理想单色平面光波在晶体中的传播（光线菲涅耳方程PPT学习教案

1、会计学1 理想单色平面光波在晶体中的传播（光理想单色平面光波在晶体中的传播（光 线菲涅耳方程线菲涅耳方程 3.光在几类特殊晶体中的传播规律光在几类特殊晶体中的传播规律 1)立方晶体或各向同性介质立方晶体或各向同性介质 2 1230 n 2)单轴晶体单轴晶体( (方解石、石英、方解石、石英、红宝石红宝石等等) ) 222 12o3eo , nnn 3)双轴晶体双轴晶体( (云母、硫磺、云母、硫磺、蓝宝石蓝宝石等等) ) 123，n1n2n3。 第1页/共54页 1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 将波法线菲涅耳方程将波法线菲涅耳方程(40)式通分、整理，得到式通分、整理，得到 22

2、2 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 4222222 1 122331212 2222 23233 131123 ()() ()()0 nkkknkk kkkk 第2页/共54页 1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 代入代入 ，并注意到并注意到 ( (k 是波法线方向的单位矢量是波法线方向的单位矢量),),该式该式简化简化为为 2 1230 n 222 123 1kkk 2 22 0 0 (46)nn 由此得到重根由此得到重根 nnn0。这就是说，在各向同性介。这就是说，在各向同性介 质或立方晶体中，质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等

3、沿任意方向传播的光波折射率都等 于主折射率于主折射率 n0。 第3页/共54页 1)1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 进一步，把进一步，把 n= n= n0 的结果代入的结果代入(42)式，可以得式，可以得 到三个完全相同的关系式到三个完全相同的关系式 112233 0 (47)k Ek Ek E 此式即为此式即为 k E0。它表明，。它表明，光电场矢量光电场矢量 E 与波法线与波法线 方向垂直方向垂直。 第4页/共54页 0 nnn 2222 1111 221 33 2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k

4、En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 112233 0 (47)k Ek Ek E 第5页/共54页 1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 因此，因此，E 平行于平行于 D，s 平行于平行于 k。所以，。所以，在各向同在各向同 性介质或立方晶体中传播的光波电场结构性介质或立方晶体中传播的光波电场结构。 k D s E E D 第6页/共54页 由于由于(47)式式只限定了只限定了 E 垂直于垂直于 k，而对，而对 E 的方向的方向 没有约束。没有约束。 1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 112233 0 (47)k

5、 Ek Ek E 所以在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传所以在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传 播的光波，播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关允许有两个传播速度相同的线性不相关 的偏振态的偏振态。 第7页/共54页 2)单轴晶体单轴晶体 单轴晶体的主介电系数为单轴晶体的主介电系数为 2 12o 22 3eo (48) n nn neno 的晶体，称为的晶体，称为正单轴晶体正单轴晶体( (石英晶体石英晶体)； ne no 的晶体的晶体，称为，称为负单轴晶体负单轴晶体( (方解石晶体方解石晶体)。 第8页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波( (本征模式本征模

6、式) ) 为讨论方便起见，取为讨论方便起见，取 k 在在 x2Ox3 平面内，并与平面内，并与 x3 轴轴 夹角为夹角为 ，则，则 123 0, sin , cos (49)kkk k x 3 x 2x 1 第9页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波( (本征模式本征模式) ) 将将(48)式和式和(49)式的关系代入式的关系代入(40)式，得到式，得到 42222 oe 222222242 eeoeoe (sincos) (sincos)0 nnn n nnnnn n 222 12o3eo , (48)nnn 123 0, sin , cos (49)kkk 222 312

7、 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 第10页/共54页 即即 222222222 ooeoe (sincos)0 (50)nnnnnn n 该方程有两个解该方程有两个解 o (51) nn (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波( (本征模式本征模式) ) 42222 oe 222222242 eeoeoe (sincos) (sincos)0 nnn n nnnnn n oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第11页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波( (本征模式本征模式) ) 第一个解第一个解 n 与光的传播方向无

8、关，与之相应的光波与光的传播方向无关，与之相应的光波 称为称为寻常光波寻常光波，简称，简称 o 光。光。 第二个解第二个解 n 与光的传播方向有关，随与光的传播方向有关，随 变化，变化，相应相应 的光波称为异常光波的光波称为异常光波, ,简称简称 e 光。光。 0 (51) nn oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第12页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波( (本征模式本征模式) ) 可见，当可见，当 k 与与 x3 轴方向一致时轴方向一致时, ,光的传播特性如同光的传播特性如同 在各向同性介质中一样，在各向同性介质中一样，nn no，因此，因

9、此，把把 x3 轴这个特殊方向称为光轴轴这个特殊方向称为光轴。 oe 2222 oe (52) sincos n n n nn e o /2 0 nn nn 第13页/共54页 下面确定两种光波的下面确定两种光波的偏振态偏振态： 寻常光波。将寻常光波。将 nnno 及及 k10，k2sin，k3 cos 代入代入(42)式，得到式，得到 2222 1111221 33 2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 22 oo1 2222 oo

10、2o3 2222 o2eo3 ()0 cossincos0 (53) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 第14页/共54页 寻常光波寻常光波 第一式因系数为零，第一式因系数为零，所以所以 E1 有非零解有非零解。第二、三。第二、三 式因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐式因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐 次方程，此时，次方程，此时，只可能是只可能是 E2E30。因此，。因此，E E1i。 22 oo1 2222 oo2o3 2222 o2eo3 ()0 cossincos0 (53) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 第15页/共54页

11、2222 ooo 2222 oe 23 23o cossincos sincossin 0 (53) 0 EE EE nnn nnn 2222 ooo 2222 oeo 22222222 ooeooo 2242222422422 oeooeoo 2242222 oeooe 222 oe cos sincos sincos sin cossinsincossincos sincoscossinsincos sincos sin nnn nnn nnnnnn n nnn nnn n nnn n n n 42 o 2222 oeo sin sin()0 n nnn 第16页/共54页 寻常光波寻常光

12、波 可见可见，o 光的光的 E 平行于平行于 x1 轴轴，从一般意义上讲，从一般意义上讲， 即垂直于即垂直于 k 与与 x3 轴决定的平面。又由于轴决定的平面。又由于 D 0no2E，所以，所以 o 光的光的 D 矢量与矢量与 E 矢量平行。矢量平行。 x2 x1 x3 Eo Do k so 第17页/共54页 将将 nn 及及 k10，k2sin，k3 cos 代入代入(42)式式 ，得到，得到 2 2 o1 22 22 o23 22 22 2e3 ()0 cossincos0 (54) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 异常光波异常光波 2222 1111221 33

13、2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 第18页/共54页 2 2 o1 22 22 o23 22 22 2e3 ()0 cossincos0 (54) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 在第一式中，因系数不为零，在第一式中，因系数不为零，只可能是只可能是 E10. .而而 第二、三式中第二、三式中, ,因系数行列式为零因系数行列式为零, ,E2 和和 E3 有非零有非零 解解。 异常光波异常光波 oe 2222 o

14、e (52) sincos n n n nn 第19页/共54页 22 22 o 22 22 e 23 23 cossincos sincossi 0 n (54) 0 Ennn nnn E EE 22 22 o 22 22 e 22 2222 oe 22 22 222222 oeoe 44 22 (cos) sin cos sin cos sin cossin sin cossin cos sincos cos sin nnn nnn nnnn nn n nnnnn nn 22 22 222222 oeoe sincos sincosn nnnnn 第20页/共54页 oe 2222 oe

15、oe 2222 oe 22 22 222222 oeoe 2 2222 oeo 2 22 4 eoe 22222222 oeoe e 422 22 o oe sincos sincos sincos sincos sin cos sinc c o sins s o n n nn n n n nnn nn n nn n nn n n nnn n n n n n 224 eo 422 22 o oe 2222 oeoe e 2222 oe s s incos 0 incos nn n n n n n n nn n n 第21页/共54页 可见，可见，e 光的光的 E 矢量位于矢量位于 x2Ox3

16、平面内平面内，从一般意，从一般意 义上讲，即位于义上讲，即位于 k 矢量与光轴矢量与光轴 x3 所确定的平面内。所确定的平面内。 异常光波异常光波 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第22页/共54页 同时，由于同时，由于 D101E10，所以所以 D 矢量也在矢量也在 x2Ox3 平面内平面内，但不与但不与 E 矢量平行矢量平行。 异常光波异常光波 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第23页/共54页 异常光波异常光波 另外，另外，e 光的光的 s 矢量、矢量、k 矢量和光轴共面，矢量和光轴共面，但但 s 与与 k 不平行不平行。 x2 x1 x3

17、De Ee Eo Do k so se 第24页/共54页 异常光波异常光波 仅当仅当 /2 时，时，E20，E 矢量与光轴平行矢量与光轴平行, ,此时此时, , D E，k s， 相应的折射率为相应的折射率为 ne。 x2 x1 x3 DeEe Eo Do k se oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第25页/共54页 x2 x1 x3 DeEe Eo Do k se o nn e nn o nn o nn x2 x1 x3 Do Eo Eo Do k se 第26页/共54页 异常光波异常光波 综上所述，在单轴晶体中，存在着两种特许偏振方综上所述，在单轴晶体中

18、，存在着两种特许偏振方 向的光波：向的光波：o 光和光和 e 光。光。对应于某一波法线方向对应于某一波法线方向 k 有两条光线：有两条光线：o 光的光线光的光线 s0 和和 e 光的光线光的光线 se。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第27页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波 这两种光波的这两种光波的 E 矢量矢量( (和和D 矢量矢量) )彼此垂直彼此垂直。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第28页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波 对于对于 o光，光，E 矢量和矢量和 D 矢量总是平行矢量总是平行，并

19、且垂直于，并且垂直于 波法线波法线 k 与光轴所确定的平面；折射率不依赖于与光轴所确定的平面；折射率不依赖于 k 的方向；的方向；光线方向光线方向 s0 与波法线方向重合与波法线方向重合。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se o (51) nn 第29页/共54页 (1)两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波 对于对于 e 光，光，其折射率随其折射率随 k 矢量的方向改变矢量的方向改变；E 矢量矢量 与与 D 矢量一般不平行，它们与光轴的夹角随着矢量一般不平行，它们与光轴的夹角随着 k 的的 方向改变；方向改变；它的光线方向它的光线方向 se 与波法线方向不重合与波法线方向不

20、重合。 oe 2222 oe (52) sincos n n n nn x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第30页/共54页 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 单轴晶体中单轴晶体中e 光波法线方向与光线方向之间存在着一光波法线方向与光线方向之间存在着一 个夹角，个夹角，通常称为离散角通常称为离散角。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第31页/共54页 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 现取现取 x3 轴为光轴，轴为光轴，E、D、s、k 均在均在主截面主截面( (光轴与光轴与 晶面法线所决定的平

21、面晶面法线所决定的平面) )x2Ox3 平面内，平面内，k 与与 x3 轴的轴的 夹角为夹角为 ，s 与与 x3 轴的夹角为轴的夹角为。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第32页/共54页 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 若坐标系为单轴晶体的若坐标系为单轴晶体的主轴坐标系主轴坐标系, ,则则 111 2012 333 0 0 0 0 0 0 DE DE DE 因而有因而有 2 2012002 2 30330e3 (55) DEn E DEn E 第33页/共54页 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 由几何关系有由

22、几何关系有 33 22 tan, tan (56) DE DE x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第34页/共54页 将将(55)式中的两个式子相除，并利用式中的两个式子相除，并利用(56)式，可得式，可得 2 o 2 e tantan (57) n n (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 2 2012002 2 30330e3 (55) DEn E DEn E 33 22 tan, tan (56) DE DE 第35页/共54页 所以所以离散角离散角 满足下面的关系满足下面的关系: : tantan tantan() (58) 1tantan

23、 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第36页/共54页 将将(57)式代入，整理可得式代入，整理可得 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 tantan tantan() (58) 1tantan 2 o 2 e tantan (57) n n 第37页/共54页 由该式可见：由该式可见： 当当 00 或或900，即光波法线方向，即光波法线方向 k 平行或垂直平行或垂直 于光轴时，于光轴时，0。这时，

24、。这时，s 与与 k、E 与与 D 方向重方向重 合合。 k D s E E D 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn 第38页/共54页 对于正单轴晶体，对于正单轴晶体，neno，0，e 光的光线较其光的光线较其 波法线靠近光轴波法线靠近光轴。对于负单轴晶体，。对于负单轴晶体，neno，0 ，e 光的光线较其波法线远离光轴光的光线较其波法线远离光轴。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se se 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn 第39页/共54页 可以证明，可以证明，当当

25、 k 与光轴间的夹角与光轴间的夹角 满足满足 e o tan (60) n n 时，有最大离散角时，有最大离散角 22 eo M oe arctan (61) 2 nn n n 第40页/共54页 由由 - 对对 求导，得求导，得 dd =1 dd 由由(57)式式 2 o 2 e arctantan n n 2 o 2 e tantan (57) n n 证明如下：证明如下： 第41页/共54页 222 2 ooe 422442 2 oeeo 4 e d11 (1tan) dcostan 1+tan nn n nnnn n 2 o 2 e arctantan n n dd =1 dd 第42

26、页/共54页 令令 22 2 oe 442 eo dd =11(1tan)0 ddtan n n nn dd =1=0 dd 22 2 oe 442 eo d (1tan) dtan n n nn 求极值的必要条件求极值的必要条件 第43页/共54页 得得 442222 eooe tan(1tan)0nnn n 最后，最后， e o tan n n 22 2 oe 442 eo dd 11(1tan)0 ddtan n n nn 第44页/共54页 将该式代入将该式代入(57)式，并由式，并由(58) )式求出式求出最大离散角最大离散角为为 22 eo M oe arctan 2 nn n n

27、 tantan tantan() (58) 1tantan 2 o 2 e tantan (57) n n e o tan n n 第45页/共54页 在实际应用中要求晶体元件工作在在实际应用中要求晶体元件工作在最大离散角的情况最大离散角的情况 下，同时满足正入射条件下，同时满足正入射条件，这就应当使通光面与光轴，这就应当使通光面与光轴 的夹角的夹角 900 满足满足 o e tan (62) n n 空气空气晶体晶体 o光光 e光光 光轴光轴 (2) e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 e o tan n n 第46页/共54页 当方解石晶体旋转时当方解石晶体旋转时, ,o 光不动，光不动，e 光围绕光围绕 o 光旋转光旋转 空气空气晶体晶体 o光光 e光光 光轴光轴 第47页/共54页 3) 双轴晶体双轴晶体 双轴晶体的三个主介电系数都不相等，即双轴晶体的三个主介电系数都不相等，即 1 23 ，因而，因而 n1n2n3。通常主介电系数按。通常主介电系数按 123 取值。这类晶体之所以叫双轴晶体，是因为它