连续褶积与相关

1、1、傅里叶积分是分析连续信号的理论基础。最简单 的连续信号是单位脉冲信号单位脉冲信号（Impluse） ， 它的表示式为 DSP:几种基本的连续信号 )(t 0, 0 0, )( t t t 1)( dtt 并且 CFT的性质（6）:对偶性质 )()(1)(fftx 1)(t 例1、计算单位信号 )( 1)(ttx 的频谱。 因为单位脉冲信号 因此， 是一个实对称函数： 其中 有任意阶导数，在一个有限区间外的取值等 于零。满足上式的函数，我们称其为单位脉冲信号单位脉冲信号， 或或 函数函数。 函数 )(t 函数的真正表达式是 )0()()()(),( dttttt )0()()()(),( d

2、ttttt )(t )()(tt 函数 于是，可以得到 )(1)()( 2 fdtetf fti 按照傅里叶积分变换中的对偶性质， 1)()(tt )( 2 tdfe fti dtx)()(例:计算 函数 记 )( 2 tdfe fti )()()()()(txdtxttx )()()( )( )()( 22 22 )(2 dexfXdfefX dfdexe ddfextx fifti fifti tfi 其中 可以得到 这是Fourier变换的又一种推导方法。 连续信号的褶积 将前面的公式进行推广（P45）： )()()()(*)( tdtyxtytx 称其为连续信号x(t)与y(t)的线性

3、褶积线性褶积(Linear Convolution), 简 称褶积褶积。 表明:任何连续信号等于其与单位脉冲信号的褶积，称 此性质为连续信号关于线性褶积的脉冲不变性，简称 线性褶积的脉冲不变性。 )()()()()(txdtxttx 连续信号的褶积 )()(*)( )()()( )()()( )()()()( ttxty tuduuyutx tdtyttx dtyxtytx 褶积是否具有可交换性? )()()()(*)( tdtyxtytx 连续信号的褶积 )()(fXtx)()(fYty设 )()()( )()( )()( )()()()( 2 22 )(2 tdfefYfX dfefYde

4、x ddfefYx dtyxtytx fti ftifi tfi 则有 )()()(*)(fYfXtytx i.e., 这表明：两个连续信号的褶积，其频谱就是两个对应信 号频谱的乘积；反过来讲，两个频谱乘积，其信号就是 相应的两个连续信号的褶积。 连续信号的褶积 显然，可以用两种不同的方法证明：显然，可以用两种不同的方法证明： 褶积运算具有可交换性！褶积运算具有可交换性！ 连续信号的褶积 )(*)( )()( )()( )()()()( 000 0 )(2 0 2 0 2 0 2 0 0 fYfX dfffXfY dfdtetxfY dtedfefYtxdtetytx tffi ftitfif

5、ti 所以有 )(*)()()(fYfXtytx 连续信号的褶积 20 2 2 1 )( t t t tx 20 21 )( t t ty(Continuous_Convolution.m) 连续信号的褶积 1、前面讲过的前面讲过的CFT的线性性质，仅仅涉的线性性质，仅仅涉 及两个信号的简单加减；注意信号的乘及两个信号的简单加减；注意信号的乘 积与褶积是完全不同的积与褶积是完全不同的。 )()()(*)( )(*)()()( fYfXtytx fYfXtytx 2、褶积是褶积是Fourier分析中最最重要的性质及分析中最最重要的性质及 运算，其含义非常广泛；滤波只是一种应运算，其含义非常广泛；

6、滤波只是一种应 用，这种应用通常是借助褶积原理来实现用，这种应用通常是借助褶积原理来实现 的的。 连续信号的相关 信号x(t)和y(t)的线性相关（线性相关（Linear Correlation，简 称相关）定义为 （P173：连续相关内容空缺）：连续相关内容空缺） )()()()()( tdtyxtytx 特别地，若信号x(t)=y(t),我们称其为自相关(Auto- Correlation)，否则就是互相关(Cross-Correlation)。 )()()()(ttytxtRxy 通常记 连续信号的相关 )()()( )()()( )()()()()( tdytx tuduuytux t

7、dtyttxdtyx 因此有 )()()()()()()( tdytxdtyxtytx 连续信号的相关 )()(fYty)()(fXtx设 )()()( )()( )()( )()()()( 2 22 )(2 tdfefYfX dfefYdex ddfefYx dtyxtytx fti ftifi tfi )()()()(fYfXtytx 则有 i.e.， 这说明了信号的相关运算不具有不具有可交换性质。 连续信号的相关 20 2 2 1 )( t t t tx 20 21 )( t t ty (Continuous_Correlation.m) 应用：能量计算公式 dttxtxdttxE)()

8、()( 2 dtdfefXtx fti2 )()( dffXdtetx fti )()( 2 dffXfX)()( dffX 2 )( （P50） 连续信号的褶积与相关 1、有关、有关 函数的计算；函数的计算； 2、连续信号的褶积（可交换性、频谱表达式）；、连续信号的褶积（可交换性、频谱表达式）； 连续信号的褶积与相关分析的重点是：连续信号的褶积与相关分析的重点是：公式推导公式推导！ 3、连续信号的相关（频谱表达式）；、连续信号的相关（频谱表达式）； 4、能量表达式。、能量表达式。 有关褶积运算的特别申明 无论是连续信号还是离散信号，褶积运算是无论是连续信号还是离散信号，褶积运算是 它们最最重要的性质；其重要性远在连续信号的它们最最重要的性质；其重要性远在连续信号的 其它八个性质之上。其它八个性质之上。 时间域的褶积对应着频率域的乘积；时间域的褶积对应着频率域的乘积； 时间域的乘积对应着频率域的褶积。时间域的乘积对应着频率域的褶积。 这是这是Fourier分析方法普遍应用的理论基础；在此分析方法普遍应用的理论基础；在此 基础上衍生出许多快速算法。基础上衍生出许多快速算法。 至此，我们已学完连续信号分析的所有理论至此，我们已