u b) = 1 - p(ab)= l-0.1 = 0.9(2) p(ab) = p(a)p(b) = 0.8 x (1-0.5) = 0.4(3) p(ab) = p(x)p(8) = (1 - 0.8)x 0.5 = 0.117 .已知 p(a) = 1/4, p网 a) = 1/3, p(a|b) = l/2,求尸(7u8)。解：由于 p

16、(ajb) = p(a) + p(b) - p(ab)p(a5) = p(a)p(5| a)=那=.i j jlp(b)=%a叽% jp(a|5)一 % 6所以p(al)b) =1111-j-4 6 12 318 .设 p(才)= 0.3, p(b) = 0.4 f 尸(49)=0.5,求 p(5|(aua)。解：由于=p(b(aub)p(ajb)b(ajb)= bajbb = ba, a=abjab, abab =(/),p(ba) = p(a)- p(ab) = 1-p(a) p(af) = 0.7- 0.5 = 0.2 , p(aub) = p(a) + p(b) p(ab) = 0.7

17、-1 + 0.4-0.5 = 0.8,/wau初/(8个？)=%。1 p(aub) 0.8 419 .设事件a、3相互独立，已知p(a) = 0.4, p(ajb) = 0.7o求:(1) p(ab)； (2) p(au5) o解：由 p(au5) = p(a) + p(5) p(a5) = 0.7即0.4 + p(5) 0.4xp(5) = 0.7解得p(b) = 0.5所以p(ab) = p(a)p =0.4 x (1-0.5) = 0.2p(a ub) = 0.6 + 0.5 0.6x0.5 = 0.820 .设a、5 为随机事件，且 p(a) = 0.5,尸(5) = 0.6, p(团

18、 a) = 0.8,求:(1) (2) p(ajb) o解：(2) p(ab) = p(a)p(b | a) = 0.5 x 0.8 = 0.4(3) p(a u b) = p(a) + p(b)- p(ab)= 0.5 + 0.6-04 = 0.721 .设事件a、5相互独立，已知p(a) = 05 p(au3) = 0.8,求：(1) p(ab) ；(2) p(a u b) o解：由条件p(a ub) = p(a) + p(b)- p(ab)=p(a) + p(5)- p(a)p(b) = 0.8即0.5 + p(5)-0.5p(5) = 0.8解得p(3) = 0.6,所以1 1) p(

19、ab) = p(ap(b) = 0.5 x0.4 = 0.22 2) p(a jb)= p(a) +p(b)- p(a a b)=0.5 + 0.4 0.5 x 0.4 = 0.722 .设事件a与事件5相互独立，试证明：(1)事件a与事件后相互独立；(2)事件瓦与事件5相互独立；(3)事件不与事件后相互独立。证明：(1)欲证明a、豆相互独立，只需证尸(4豆)二尸(4)尸(左)即可。而p(ab) = p(a-ab) = p(a)-p(a)p(b) = p(a)(1- p(b) = p(a)p(b) 所以事件a与事件豆相互独立。同理(2)由于p(ab) = p(b-ab) = p(b) p(a)

20、p(b) = p(b)(1-p(a) = pp(3) 所以事件才与事件3相互独立。(3)由于p(ab) = p(ajb) = 1 一 p(au3) = 1 p(4) p(b)+ p(ab) =1-p( a) - p(5) + p(a)p(b)= 1-p(a)1-p(b)=p(a)p(b)所以事件才与事件看相互独立。23 .若p(a|5)=尸(川豆)，证明事件a与事件5相互独立。证明：由于a=a5uax，且a8n4e=。，所以p(a) = p(b)p(a|b)+ p(b)p(a|b)=p(b)p(ab)+ p(b)p(ab)=p(b)+p(b)p(ab) = p(ab) 从而有p(ab) = p

21、(ab)p(b) = p(a)p(b) 故由独立性定义知，事件a与事件5相互独立。第二章随机变量及其分布三、解答，x 0121.设x的概率分布.为1/31/61/2求：(1) x的分布函数；133(2) px 、p1 x - o0, x 0,0 x 1,1 x 2px| = f(1) = |；331p1x - = px -px 1 = -；3331plx-=plx- + px = - = -o zzzo2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设x表示途中遇到红灯的次数，求x的分布律、分布函数。解：由题意知x服从二项分布8 (3

22、,-),从而 2 = 0 = (1_与3=卜 z o13px=l = cx-x(l-)2=-; zzopx = 2yxg)2x(l g) = | ；px = 3 = 4)3=: z o即x的概率分布列为x0123pk1/83/83/81/8由分布函数定义ro,1/8,f(x) = px x = 4/8, 7/8, 1,x00cx11cx22 x 33.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事 件是相互独立的，且概率都是2/5。设x表示途中遇到红灯的次数，求x的分布律、分布函数。29px=0 = (l-)3 =27125px =斗=c；54125、2 ,236p

23、x=2 = c；x(/x。-/反9px = 3 = (-)3 =j8125即x的概率分布列为x0123pk27/12554/12536/1258/125由分布函数定义得0, 27/125,f(x) = px vx = 81/125, 117/125,1,x00xllx22vx34. 一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10, 0.20,0.30,假设各部件的状态相互独立，以x表示同时需要调整的部件数，试求x的概率分布。解：设：4。= 1,2,3）表示：“部件i需要调整”。px = 0 = p(ala2a3) = 0.9 x 0.8 x 0.7 = 0.504

24、；px = 1 = p(aa2a3)+ p(4a2a3)+ p(4a2a3) = 0.398 ；px = 2 = p(aia2ai) + p(a a2 a3) + p(aia2ai) = 0.092解：由题意知x服从二项分布5（3,二），从而px =3 = p(a1a2a3) = p(a)p(4)p(a3)= 0.006故x的概率分布列为x0123pk0.5040.3980.0920.0065.已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验，直到发火 为止，则消耗的雷管数x是一离散型随机变量，求x的概率分布。解：x的可能取值为1,2, 3,。记人表示“第攵次试验雷管发火”

25、则凡表示“第 攵次试验雷管不发火”从而得4p=px=1=p(a) = -1 4p1= px = 2)=)=尸尸(4 ) = -x-1 7 4p3 = px = 3 = &) = p(4)p(a2)p(&) = (-)2 x -pk= px = k = p(不次2 -4-14) = w)i x 1依次类推，得消耗的雷管数x的概率分布为px = k = x d尸(k = 1,2,3,-)6.设随机变量x的概率密度为x) = cos卜|“万，求:0, 其它(1)系数a；(2) x的分布函数；(3) x落在区间(巳，工)内的概率。 44解：连续型随机变量x的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可

26、求出系数a及x的分布函数，至于(3)可由x的分布函数求得。(1)由归一性，acosxdx = 2a = l解得a = l/2。(2)由连续型随机变量的定义知x的分布函数为当 时，f（x） =/（）力，=0； 2j 一8jr兀当一。x上时, 22f(x)=1 f(u)du =odx +；cosxdx = ； + ； sinx兀当时，尸(x)= ：/()=m i尸odx + 2 cosxdx + l odx = 1-? 22故x的分布函数为x -tt/2-7t/2 x 不/2,0,f(x) = (1 + sin x)/2, l（3）所求概率为兀兀 兀 厂 7t y2p- - x = f(-) -

27、f(-)=44,4，4727.设随机变量x的分布函数为f（x） = a + arc tan x （-co x +8）求：（1）系数;（2） x落在区间（一1, 1）中的概率；（3）随机变量x的概率密度。（提示：arctanx为反正切函数）解：（1）由尸（+8）=。+ 1.（工）= 1,解得=白。故得71 22f(x) = + aictanx(_sx+s) 2 71(2) p-1x1 = f(1)-f(-1)11 万11,乃、5+h j+lf -(3)所求概率密度为/(x) = fx) = (+ arctanx) =- (-sx +沔2 71矶 1 + /)8.设随机变量x的概率分布为/(x)

28、= 4丁：1，以丫表示对x的三次独立重0, 其它 复观察中事件x 出现的次数，试确定常数a ,并求概率py = 2。解：由归一性所以a =2。即f2x, 0 x 1x)= 1 0,其它11111尸x -=尸()=昆 f (x)dx = 2xdx =所以y5(3,1),从而49py = 2 = ch-)2x- = 44 649 .在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1, 2, 3路汽车，设每个人等车时间(单 位：分钟)均服从0, 5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解：设x表示每个人等车时间，且x服从0, 5上的均匀分布，其概率分布为fm =1/5, 0x50,

29、其它px 2 = 1-py1= 1-cf x 0 - c； x 0.4 x0.62 = 0.35210 .在电源电压不超过200, 200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的 概率分别为0.1, 0.001和0.2,假定电源电压x(220,252)，试求：(提示：(0.8) = 0.788 )（1）该电子元件被损坏的概率a（2）电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率夕。解：设a】：“电源电压不超过200伏”；4： “电源电压在200240伏”;a3： “电源电压超过240伏”； b： “电子元件被以坏”。由于xn（220, 252）,所以an_p(a) = px 2

30、00) = f(200) = 0(-)=(-0.8) =1 (0.8) = 1 0.788 = 0.212p(4 ) = p200 x 240 = 1-0(-=1 (0.8) = 1 0.788 = 0.212由题设p(5|a) = 0.1, p(b|a2) = 0.001, p(5|4) = 0.2,所以由全概率公式3a = p(8) = z(a)p(冏a, ) = 0.0642/=1由条件概率公式所修*。.911 . 一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1, 2, 2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以x、y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）x和y的联合概率分

31、布；（2）关于x和y边缘分布；（3）x和y是否相互独立？为什么？解：（1） （x, 丫）的所有可能取值为（1, 1）、（1, 2）、（2, 1）、（2, 2）。pn =尸x = i, 丫 = 1 = 弓=1 2 202 = px = l r = 2 = -x- = -2 1 2pn =x = 2, = 1 = - x- = 2 2 4p22 = px = 2, = 2 = -x =于是（x , y）的概率分布表为1211/92/922/94/9（2）关于x和y的边缘概率分布分别为x12y121/32/3pj1/32/3（3）x和y相互独立。因为w,j有pi.xp.j = pij12 . 一袋中

32、装有3个球，分别标有号码1、2、3,从这袋中任取一球，不放回袋中，再任 取一球。用x、y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量（x, r）的概率分布；（2）（x, 丫）关于x和关于y的边缘概率分布；o） x和y是否相互独立？为什么？解：（1） （x, 丫）的取值为（1, 2）, （1, 3）, （2, 1）, （2, 3）, （3, 1）, （3, 2）,由 概率乘法公式可得p12 -尸x = 1，y = 2 = -x = -p-l 丫=3=3=上同理可得 p?i = p23 = p31 = p32 = 1 / 6此外事件x = 1, r=i, x = 3, y = 3,

33、 x = 2, y = 2都是不可能事件，所以 pll = 33 =小2 = 0，于是（x，y）的概率分布表为123101/61/621/601/631/61/60（2） （x, y）关于x的边缘概率分布x123pi.1/31/31/3(x, y)关于y的边缘概率分布y123pj1/31/31/3（3）x和y不相互独立，由于与。13 . 一口袋中装有四只球，分别标有数字1, 1, 2, 3o现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以x、y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）x和y的联合概率分布及关于x和关于y边缘分布；（2）x与y是否独立？为什么？解：（1）（x, /）的概

34、率分布表为123i1/61/61/621/601/1231/61/120x的边缘概率分布为x123pi.1/21/41/4y的边缘概率分相为y123pj1/21/41/4(2)x与y不独立，由于px = 1, y=l px = 1py=114 .设g为由抛物线y = /和 所围成区域，（x, 丫）在区域g上服从均匀分布，试求：（1） x、丫的联合概率密度及边缘概率密度;解：如图所示，g的面积为（2）判定随机变量x与y是否相互独立。rl 91a = q(x-x-)dx = -因此均匀分布定义得x、y的联合概率密度为6 (x,y) eg0, 其他fx (x)=匚/(mmy = j； 6dy = 6

35、(x-x2), 0 x 1/y() =/(x，y)dx = f6dx = 6小-y), 0 y 1所以关于x和关于y的边缘分布密度分别为fx(x)= 6(x-x2), 0xl0, 其他/r(y)=6(77-)，o y 10, 其他（2）由于/x（x）fy（y） = f（x,y），故随机变量x与y不相互独立。15.设二维随机变量（x, 丫）的概率分布为e 0 x y0, 其它求：（1）随机变量x的密度函数/x（x）；（2）概率px + yi。解：（1） x0时,fx） = f（xy）dy= i e-dyv故随机变量x的密度函数/x（x） =尸，0x0, x 0(2) px + /!= jj f(

36、x,y)dxdy = 2 dxj eydyx+ri16.设随机向量（x, 丫）的概率密度为a 0 x 1, 0 y x0,其他试求：（1）常数a； （2）关于x、y的边缘概率密度。解：（1）由归一性1 = qdf（x，y）dxdy =僦&泌=所以a = 2。x、y的联合概率密度为f2, 0xl 0 y x小h o,其他（2）关于x、y的边缘概率密度为fx (x) = j： /(x，= io力=2x (ox1)fx (x)=2x, 0xl0 其它同理可求得关于y的边缘分布密度为fy (.y)=2(1-y), 0y0,y00, 其它求（1）常数c； （2）边缘分布密度。4-00,+0,y 00,其

37、他x0,即 fx = e/( y)dy = e-x+y)dy = e-xfx （工）二j0,x0其他%。）=窘/（y）公=6一。+ = 6一0,即fy(y)=0,y0其他is.设x和y相互独立，下表列出了二维随机变量（x，y）联合分布律及关于x和关于 y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。71)2力px = xi = pi.工11/8工21/12py = yj = p.j1/61解:第三章随机变量的数字特征v1y3px=xi = pi.x1/121/87/241/21/121/87/241/2尸丫 = y / = p.j1/61/47/121三、解答1 + x, -1 x 01

38、 .设随机变量x/(x) = ( 4 x, 0cx1,求：0,其它(1)常数 a； (2) ex； (3) dx 解：(1)由归一性 1=匿/= j：(l + x)dx+j；(a x)dx= a从而得，a = l；2 2) ex =xf(x)dx=j：x(l + x)dx+ -(1- x)dx = 0(3)由于=x2 (1 + x)dx + x2 (1 - x)dx = 1/6于是dx = ex2-(ex)2当0xl当1 x 2 ,求其它数学期望ex和方差ox。x，2.设x的分布密度为/(x) = (2 x,0,-iq解：ex =j xf(x)dx = jqx- xdx+ x- (2-x)dx

39、 = 12 =匚/*心=育于是2 ,7xdx + 1 x(2 - x)dx =dx = ex2 - (ex)23.已知随机变量x的分布列如下,x012pk0.30.20.5试求：(1) ex、ox； (2) e(x1)2； (3) x 的分布函数。解:3(1) ex = xkpk = 0x03 + 1x0.2 + 2x0.5 = 1.2 攵=iex2 = 0x0.3 + j x0.2 + 22x0.5 = 2.2dx =ex2-(ex)2 = 2.2-1.22 =0 76(2)经计算得(x y的概率分布列y10pk0.80.22ey = )”卜=1x0.8 + 0x0.2 = 0.8x00xl

40、lx22 x3 3) f(x)= 0, 0.3, 0.5,1,4 .设x、y的概率分布为(x) = % o,1 x 0,0, y + - = ?- 44eqx -3丫2)= 2e(x)-3(72)935=6-3(。丫 + )2) = 6 =5-。885.已知r3x、y分别服从正态分布n(0, 32)和n(2, 42), 夕xy=1/2,设z=x/3+y/2,求：(1)数学期望z,方差oz；(2) x与z的相关系数.xz。解：(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得vyvy11ez = e( + )=凤一)+ (-) = xo + x2 = l323232y y v yv y3；又由于y服

41、从参数性质3及重要公式得且x与y的相关系数dz = d(- + -) = (-) + (-) + 2cov(-,-)jjj.l/)x + 2x-x-/9xyv5fv5fx32 + x42 +2x-x-x (-)x3x4 = 1 + 4-2 = 332223 22(2) cov(x, z) = cov(x, - x + - y) = - c ov( x, x ) + - co v( x, y)= -dx + -pxrvoxvdr = 0从而有x与z的相关系数pxzcov(x,z)1= = uydxydz6 .设随机变量x、y独立同服从参数为之泊松分布，u = 2x + y , v = 2x-y,

42、求u 与v的相关系数夕火。解：由条件x、y独立同服从参数为4泊松分布，所以ex = ey=%ox = oy=2, 因此ey2 =ex2 =qx+(ex)2 = 2 + 尤eu = 2ex + ey = 3 大ev = 2ex-ey=x=oz = 40x + oy = 42 + 2 = 52euv = e(4x2-y2) = 4ex2-ey2 =32 + 322cov(?7, v) = euv-euev +-3r =3a于是u与v的相关系数夕wcov(u, v)_3x_3yduydv - 5厂 57 .设一部机器一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5个 工作日内无故障

43、可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三 次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。解：设y表示生产利润，x表示每周发生故障的次数，则y是x的函数，而 x 5(5, 0.2),其概率分布为 px = k = c；p、5ai可能取值为一2, 0, 4, 8opy = 8 = px = 0 = 0.85 =45/55 =1024/3125py = 4 = px = 1 = x 0,2 x 0.84 = 5 x 44 /55 = 1280/3125py=o= px = 2 = c/ x0.22 x0.83 = 10 x43/55 = 640 / 3 1 25p(i

44、r = -2 = px3= l-px3 = 181/55 = 181/3125k = 8x1024 )+ 4x 3125旦ox 31256403125+ (-2) x1813125129503125= 4.1448.设与独立同分布，已知看的概率分布为p4 = i = l/3（i = l,2,3）,又设 x=max& , y =77。求：（1）ex、ey ； （2）随机变量 x, v 的协方差。y12311/92/92/9201/92/93001/9解：（1）（x, 丫）的概率分布为关于x、y的边缘概率分布分别为x123p1/93/95/9y123p5/93/91/9从而得x = lx- + 2

45、x- + 3x- = k=lx- + 2x- + 3x- = 9999(2)exy =lxlx + 2xlx + 2x2x + 3xlx + 3x2x + 3x3x = 9999999cov(x, y)=exyexey=36 22 14 16x =999 819.游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第x分钟到达低层候梯处，且x在0, 60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知x在0, 60上均匀分布，其概率分布为1= 1 600,0x60其它设y表示游客等候电梯时间（单位：分）,y = g（x）=5 x,25 x

46、,55 x,0x 55x 2525 vx 5560-x + 5, 55x 60因此,+81/60ey= eg(y) = j g(x)f(x)dx = g(x)dx1 f5r25r55r60=标工(5 x)dx +1 (25 -x)dx+j (55 - x)dx + (65 - x)dx= 35/3=11.67第四章随机变量及其分布三、解答，1.已知随机变量x的概率分布为x123pk0.20.30.5试利用切比雪夫不等式估计事件|x （x）|1.5的概率。解：依题意，ex = 23, dx = 0.61,故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为p|x ex|1.5之1一丝=1坐右 0.72891.

47、1.5第五章随机变量及其分布三、解答题1 .设xj x2,x ”为x的一个样本,(2 + l)xa ,0 x -1为未知参数，求义的极大似然法估计量。解：设，x为x1，x2，x 观测值，则构造似然函数l(2) = (a + l)w(nxf/=1nin l = n lii(z +1) + alii xi/=1令dnldan1+1n+ zhi xi = 0在1解得的极大似然估计量为/?ix,i=l2 .设总体x的分布列为x10pkp1-px, x2,x“为x的一个样本，求p的极大似然估计。解：设/，x2,乙为xj x2,x “观测值，x的分布律为p(x,p) = p(lp)j (x=l 0)于是似

48、然函数p)= fl p(x” p)= fl p(1 - p)jr=l?=1iiii一= pg (1- p) 0in l = in pf 七 + ( 一次七)ln(l p) i=l/=1dlnj- tdp p i- pjln f1 _令= o,解得p = =又，因此的极大似然估计为 dpn /=i1 _） = ，= x n i=i3 .设x, x2,x为总体x的一个样本，且x的概率分布为px = k = （i-p）k-lp,1= 1,2,3,。x，工2，与为来自总体x的一个样本观察值, 求p的极大似然估计值。解：构造似然函数l（p）= flp（%,p）= flp（l-p）5 /=! /=1示一= p（l-p）n111