理学定积分的换元法PPT学习教案

1、会计学1 理学定积分的换元法理学定积分的换元法 2 由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定 积分的换元法和定积分的分部积分法. 第1页/共35页 3 例 解 . d1 1 0 2 xx计算计算 数数的的一一个个原原函函数数：先先用用不不定定积积分分求求被被积积函函 ttxxdcosd1 22 sin tx 令令 tt d)2cos1( 2 1 C tt 4 2sin

2、 2 Cxxx 2 1 2 1 arcsin 2 1 得得，莱布尼兹公式莱布尼兹公式由牛顿由牛顿 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 d1 1 0 2 1 0 2 xxxxx 第2页/共35页 4 例 解 . d1 1 0 2 xx计算计算 数的一个原函数：数的一个原函数：先用不定积分求被积函先用不定积分求被积函 ttxxdcosd1 22 sin tx 令令 tt d)2cos1 ( 2 1 C tt 4 2sin 2 Cxxx 2 1 2 1 arcsin 2 1 得得，莱布尼兹公式莱布尼兹公式由牛顿由牛顿 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 d1 1 0 2 1 0 2 xx

3、xxx 10 x 2 0 t 2 0 2 1 0 2 dcosd1 ttxxtt d)2cos1( 2 1 2 0 2 0 4 2sin 2 tt . 4 有什么想法没有？ 第3页/共35页 5 就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果 . 第4页/共35页 6 一、定积分的换元法 Substitution Method 定理1. 设函数 , ,)(baCxf 单值函数 )(tx 满足: 1) , ,)( 1 Ct 2) 在 , 上 ,)(bta ;)(,)(ba tfxxf

4、 b a dd)( )(t )(t 证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . ,)()(的一个原函数的一个原函数是是设设xfxF 是的原函数 ,因此有则 b a xxfd)()()(aFbF )( F )( F tfd )(t )(t F)(t f)(t )(t 则 第5页/共35页 7 说明: 1) 当 , 即区间换为 ，时时, 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 ) )(tx 令令xxf b a d)( 或配元 f)(t )(dt 配元(凑微分)不换限 tfd )(t )

5、(t tfxxf b a dd)( )(t )(t tfd )(t )(t 第6页/共35页 8 例1. 计算 ).0(d 0 22 axxa a 解: 令 ,sintax 则 ,dcosdttax ;0,0 tx时时当当., 2 tax时时 原式 = 2 a tt a d)2cos1( 2 2 0 2 )2sin 2 1 ( 2 2 tt a 0 2 4 2 a 2 0 ttdcos2 22 xay xo y a S 且 第7页/共35页 9 例2 计算 .sincos 2 0 5 xdxx 解令 ,cos xt 2 x, 0 t0 x, 1 t 2 0 5 sincosxdxx 0 1 5

6、dt t 1 0 6 6 t . 6 1 ,sin xdxdt 第8页/共35页 10 例3 计算 解 .sinsin 0 53 dxxx xxxf 53 sinsin)( 2 3 sincosxx 0 53 sinsindxxx 0 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sincosdxxx 2 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sinsinxdx 2 2 3 sinsinxdx 2 0 2 5 sin 5 2 x 2 2 5 sin 5 2 x. 5 4 第9页/共35页 11 例4 计算 解 . )ln1(ln 4 3 e e xxx dx 原式 4 3 )ln1(l

7、n )(lne e xx xd 4 3 )ln1(ln )(lne e xx xd 4 3 2 )ln(1 ln 2 e e x xd 4 3 )lnarcsin(2 e e x . 6 第10页/共35页 12 例5 计算 解 a adx xax 0 22 )0(. 1 令 ,sintax ax , 2 t0 x, 0 t ,costdtadx 原式 2 0 22 )sin1(sin cos dt tata ta 2 0 cossin cos dt tt t 2 0 cossin sincos 1 2 1 dt tt tt 2 0 cossinln 2 1 22 1 tt . 4 第11页/

8、共35页 13 例例 6 6 当当)(xf在在,aa 上上连连续续，且且有有 )(xf为为偶偶函函数数，则则 a a a dxxfdxxf 0 )(2)(； )(xf为为奇奇函函数数，则则 a a dxxf0)(. 证 ,)()()( 0 0 a a a a dxxfdxxfdxxf 在在 0 )( a dxxf中中令令tx , 奇偶函数在对称区间上的定积分 第12页/共35页 14 0 )( a dxxf 0 )( a dttf,)( 0 a dttf )(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 )()()( ;)(2 0 a dtt

9、f )(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 )()()(. 0 第13页/共35页 15 奇函数 例7 计算 解 . 11 cos2 1 1 2 2 dx x xxx 原式 1 1 2 2 11 2 dx x x 1 1 2 11 cos dx x xx 偶函数 1 0 2 2 11 4dx x x 1 0 2 22 )1(1 )11( 4dx x xx 1 0 2 )11(4dxx 1 0 2 144dxx .4 单位圆的面积 第14页/共35页 16 Exercises: Compute the following defini

10、te integrals练习 求下列定积分 dx xsin1 1 . 1 4 4 2 0 tan1 1 . 2 dx x n . 3 设函数 )(xf 连续，且 x xdttxtf 0 2 arctan 2 1 )2( 已知 1)1( f ，求 的值。 dxxf)( 2 1 dxxfxfxxf)()(,tan)(. 4 4 0 2 求求已知已知 的值。的值。求求连续，连续，已知已知dxxfxdttxtfxf x )(,cos1)()(. 5 2 00 2 4 utx 2令令 求导，得 )( 1 )(2 4 2 xxf x x duuf x x 1 x令令 4 3 )( 2 1 dxxf得得 2

11、)( 2 0 dxxf 8 令 txu ，然后求导，最后得 第15页/共35页 17 证 （1）设 tx 2 ,dtdx 0 x, 2 t 2 x, 0 t 第16页/共35页 18 2 0 )(sindxxf 0 22 sindttf 2 0 )(cosdttf;)(cos 2 0 dxxf （2）设 tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0 )(sindxxxf 0 )sin()(dttft ,)(sin)( 0 dttft 第17页/共35页 19 0 )(sindttf 0 )(sindtttf 0 )(sindxxf,)(sin 0 dxxxf .)(sin 2 )(sin

12、00 dxxfdxxxf 0 2 cos1 sin dx x xx 0 2 cos1 sin 2 dx x x 0 2 )(cos cos1 1 2 xd x 0 )arctan(cos 2 x . 4 2 ) 44 ( 2 0 )(sindxxxf 第18页/共35页 20 0 2 cos1 sin dx x xx 2 2 2 2 2 2 sin1 cos sin1 cos 2 dt t tt dt t t ),(偶函数积分偶函数积分对称区间上奇对称区间上奇 0 sin1 cos 2 0 2 dt t t 2 0 )(sinarctan t 0 4 . 4 2 . )(;: 0 0 2 2

13、2 0 tddxtdxd tx tx 常用常用 2 2 2 2 sin1 cos 2 dt t tttx .又又解解 第19页/共35页 21 2 2 105 2 0 105 2 coscos. tdtxdxA tx 例例 2 2 105 sin tdt 2 2 105 sin tdt .0 ) .sin( 105 是奇函数是奇函数t 2 2 106 2 0 106 sincos tdtxdx tx .sin2 2 0 106 tdt ) .sin( 106 是偶函数是偶函数t 第20页/共35页 22 .)2( 4 1 dxxf求求 )(.xfB设设例例 0 2 xex x 01 cos1

14、1 x x 4 1 )2(.dxxf解解 2 1 2 )( dttf tx 2 1 )(dxxf 2 0 0 1 2 cos1 1 dxxedx x x 2 0 2 0 1 2 )( 2 1 2 cos2 1 2 xdedx x x 2 0 0 1 2 2 1 2 tan x e x 04 2 1 2 1 tan0ee . 2 1 2 1 2 1 tan 4 e 第21页/共35页 23 练习 2)(4)(8)(16)( )( 1 , 2 )(. 1 4 0 4 0 DCBA dxxf x x dttf x 则则已知已知 dx xx x )1( arcsin . 2 4 3 2 1 计算：计算

15、： 0)( , 0)()( 2 0,0)(. 3 0 a dxxf xafxf a xaCxf 试证：试证： 时，时，且当且当 dx x n e 1 2 ) 1 cos(ln. 4 计算：计算： a e dt t a 求求计算：计算：, 61 . 5 2ln2 16 配元配元或或 换元：换元：ux arcsin 2 144 7 tax aa aa 再换元再换元 ，与与，分为分为积分区间积分区间0,0 22 t x 1 ln换元：换元： 0 2 sin n t t dte e t I 0 sin2tdtn n4 ue t 1换元：换元： 31: 2ln: a eu at 2ln a 第22页/共

16、35页 24 6. 设 ,0)1(,)( 1 fCtf ,ln 1 d)( 3 x x ttf ).(ef求求 解法1 3 1 d)(ln x ttfx)1()( 3 fxf )( 3 xf , 3 xu 令令 3 ln)(uuf 得得uln 3 1 3 1 )( ef 解法2 对已知等式两边求导, x xfx 1 )(3 32 , 3 xu 令令 u uf 3 1 )( 得得 )1(d)()( 1 fuufef e e u u 1 d 1 3 1 3 1 思考:若改题为 xttf x lnd)( 3 1 3 ?)( ef 提示: 两边求导, 得 3 3 1 )( x xf e xxfef 1

17、 d)()( 得 第23页/共35页 25 dx x x I 2 1 0 1 )1ln( 计算定积分：计算定积分： 解解：.tanux 换元：换元： 4 0: 10: u x duuI)tan1ln( 4 0 du u u I cos ) 4 sin( 2ln 4 0 duu) 4 sin(ln 4 0 )( 2 sin(ln 0 4 4 dtt tu tdtcosln 4 0 2ln 8 duuI)tan1ln( 4 0 )() 4 tan(1ln 0 4 4 tdt tu dt t t tan1 tan1 1ln 4 0 dt ttan1 2 ln 4 0 I 2ln 4 2ln 8 I

18、例9 第24页/共35页 26 ,)(.1为周期的连续函数为周期的连续函数是以是以设设lxf .)(无关无关的值与的值与证明证明xdttf lx x ,)()(. lx x dttfxF设设证证 ,0)()()( xflxfxF则则 ,)(cxF .)(无关无关与与 xxF 周期函数定积分的性质 故 llx x dttfdttf 0 )()( （令x=0） 第25页/共35页 27 ;)(,)(.2 0 是偶函数是偶函数证明证明连续且为奇函数连续且为奇函数设设 x tdtftf .)(,)( 0 是奇函数是奇函数证明证明连续且为偶函数连续且为偶函数设设 x tdtftf ,)()()(. 00

19、 xx tdtftdtfxF设设证证 ,)(为奇函数为奇函数tf )1()()()( xfxfxF则则 ,)(cxF ,000)0( F.0)( xF ,)()( 00 xx tdtftdtf.)( 0 是偶函数是偶函数 x tdtf ,)()()(, 00 xx tdtftdtfxG设设同理同理 ,)(为偶函数为偶函数tf ,0)()()( xfxfxG则则 ,0)()( xfxf ,000)0( G ,0)( xG,)()( 00 xx tdtftdtf .)( 0 是奇函数是奇函数 x tdtf 第26页/共35页 28 例10. 证明 证： 2 dsin)( x x xxxf 是以 为

20、周期的函数. 2 dsin)( x x uuxf tu令令 2 d)sin( x x tt 2 dsin x x tt 2 dsin x x xx)(xf )(xf 是以 为周期的周期函数. 为为则则若若练习：练习：)(,sin)( 2 sin xFtdtexF x x t (A) 正常数 ; (B)负正常数; (C) 0； (D)非常 数 第27页/共35页 29 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 dxxf b a )(dtttf )()( 第28页/共35页 30 思考题 指指出出求求 2 22 1xx dx 的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的 解解法法. 解令 ,sectx , 4 3 3 2 : t,sectantdttdx 2 2 2 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3 2 . 12 思考题解答 计算中第二步是错误的. ,sectx 令令, 4 3 , 3 2 t, 0tan t .tantan1 2 ttx 正确解法是 2 22 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3 2 . 12 第29页/共35页 31 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 3 ) 3 sin(dxx_；