复数概念及公式总结

1、数系的扩充和复数概念1. 處数单位i：它的平方等于-1，即r=-l2. i与一 1的关系：i就是一 1的一个平方根，即方程.自一 1的一个根，方程二一1的另一个根是一 i：3. i的周期性：4. 复数的定义：形如a + bi(a,beR)的数叫复数，叫复数的实部，方叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.复数通常用字母z表示，即z = a + bi(a,bR)5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi(aJR),当且仅当20时，复数寸加(a、6GR)是实数a；当bHO时，复数 bi叫做虚数：当尹0且EHO时，沪S叫做纯虚数：aHO且占工0时，护加叫做非纯虚数

2、的纯虚数：肖且仅当护0时，z就是实数0.(0一正实数2是实数X实数0c.f)复数a+ bi、一负实数(讥、bR)g=叶占袖丄纯虚数bi竺是虚数*那ER)已非纯虚数的虚数5. 复数集与其它数集之间的关系：N_Z_Q_R_C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b, c, dWR，那么Mb左丹旳，0=6一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数,就可以比较大小.当两个 复数不全是实数时不能比较大小.7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数沪*心、EWR)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角

3、坐标系来表示复数的平面叫做复平而，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.(1) 实轴上的点都表示.(2) 虚轴上的点都表示.(3) 原点对应的有序实数对为(0, 0)设 Zi=abi, zF&dila、b、c、dGR)是任意两个复数，8. 复数7与7的加法运算律：N+_22=(a+D + (c+o7)二(a+c) + (戻/丄9. 复数7与Z2的减法运算律：z厂乙二(a+H)-(c+o7)二(a-c) + (Z-/二10复数 Zi 与 7 的乘法运算律：Zi - z：= arbi)= (ac bd) + bcad) i.11. 复数N与Z2的除法运算律：12. 共钝复数： 通常记复

4、数z的共轨复数为？ o例如z =3+5i与z =3-5i互为共轨复数13. 共觇复数的性质(1) 实数的共轨复数仍然是它本身(2) Z.Z=|Z|2=|Z|2(3) 两个共辄复数对应的点关于实轴对称14. 复数的两种几何意义：复数 Z = a+bi(a,beR)应点Z(a,b) 向量呢对应16. 复数的模：复数Z =a +bi的模|Z| = J/+方215几个常用结论(1) (l + i)2 =2i (2) (l-i)2 =-2z1 1+/ .(3) - = l (4)= lil-il-i(5)=-i1 + i(6) (ci+bi)(a-bi) = a2 +b2特别地：1的立方根【复数高考题选

5、(20112012)2-/3434431、(2012 辽宁理)复数 一=()(A) 一_i (B) - + -i (C) 1-/ (D) 1 + -/2+i555555-1 + 3/2、复数=()A2+i B 2-1 C l+2i D l-2i1 + z3+i3、(2012海南文)复数z=苇厂的共辄复数是()(A2+i(B) 2-i(C) -1+i(D) -l-i24、(2012全国卷理)下而是关于复数2 = 的四个命题：其中的真命题为()1 + iH：|z| = 2p2z2 = 2ip3：z的共轨复数为1 + i4：z的虚部为1(A) “皿(B) p. p2(C) p2.p4(D) 心心5、

6、(2012陕西理)设uXR, i是虚数单位，则“ ab = 09f是“复数a + -为纯虚数”的()i(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7-/6、(2012 天津理)i 是虚数单位，复数 Z 二=()(A) 2 + i (B) 2-i(C) -2 + /(D) -2-13 + /7、(2012 安徽文)复数z 满足(乙一力=2 + 匚贝lj z = () (A) 一1一(B) 1一( (C) -1 + 3/ (D)1-2/8、(2012 山东理)若复数 x 满足 z(2-i)=ll+7i(i 为虚数单位)，则 z%( )A 3+5i B 3-5

7、i C -3+5i D -3-5i9、(2012 四川理)复数 一 =()A、1B、一1C. iD、i2i710、(2012 天津理)i 是虚数单位，复数=()(A) 2 + i (B) 2-i (C) -2 + i (D) -2-i3 + i11、(2012 重庆理)若(1+i)(2+i)二 a+bi,其中 agR、i 为虚数单位，贝a + b=12.*7一1r +r丄丄221(B)11 11.22 22(D) + i2 2(2011重庆理)复数一=()(A)1-/2 + /3 .313、(2011全国卷理)复数幺工的共轨复数是()A.-1B. -/CiD. i1-2/51514.(2011

8、 陕西理)设集合 M=y cos2x_sin2x xgR,N=x x| (2011山东理)复数z = (/为虚数单位)在复平而内对应的点所在象限为2 + i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限17. (2011安徽理)设j是虚数单位，复数匕竺为纯虚数，则实数a(A) 2 (B) -2 (C) -丄(D)-2-i22则z的实部是18、(2011江苏理)设复数i满足i(z + i) = -3 + 2i (i是虚数单位),19、(2011 广东理)设复数z满足(l + i)z = 2,贝贬=()A. 1 + j B l-j C 2 + 2/ D 2-2/20、(2010 山东理)

9、已知匕2L = b + i(u、bGR),则a + b= ( ) (A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3i21、(2010辽宁理)设a,b为实数，若复数出_ = 1 +匚 则()a + bi3 113(A) a = 、b = (B) a = 3,b = 1(C) a = .b = (D) a = l,b = 32222d3 + i 一1122、3。全国卷理）已知复数*沁的共轨复数则心二-4 I 2 23、3。北京理）在复平而内，复数吕对应的点的坐标为(D)24、（沁安徽理）品（）（A）（B）卜誓C）応26.(2010 r 东理)若复数 z1=l+i,z2=3-i,则知乙2 =()AA

10、+2iB.2+iC.2+2iD3+i27、（2009四川理）复数（l + 2lV的值是3-4/A.- 1B. 1c.-iD.i28.（2009陕西理）已知z是纯虚数，Z + 2是实数，那么z 等于()(A)2i(B)i(C)-i(D)-2i25、（2010江苏理）设复数z满足2（2-30 = 6 + 4/（其中i为虚数单位）,则z的模为.29、（ 2009广东理）设z是复数，a（z）表示满足zn =1的最小正整数则 M）=（)30、（2OO8T东理）已知0d2,复数乙的实部为，虚部为1,则同的取值范围是（）A. (1,5)B.(1，3)C. (M)D. (M)31、（2008辽宁理）复数1 11的虚部是（)AiB.55C弓1D51一2 + ,1-2/)(A) i (B) -i(C)1(D) i32、（2008 ill东理）设z的共馳