相似三角形典型例题精选

1、相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例仁 如图，ZkPCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且ZAPB=120 求证：(DAPACABPD： (2) CD2 =AC BD.例2、如图，在等腰ZiABC中，ZBAC二90 , AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合)，在AC上取一点E,使ZADE=45(1) 求证：ABDsGCE;(2) 设BD二x, AE=y,求y关于x函数关系式及自变童x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？(3) 在AC上是否存在点E,使得AADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说 明理由例3、

2、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC,垂足为E,连接DE, F为线段 DE 上一点，且ZAFE=ZB:1) 求证：ADFsDEC：2) 若 AB=4,=求 AF 的长。D考点二：射影定理：例 4、如图，在 Rt A ABC 中，ZACB二90 , CD丄 AB 于 D, CD=4cm, AD=8cm,求 AC、BC 及 BD 的 长。例“ 如图，已知正方形ABCD, E是AB的中点，F是AD上的一点，且Af AD, EG丄CF于点G,(1)求证：AEFsABCE;(2)试说明：EG2=CG - FG.例“已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (ADAB),将纸片折叠一次，使点A

3、与点C重合, 再展开，折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE.(1 )求证：四边形AFCE是菱形；(2) 若AEhOcm, AABF的面积为24cm2,求ZkABF的周长；(3) 在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP若存在，请说明点卩的位置，并予 以证明；若不存在，请说明理由.E考点三：相似之共线线段的比例问题:例7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC. CD的延 长线.AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.PE PH求证:例8、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E,交BA 的延长线于点

4、F.(1) 求证：pc2=pe?pf：(2) 若菱形边长为8, PE二2, EF=6,求FB的长.例9.如图，CD是RtAABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F. 求证：BD?CF二CD?DF例10.如图：已知在等边三角形ABC中，点D. E分别是AB、BC延长线上的点，且BD二CE, 直线CD与AE相交于点F.(1) 求证：DC=AE;(2) 求证：AD=DC?DFAB.例1仁 如图，E是矩形ABCD的边BC上一点.EF丄AE, EF分别交AC, CD于点M, F, BG丄AC, 垂足为G, BG交AE于点H.(1) 找出与AABH相似的三角形，并证明；(2) 若 E 是

5、BC 中点，BC二2AB, AB二2,求 EM 的长.例12.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形.连接AE、CG, AE与CG相交于点M. CG与AD 相交于点N.例13、如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的离，点M在CD上，DH丄BM且与AC的延长 线交于点E.求证：(1) AEDsCBM;(2) AE?CM二AC?CD例14、如图，ZkABC是直角三角形，ZACB二9(T , CD丄AB于D, E是AC的中点.ED的延长 线与CB的延长线交于点F.(1) 求证：fd2=fb?fc：(2) 若G是BC的中点，连接GD, GD与EF垂直吗并说明理由.例15-如图，四边形ABCD、C

6、DEF、EFGH都是正方形.(1) ZIACF与ZJACG相似吗说说你的理由.(2) 求Z1 + Z2的度数.考点四：相似三角形的实际应用：例16、如图，AABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD二80mm,要把它加工成矩形 零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB. AC上.(1) 若这个矩形是正方形，那么边长是多少(2) 若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少例17、已知左，右并排的两樑大树的爲分别是AB二8m和CD=12m，两树的根部的距离BD二5叽 一个身高的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离 小于多少时，就不能看见右边较

7、商的树的顶端点CBD例18、两颗树的高度分别为AB二6g CD=8m,两树的根部间的距离AC=4m,小强沿着正对这 两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为，当小强与树AB的距离小于 多少时，就不能看到树CD的树顶D0 A例19.小亮想利用太阳光下的影子测董校园内一棵大树的离，小亮发现因大树靠近学校国 墻，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影鬲CD二，地面影长BC=10m 若此时1米鬲的标杆的影长恰好为2m请你求出这棵大树AB的离度.例20.如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地 面BC上，量得CD二8米，BC二20米，CD与地面

8、成30角，且此时测得1米杆的影长为2米, 求电线杆的爲度.例2仁如图，有一路灯杆AB （底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的 影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m,如果小明的身离为，求路灯杆 AB的鬲皮ADG考点五：相似三角形中的动点问题：例22.在矩形ABCD中,AB=12cm, AD=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度 移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速皮移动，如果P、Q同吋出发，用t （秒） 表示运动时间（0WtW6）,那么当t为何值时.AAPQ与AABD相似说明理由.例23、如图，在AABC中，ZB二90

9、, AB二6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出 发，沿AC向点C移动.同时.动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当 其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.（1）当t二秒时，求ACPO的面积：求ACPO的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函 数解析式；（2）在P, Q移动的过程中，当ACPO为等腰三角形时，写出t的值。例24.如图所示，在AABC中，BA=BC=20cm, AC二30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒 4cm的速度向B点运动：同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运 动时间为X.（1）当x为何值时，PQ/Z

10、BC：（2）当 S/kBCO： Saabc=1 : 3 ,求 Sabpq： Saabc 值；（3）ZkAPQ能否与ACOB相似若能，求出AP的长：若不能，请说明理由.例25.如图.平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为(6, 0), (6, 8).动 点M、N分别从0、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿0A向终点A 运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP丄BC,交AC于点P,连接MP,已知动点运动 T x秒.(1) 用含X的代数式表示P的坐标(直接写出答案)：(2) 设y=S四边形0MPC,求y的最小值，并求此时x的值：(3) 是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与AAOC相似若存在，请求出x的值:例26、如图，正方形ABCD的边长为4, E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF丄 AE 于 F.(1) 求证：PFAsABE：(2) 当点P在射线AD上运动时，设PA二x,是否存在实数x,使以P、F、E为顶点的三角形 也与AABE相似若存在，请求出x的值：若不存在，请说明理由. 例27.如图，在平面直角坐标系中，已知RtAAOB的两条直角边OA、0B分别在y轴和x轴 上，并且OA、0B的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(OAOB),动点P从点A开始在线段 A0上以毎秒1个